www.wikidata.uk-ua.nina.az

Синус У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна значення лат sinus пазуха тригонометрична функція кута Визнач

Синус

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Синус (значення).

Синус (лат. sinus — «пазуха») — тригонометрична функція кута. Визначення синусу гострого кута в контексті прямокутного трикутника: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника (гіпотенузи).

У загальнішому випадку, визначення синуса (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення дійсного числа, що відноситься до довжини певного відрізка в одиничному колі. Більш складні сучасні визначення задають синус як нескінченний ряд або як розв'язок деяких диференційних рівнянь, що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від'ємних значень і навіть до комплексних чисел.

Функція синуса зазвичай застосовується в моделюванні періодичних явищ, таких як звукові і світлові хвилі, позиції і швидкості гармонічних коливань, інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.

Функція синус має зв'язок у своєму походженні до функцій джа і коті-джа, що використовувалися в період Гупта в Індійській астрономії (Ар'ябхатія, Сур'я Сіддханта), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латинь. Слово «синус» походить від неправильного перекладу на латину арабського джиба, яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, джа-ардха. Таблиця синусів містить числові значення функції синусу.

Визначення в контексті прямокутного трикутника Редагувати

Для кута α, функція синусу задає відношення довжини протилежного до кута катету до довжини гіпотенузи,

При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута α, беруть будь-який прямокутний трикутник який містить кут α; на відповідному малюнку, це геометричний кут A в трикутнику ABC, який має значення α. Три сторони трикутника мають назви:

  • протилежний катет це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона a.
  • гіпотенуза це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона h. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
  • прилеглий катет- сторона що залишилась, в даному випадку це сторона b. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут A) і до прямого кута трикутника.

У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи (інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, косинус кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи).

Як уже зазначалося, значення функції sin(α) залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною α. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є подібними, і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.

В контексті одиничного кола Редагувати

Ілюстрація одиничного кола. Радіус якого дорівнює 1. Змінна t задає значення Кута.

В тригонометрії, одиничне коло це коло з радіусом один і з центром в початку координат (0, 0) декартової системи координат.

Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут θ із додатною частиною осі x, і перетинає одиничне коло. x- і y-є координатами точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos θ і sin(θ), відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює 1.

На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи одиничне коло значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синуса є періодичною.

Одиничне коло є в основі принципу побудови координатного транспортиру. При безперервному обертанні кута навколо своєї осі на 360 градусів можна бачити як координата транспортира зміщується по осі Y від -1 до 1. На осі Y в одиничному колі розміщені значення функції синуса.

Анімація показує як функція синусу (червона) із значень y-координати (червона точка), що змінюється при окреслені точкою одиничного кола (зелена), і значення кута θ задаються радіанах.

Тотожності Редагувати

Див. також: Список тригонометричних тотожностей

Точні тотожності (застосовуються до радіан): Застосовуються до всіх значень кута .

Обернені Редагувати

оберненим числом для синусу є косеканс, тобто обернене число для sin(A) записується як csc(A), або cosec(A). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:

Зворотні функції Редагувати

Головні значення функції arcsin(x) зображені на декартовій площині. Arcsin є зворотньою функцією від синусу.

Зворотньою функцією для синусу є арксинус (позначається як arcsin або asin) або обернений синус (sin-1). Оскільки синус не має ін'єктивного відображення, арксинус не є точною зворотньою функцією, а є частковою зворотньою функцією. Наприклад, sin(0) = 0, але також і sin(π) = 0, sin(2π) = 0 і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус багатозначна: arcsin(0) = 0, але також і arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, і т. д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її головної області значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення x в усій області значень, вираз arcsin(x) прийматиме лише одне значення, яке називається його головним значенням.

k є деяким цілим значенням:

або у вигляді одного рівняння:

Arcsin задовольняє рівнянням:

і

Обчислення Редагувати

Див. також: Таблиця інтегралів тригонометричних функцій

Для функції синус:

Похідною є:

Первісною функції є:

C позначає Сталу інтегрування.

Зв'язок із іншими тригонометричними функціями Редагувати

Функції синусу і косинусу можуть бути зв'язані між собою різними виразами. Ці дві функції відрізняються фазою в 90°: = для всіх кутів x. А також, похідною функції sin(x) є cos(x).

Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою знакової функції (sgn)).

Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином:

f θ З використанням плюса/мінуса (±) З використанням функції (sgn)
f θ = ± по чвертям f θ =
I II III IV
cos + + − −
+ − − +
cot + + − −
+ − − +
tan + − − +
+ − − +
sec + − + −
+ − − +

Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.

