www.wikidata.uk-ua.nina.az

Опукла функція або опукла вниз функція 1 функція яка визначена на опуклій множині лінійного простору і задовольняє нерів

Опукла функція

Опукла функція, або опукла вниз функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

Опукла функція однієї змінної

Нехай область визначення опуклої функції лежить в скінченновимірному просторі, тоді неперервна в будь-якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій Редагувати

Нехай  — будь-які точки із області визначення опуклої функції ,  — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють . Тоді

Якщо  — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.

Сильно опукла функція Редагувати

Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки.

Диференційовна функція f називається сильно опуклою з параметром m > 0 якщо для всіх точок x, y в її домені зберігається наступна нерівність:

або більш загально,

де будь-яка норма.

Операції, що зберігають опуклість Редагувати

  • Якщо f і g є опуклими функціями, тоді і також опуклі.
  • Якщо f і g є опуклими функціями і g є неспадною, тоді є опуклою. Наприклад, якщо f(x) є опуклою, тоді , також опукла, тому що є опуклою і монотонно висхідною.
  • Якщо f є угнутою і g є опуклою і невисхідною, тоді є опуклою.
  • Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо f є опуклою із областю визначення , тоді також опукла, де з областю визначення .
  • Якщо f(x, y) є опуклою по x тоді є опуклою по x, якщо для якогось x, навіть якщо C не є опуклою множиною.
  • Якщо f(x) є опуклою, тоді її перспектива (чия область визначення — ) є опуклою.
  • Протилежна до опуклої функції функція є угнутою.
  • Якщо є опуклою дійснозначимою функцією, тоді для зліченного набору дійсних чисел

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Заболоцький, М. В.; Сторож, О. Г.; Тарасюк, С. І. (2008). 7.3. Опуклість функції (с. 133). Математичний аналіз. Київ: Знання. с. 421. ISBN 978-966-346-323-0. 
  2. Dimitri Bertsekas (2003). Convex Analysis and Optimization. Contributors: Angelia Nedic and Asuman E. Ozdaglar. Athena Scientific. с. 72. ISBN 9781886529458. 

Джерела інформації Редагувати

Посилання Редагувати

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Opukla funkciya abo opukla vniz funkciya 1 funkciya yaka viznachena na opuklij mnozhini linijnogo prostoru i zadovolnyaye nerivnostiOpukla funkciya odniyeyi zminnoyi f l x 1 l y l f x 1 l f y l 0 1 displaystyle f lambda x 1 lambda y leqslant lambda f x 1 lambda f y quad forall lambda in 0 1 Nehaj oblast viznachennya opukloyi funkciyi f x displaystyle f x lezhit v skinchennovimirnomu prostori todi f x displaystyle f x neperervna v bud yakij vnutrishnij tochci ciyeyi oblasti Zmist 1 Vlastivosti opuklih funkcij 2 Silno opukla funkciya 3 Operaciyi sho zberigayut opuklist 4 Div takozh 5 Primitki 6 Dzherela informaciyi 7 PosilannyaVlastivosti opuklih funkcij RedaguvatiNehaj x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp bud yaki tochki iz oblasti viznachennya opukloyi funkciyi f x displaystyle f x nbsp l 1 l n displaystyle lambda 1 ldots lambda n nbsp nevid yemni chisla yaki v sumi dorivnyuyut 1 displaystyle 1 nbsp Todi f i 1 n l i x i i 1 m l i f x i displaystyle f left sum i 1 n lambda i x i right leqslant sum i 1 m lambda i f x i nbsp Yaksho f x displaystyle f x nbsp dvichi neperervno diferencijovana opukla funkciya to matricya yiyi drugih pohidnih ne vid yemno viznachena Silno opukla funkciya RedaguvatiPonyattya silno opukloyi funkciyi rozshiryuye ta parametrizuye ponyattya strogoyi opuklosti Silno opukla funkciya takozh ye strogo opukloyu ale ne navpaki Diferencijovna funkciya f nazivayetsya silno opukloyu z parametrom m gt 0 yaksho dlya vsih tochok x y v yiyi domeni zberigayetsya nastupna nerivnist 2 f x f y T x y m x y 2 2 displaystyle nabla f x nabla f y T x y geq m x y 2 2 nbsp abo bilsh zagalno f x f y x y m x y 2 displaystyle langle nabla f x nabla f y x y rangle geq m x y 2 nbsp de displaystyle cdot nbsp bud yaka norma Operaciyi sho zberigayut opuklist RedaguvatiYaksho f i g ye opuklimi funkciyami todi m x max f x g x displaystyle m x max f x g x nbsp i h x f x g x displaystyle h x f x g x nbsp takozh opukli Yaksho f i g ye opuklimi funkciyami i g ye nespadnoyu todi h x g f x displaystyle h x g f x nbsp ye opukloyu Napriklad yaksho f x ye opukloyu todi e f x displaystyle e f x nbsp takozh opukla tomu sho e x displaystyle e x nbsp ye opukloyu i monotonno vishidnoyu Yaksho f ye ugnutoyu i g ye opukloyu i nevishidnoyu todi h x g f x displaystyle h x g f x nbsp ye opukloyu Opuklist nezminna pri zastosuvannya afinnogo vidobrazhennya tobto yaksho f ye opukloyu iz oblastyu viznachennya D f R m displaystyle D f subseteq mathbf R m nbsp todi g x f A x b displaystyle g x f Ax b nbsp takozh opukla de A R m n b R m displaystyle A in mathbf R m times n b in mathbf R m nbsp z oblastyu viznachennya D g R n displaystyle D g subseteq mathbf R n nbsp Yaksho f x y ye opukloyu po x todi g x sup y C f x y displaystyle g x sup y in C f x y nbsp ye opukloyu po x yaksho g x gt displaystyle g x gt infty nbsp dlya yakogos x navit yaksho C ne ye opukloyu mnozhinoyu Yaksho f x ye opukloyu todi yiyi perspektiva g x t t f x t displaystyle g x t tf x t nbsp chiya oblast viznachennya x t x t Dom f t gt 0 displaystyle left lbrace x t tfrac x t in text Dom f t gt 0 right rbrace nbsp ye opukloyu Protilezhna do opukloyi funkciyi funkciya ye ugnutoyu Yaksho f x displaystyle f x nbsp ye opukloyu dijsnoznachimoyu funkciyeyu todi f x sup n a n x b n displaystyle f x sup n a n x b n nbsp dlya zlichennogo naboru dijsnih chisel a n b n displaystyle a n b n nbsp Div takozh RedaguvatiUvignuta funkciya Tochka pereginu Opukla mnozhina Zadacha opuklogo programuvannya Kvaziopukla funkciya Subdiferencial Opuklij analizPrimitki Redaguvati Zabolockij M V Storozh O G Tarasyuk S I 2008 7 3 Opuklist funkciyi s 133 Matematichnij analiz Kiyiv Znannya s 421 ISBN 978 966 346 323 0 Dimitri Bertsekas 2003 Convex Analysis and Optimization Contributors Angelia Nedic and Asuman E Ozdaglar Athena Scientific s 72 ISBN 9781886529458 Dzherela informaciyi RedaguvatiEnciklopediya kibernetiki Pshenichnij B M t 1 st 198 Posilannya RedaguvatiOpuklist ta vgnutist funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 317 594 s nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Opukla funkciya amp oldid 35488712