Основний зв'язок між синусом і косинусом може виражатися у вигляді Тригонометричної тотожності Піфагора:

де sin2x означає (sin(x))2.

Властивості пов'язані із чвертями Редагувати

Чотири чверті Декартової системи координат.

В рамках чотирьох чвертей функція синусу має наступні властивості.

Чверть Градуси Радіани Значення Знак Монотонність Опуклість
1-а чверть зростаюча увігнута
2-а чверть спадна увігнута
3-а чверть спадна опукла
4-а чверть зростаюча опукла

Точки на межах чвертей. k є цілим числом.

Чверті одиничного кола і функції sin x, у Декартовій системі координат.

Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синусу є періодичною із періодом 360° (або 2π радіан): , або . А також і . Для доповнення синусу, маємо .

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.
  2. Victor J. Katz (2008), A History of Mathematics, Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, sidebar 8.1. [1]

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Sinus znachennya Sinus lat sinus pazuha trigonometrichna funkciya kuta Viznachennya sinusu gostrogo kuta v konteksti pryamokutnogo trikutnika dlya zadanogo kuta ye vidnoshennyam dovzhini kateta sho ye protilezhnim danomu kutu do dovzhini najdovshoyi storoni trikutnika gipotenuzi U zagalnishomu vipadku viznachennya sinusa ta inshih trigonometrichnih funkcij mozhe buti rozshirene do znachennya dijsnogo chisla sho vidnositsya do dovzhini pevnogo vidrizka v odinichnomu koli Bilsh skladni suchasni viznachennya zadayut sinus yak neskinchennij ryad abo yak rozv yazok deyakih diferencijnih rivnyan sho dozvolyaye yih rozshirennya do dovilnih dodatnih i vid yemnih znachen i navit do kompleksnih chisel Funkciya sinusa zazvichaj zastosovuyetsya v modelyuvanni periodichnih yavish takih yak zvukovi i svitlovi hvili poziciyi i shvidkosti garmonichnih kolivan intensivnosti sonyachnogo svitla i dovzhini dlya kolivan serednoyi temperaturi v period roku Funkciya sinus maye zv yazok u svoyemu pohodzhenni do funkcij dzha i koti dzha sho vikoristovuvalisya v period Gupta v Indijskij astronomiyi Ar yabhatiya Sur ya Siddhanta shlyahom perekladu iz sanskritu na arabsku movu a potim z arabskoyi na latin 1 Slovo sinus pohodit vid nepravilnogo perekladu na latinu arabskogo dzhiba yake ye transliteraciyeyu slova na sanskriti sho oznachalo polovinu hordi dzha ardha 2 Tablicya sinusiv mistit chislovi znachennya funkciyi sinusu Zmist 1 Viznachennya v konteksti pryamokutnogo trikutnika 2 V konteksti odinichnogo kola 3 Totozhnosti 3 1 Oberneni 3 2 Zvorotni funkciyi 3 3 Obchislennya 3 4 Zv yazok iz inshimi trigonometrichnimi funkciyami 4 Vlastivosti pov yazani iz chvertyami 5 Div takozh 6 Primitki 7 PosilannyaViznachennya v konteksti pryamokutnogo trikutnika Redaguvati nbsp Dlya kuta a funkciya sinusu zadaye vidnoshennya dovzhini protilezhnogo do kuta katetu do dovzhini gipotenuzi sin a opposite hypotenuse displaystyle sin alpha frac textrm opposite textrm hypotenuse nbsp Pri viznachenni trigonometrichnih funkcij dlya gostrogo kuta a berut bud yakij pryamokutnij trikutnik yakij mistit kut a na vidpovidnomu malyunku ce geometrichnij kut A v trikutniku ABC yakij maye znachennya a Tri storoni trikutnika mayut nazvi protilezhnij katet ce storona protilezhna obranomu kutu v danomu vipadku ce storona a gipotenuza ce storona protilezhna pryamomu kutu v danomu vipadku ce storona h Gipotenuza zavzhdi ye najdovshoyu storonoyu pryamokutnogo trikutnika prileglij katet storona sho zalishilas v danomu vipadku ce storona b Ce storona yaka odnochasno prilyagaye do vibranogo kuta kut A i do pryamogo kuta trikutnika U viznachenomu trikutniku sinus kuta dorivnyuye dovzhini protilezhnogo katetu podilenomu na dovzhinu gipotenuzi inshi trigonometrichni funkciyi mozhut viznachatisya analogichnim sposobom napriklad kosinus kuta ye vidnoshennyam dovzhin prileglogo katetu do gipotenuzi Yak uzhe zaznachalosya znachennya funkciyi sin a zalezhit vid vibranogo pryamokutnogo trikutnika yakij mistit v sobi kut velichinoyu a Odnak ce ne ye vazhlivim oskilki vsi taki trikutniki ye podibnimi i spivvidnoshennya storin bude odnakove v usih takih trikutnikah V konteksti odinichnogo kola Redaguvati nbsp Ilyustraciya odinichnogo kola Radius yakogo dorivnyuye 1 Zminna t zadaye znachennya Kuta V trigonometriyi odinichne kolo ce kolo z radiusom odin i z centrom v pochatku koordinat 0 0 dekartovoyi sistemi koordinat Nehaj isnuye dovilna pryama cherez pochatok koordinat yaka utvoryuye kut 8 iz dodatnoyu chastinoyu osi x i peretinaye odinichne kolo x i y ye koordinatami tochki peretinu pryamoyi i kola yaki dorivnyuyut cos 8 i sin 8 vidpovidno Vidstan vid tochki do pochatku koordinat zavzhdi dorivnyuye 1 Na vidminu vid viznachennya v konteksti pryamokutnogo trikutnika abo kuta nahilu vikoristovuyuchi odinichne kolo znachennya kuta mozhut buti rozshireni do povnogo naboru dijsnih argumentiv V takomu vipadku funkciya sinusa ye periodichnoyu Odinichne kolo ye v osnovi principu pobudovi koordinatnogo transportiru Pri bezperervnomu obertanni kuta navkolo svoyeyi osi na 360 gradusiv mozhna bachiti yak koordinata transportira zmishuyetsya po osi Y vid 1 do 1 Na osi Y v odinichnomu koli rozmisheni znachennya funkciyi sinusa nbsp Animaciya pokazuye yak funkciya sinusu chervona y sin 8 displaystyle y sin theta nbsp iz znachen y koordinati chervona tochka sho zminyuyetsya pri okresleni tochkoyu odinichnogo kola zelena i znachennya kuta 8 zadayutsya radianah Totozhnosti RedaguvatiDiv takozh Spisok trigonometrichnih totozhnostej Tochni totozhnosti zastosovuyutsya do radian Zastosovuyutsya do vsih znachen kuta 8 displaystyle theta nbsp sin 8 cos p 2 8 1 csc 8 displaystyle sin theta cos left frac pi 2 theta right frac 1 csc theta nbsp Oberneni Redaguvati obernenim chislom dlya sinusu ye kosekans tobto obernene chislo dlya sin A zapisuyetsya yak csc A abo cosec A Kosekans zadaye vidnoshennya dovzhini gipotenuzu do dovzhini protilezhnogo katetu csc A 1 sin A hypotenuse opposite h a displaystyle csc A frac 1 sin A frac textrm hypotenuse textrm opposite frac h a nbsp Zvorotni funkciyi Redaguvati nbsp Golovni znachennya funkciyi arcsin x zobrazheni na dekartovij ploshini Arcsin ye zvorotnoyu funkciyeyu vid sinusu Zvorotnoyu funkciyeyu dlya sinusu ye arksinus poznachayetsya yak arcsin abo asin abo obernenij sinus sin 1 Oskilki sinus ne maye in yektivnogo vidobrazhennya arksinus ne ye tochnoyu zvorotnoyu funkciyeyu a ye chastkovoyu zvorotnoyu funkciyeyu Napriklad sin 0 0 ale takozh i sin p 0 sin 2p 0 i tak dali Zvidsi viplivaye sho funkciya arksinus bagatoznachna arcsin 0 0 ale takozh i arcsin 0 p arcsin 0 2p i t d Koli neobhidno mati odne viznachene znachennya funkciya mozhe buti obmezhena do yiyi golovnoyi oblasti znachen Vihodyachi z cogo obmezhennya dlya kozhnogo znachennya x v usij oblasti znachen viraz arcsin x prijmatime lishe odne znachennya yake nazivayetsya jogo golovnim znachennyam 8 arcsin opposite hypotenuse sin 1 a h displaystyle theta arcsin left frac text opposite text hypotenuse right sin 1 left frac a h right nbsp k ye deyakim cilim znachennyam sin y x y arcsin x 2 p k or y p arcsin x 2 p k displaystyle begin aligned sin y x Leftrightarrow amp y arcsin x 2 pi k text or amp y pi arcsin x 2 pi k end aligned nbsp abo u viglyadi odnogo rivnyannya sin y x y 1 k arcsin x p k displaystyle sin y x Leftrightarrow y 1 k arcsin x pi k nbsp Arcsin zadovolnyaye rivnyannyam sin arcsin x x displaystyle sin arcsin x x nbsp i arcsin sin 8 8 for p 2 8 p 2 displaystyle arcsin sin theta theta quad text for frac pi 2 leq theta leq frac pi 2 nbsp Obchislennya Redaguvati Div takozh Tablicya integraliv trigonometrichnih funkcij Dlya funkciyi sinus f x sin x displaystyle f x sin x nbsp Pohidnoyu ye f x cos x displaystyle f x cos x nbsp Pervisnoyu funkciyi ye f x d x cos x C displaystyle int f x dx cos x C nbsp C poznachaye Stalu integruvannya Zv yazok iz inshimi trigonometrichnimi funkciyami Redaguvati nbsp Funkciyi sinusu i kosinusu mozhut buti zv yazani mizh soboyu riznimi virazami Ci dvi funkciyi vidriznyayutsya fazoyu v 90 sin p 2 x displaystyle sin pi 2 x nbsp cos x displaystyle cos x nbsp dlya vsih kutiv x A takozh pohidnoyu funkciyi sin x ye cos x Bud yaku trigonometrichnu funkciyu mozhna viraziti cherez inshi trigonometrichni funkciyi z urahuvannyam znakiv plyus ta minus u riznih chvertyah abo za dopomogoyu znakovoyi funkciyi sgn Cherez inshi trigonometrichni funkciyi sinus mozhna viraziti nastupnim chinom f 8 Z vikoristannyam plyusa minusa Z vikoristannyam funkciyi sgn f 8 po chvertyam f 8 I II III IVcos sin 8 displaystyle sin theta nbsp 1 cos 2 8 displaystyle pm sqrt 1 cos 2 theta nbsp sgn cos 8 p 2 1 cos 2 8 displaystyle operatorname sgn left cos left theta frac pi 2 right right sqrt 1 cos 2 theta nbsp cos 8 displaystyle cos theta nbsp 1 sin 2 8 displaystyle pm sqrt 1 sin 2 theta nbsp sgn sin 8 p 2 1 sin 2 8 displaystyle operatorname sgn left sin left theta frac pi 2 right right sqrt 1 sin 2 theta nbsp cot sin 8 displaystyle sin theta nbsp 1 1 cot 2 8 displaystyle pm frac 1 sqrt 1 cot 2 theta nbsp sgn cot 8 2 1 1 cot 2 8 displaystyle operatorname sgn left cot left frac theta 2 right right frac 1 sqrt 1 cot 2 theta nbsp cot 8 displaystyle cot theta nbsp 1 sin 2 8 sin 8 displaystyle pm frac sqrt 1 sin 2 theta sin theta nbsp sgn sin 8 p 2 1 sin 2 8 sin 8 displaystyle operatorname sgn left sin left theta frac pi 2 right right frac sqrt 1 sin 2 theta sin theta nbsp tan sin 8 displaystyle sin theta nbsp tan 8 1 tan 2 8 displaystyle pm frac tan theta sqrt 1 tan 2 theta nbsp sgn tan 2 8 p 4 tan 8 1 tan 2 8 displaystyle operatorname sgn left tan left frac 2 theta pi 4 right right frac tan theta sqrt 1 tan 2 theta nbsp tan 8 displaystyle tan theta nbsp sin 8 1 sin 2 8 displaystyle pm frac sin theta sqrt 1 sin 2 theta nbsp sgn sin 8 p 2 sin 8 1 sin 2 8 displaystyle operatorname sgn left sin left theta frac pi 2 right right frac sin theta sqrt 1 sin 2 theta nbsp sec sin 8 displaystyle sin theta nbsp sec 2 8 1 sec 8 displaystyle pm frac sqrt sec 2 theta 1 sec theta nbsp sgn sec 4 8 p 2 sec 2 8 1 sec 8 displaystyle operatorname sgn left sec left frac 4 theta pi 2 right right frac sqrt sec 2 theta 1 sec theta nbsp sec 8 displaystyle sec theta nbsp 1 1 sin 2 8 displaystyle pm frac 1 sqrt 1 sin 2 theta nbsp sgn sin 8 p 2 1 1 sin 2 8 displaystyle operatorname sgn left sin left theta frac pi 2 right right frac 1 sqrt 1 sin 2 theta nbsp Vsi rivnyannya v yakih vikoristovuyutsya znaki plyus minus mayut dodatni znachennya dlya kutiv v pershij chverti Osnovnij zv yazok mizh sinusom i kosinusom mozhe virazhatisya u viglyadi Trigonometrichnoyi totozhnosti Pifagora cos 2 8 sin 2 8 1 displaystyle cos 2 theta sin 2 theta 1 nbsp de sin2x oznachaye sin x 2 Vlastivosti pov yazani iz chvertyami Redaguvati nbsp Chotiri chverti Dekartovoyi sistemi koordinat V ramkah chotiroh chvertej funkciya sinusu maye nastupni vlastivosti Chvert Gradusi Radiani Znachennya Znak Monotonnist Opuklist1 a chvert 0 lt x lt 90 displaystyle 0 circ lt x lt 90 circ nbsp 0 lt x lt p 2 displaystyle 0 lt x lt frac pi 2 nbsp 0 lt sin x lt 1 displaystyle 0 lt sin x lt 1 nbsp displaystyle nbsp zrostayucha uvignuta2 a chvert 90 lt x lt 180 displaystyle 90 circ lt x lt 180 circ nbsp p 2 lt x lt p displaystyle frac pi 2 lt x lt pi nbsp 0 lt sin x lt 1 displaystyle 0 lt sin x lt 1 nbsp displaystyle nbsp spadna uvignuta3 a chvert 180 lt x lt 270 displaystyle 180 circ lt x lt 270 circ nbsp p lt x lt 3 p 2 displaystyle pi lt x lt frac 3 pi 2 nbsp 1 lt sin x lt 0 displaystyle 1 lt sin x lt 0 nbsp displaystyle nbsp spadna opukla4 a chvert 270 lt x lt 360 displaystyle 270 circ lt x lt 360 circ nbsp 3 p 2 lt x lt 2 p displaystyle frac 3 pi 2 lt x lt 2 pi nbsp 1 lt sin x lt 0 displaystyle 1 lt sin x lt 0 nbsp displaystyle nbsp zrostayucha opuklaTochki na mezhah chvertej k ye cilim chislom nbsp Chverti odinichnogo kola i funkciyi sin x u Dekartovij sistemi koordinat Gradusi Radiani 0 x lt 2 p displaystyle 0 leq x lt 2 pi nbsp Radiani sin x displaystyle sin x nbsp Tip tochki0 displaystyle 0 circ nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 2 p k displaystyle 2 pi k nbsp 0 displaystyle 0 nbsp Korin Tochka pereginu90 displaystyle 90 circ nbsp p 2 displaystyle frac pi 2 nbsp 2 p k p 2 displaystyle 2 pi k frac pi 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp Maksimum180 displaystyle 180 circ nbsp p displaystyle pi nbsp 2 p k p displaystyle 2 pi k pi nbsp 0 displaystyle 0 nbsp Korin Tochka pereginu270 displaystyle 270 circ nbsp 3 p 2 displaystyle frac 3 pi 2 nbsp 2 p k p 2 displaystyle 2 pi k frac pi 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp MinimumDlya argumentiv yakih nema v cij tablici znachennya zadani iz urahuvannyam sho funkciya sinusu ye periodichnoyu iz periodom 360 abo 2p radian sin a 360 sin a displaystyle sin alpha 360 circ sin alpha nbsp abo sin a 180 sin a displaystyle sin alpha 180 circ sin alpha nbsp A takozh cos x e x i e x i 2 displaystyle cos x frac e xi e xi 2 nbsp i sin x e x i e x i 2 i displaystyle sin x frac e xi e xi 2i nbsp Dlya dopovnennya sinusu mayemo sin 180 a sin a displaystyle sin 180 circ alpha sin alpha nbsp Div takozh RedaguvatiTrigonometrichni funkciyi Formula Ejlera Giperbolichni funkciyi Teorema sinusiv Sinusoyida Rivnyannya sinus GordonaPrimitki Redaguvati Uta C Merzbach Carl B Boyer 2011 A History of Mathematics Hoboken N J John Wiley amp Sons 3rd ed p 189 Victor J Katz 2008 A History of Mathematics Boston Addison Wesley 3rd ed p 253 sidebar 8 1 1 Posilannya RedaguvatiSinus Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Sinus amp oldid 35043710