www.wikidata.uk-ua.nina.az

Опуклий аналіз це гілка математики присвячена вивченню властивостей опуклих функцій і опуклих множин часто застосовуєтьс

Опуклий аналіз

Опуклий аналіз — це гілка математики, присвячена вивченню властивостей опуклих функцій і опуклих множин, часто застосовується в опуклому програмуванні, підгалузі теорії оптимізації.

3-вимірний опуклий многогранник. Опуклий аналіз включає не тільки вивчення опуклих підмножин евклідових просторів, але й вивчення опуклих функцій на абстрактних просторах.

Опуклі множини Редагувати

Опукла множина — це множина для деякого векторного простору X, така що для будь-яких і

Опукла функція Редагувати

Опукла функція — це будь-яка розширена дійснозначна функція , яка задовольняє нерівності Єнсена, тобто, для будь-яких і будь-якого

Еквівалентно, опуклою функцією є будь-яка (розширена) дійснозначна функція, така що її надграфік

є опуклою множиною.

Опукле спряження Редагувати

Опукле спряження розширеної (не обов'язково опуклої) функції  — це функція , де X* — спряжений простір простору X, така що

Подвійне спряження Редагувати

Подвійне спряження функції  — це спряження спряження, що зазвичай записують як . Подвійне спряження корисне, коли потрібно показати, що виконується сильна або слабка двоїстість (за допомогою функції збурень[en]).

Для будь-кого нерівність випливає з нерівності Фенхеля. Для власної функції[en] f = f** тоді й лише тоді, коли f опукла і напівнеперервна знизу за теоремою Фенхеля — Моро.

Опукла мінімізація Редагувати

(Пряма) задача опуклого програмування, це задача вигляду

така що є опуклою функцією, а є опуклою множиною.

Двоїста задача Редагувати

Принцип двоїстості в оптимізації стверджує, що задачу оптимізації можна розглядати з двох точок зору як пряму задачу або двоїсту задачу.

Загалом, якщо дано двоїсту пару[en] відокремлюваних локально опуклих просторів та функцію , можна визначити пряму задачу як знаходження такого , що Іншими словами,  — це інфімум (точна нижня границя) функції .

Якщо є обмеження, їх можна вбудувати у функцію , якщо покласти , де  — індикаторна функція[en]. Нехай тепер (для іншої двоїстої пари ) — функція збурень[en], така що .

Двоїста задача для цієї функції збурення відносно вибраної задачі визначається як

де F* — опукле спряження за обома змінними функції F.

Розрив двоїстості — це різниця правої та лівої частин нерівності

де  — опукле спряження від обох змінних, а означає супремум (точна верхня границя) .

Цей принцип збігається зі слабкою двоїстістю. Якщо обидві сторони рівні, кажуть, задача задовольняє умовам сильної двоїстості.

Існує багато умов для сильної двоїстості, такі як:

Двоїстість Лагранжа Редагувати

Для опуклої задачі мінімізації з обмеженнями-нерівностями

двоїстою задачею Лагранжа буде

де цільова функція є двоїстою функцією Лагранжа, визначеною так:

Примітки Редагувати

  1. ↑ Rockafellar, 1997.
  2. ↑ Zălinescu, 2002, с. 75–79.
  3. Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
  4. Двоїста пара — це трійка , де  — векторний простір над полем ,  — множина всіх лінійних відображень , а третій елемент — білінійна форма .
  5. ↑ Boţ, Wanka, Grad, 2009.
  6. ↑ Csetnek, 2010.
  7. Zălinescu, 2002, с. 106–113.
  8. Borwein, Lewis, 2006.
  9. Boyd, Vandenberghe, 2004.

Література Редагувати

  • Осипенко К. Ю. Оптимизация. Ч. 1. Выпуклый анализ (консп. лекций). М.: МГУ. 57 с.
  • Осипенко К. Ю. Выпуклый анализ (программа курса и консп. лекций). М.: МГУ. 68 с.
  • Петров Н. Н. Выпуклый анализ (консп. лекций). Ижевск: УдмГУ, 2009. 160 с.
  • Жадан В. Г. Методы оптимизации. Часть I. Введение в выпуклый анализ и теорию оптимизации: учеб. пос. для студ. вузов по направл. … «Прикладные математика и физика». Москва : МФТИ, 2014. ISBN 978-5-7417-0514-8. (Ч. I). 271 с. Выпуск 300 шт.
  • Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Прикладные математика и физика» и смежным направлениям и специальностям / Е. С. Половинкин, М. В. Балашов. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Физматлит, 2007. — 438 с.; 22 см — (Физтеховский учебник).; ISBN 978-5-9221-0896-6
  • Протасов В. Ю. Выпуклый анализ (консп. лекций. Мехмат МГУ, экономич. поток, 2009 г.). М.: МГУ.
  • Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 978-0-387-29570-1.
  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 978-0-521-83378-3.
  • R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis = 1970. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1997. — ISBN 978-0-691-01586-6.
  • Radu Ioan Boţ, Gert Wanka, Sorin-Mihai Grad. Duality in Vector Optimization. — Springer, 2009. — ISBN 978-3-642-02885-4.
  • Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. — С. 106–113. — ISBN 981-238-067-1.
  • Ernö Robert Csetnek. Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators. — Logos Verlag Berlin GmbH, 2010. — ISBN 978-3-8325-2503-3.
  • Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 978-0-387-29570-1.
  • Hiriart-Urruty J.-B., Lemaréchal C. Fundamentals of convex analysis. — Berlin : Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-3-540-42205-1.
  • Ivan Singer. Abstract convex analysis. — New York : John Wiley & Sons, Inc, 1997. — С. xxii+491. — (Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts) — ISBN 0-471-16015-6.
  • Stoer J., Witzgall C. Convexity and optimization in finite dimensions. — Berlin : Springer, 1970. — Т. 1. — ISBN 978-0-387-04835-2.
  • Kusraev A.G., Kutateladze S.S. Subdifferentials: Theory and Applications. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1995. — ISBN 978-94-011-0265-0.
  • Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. 2. — 2-е, перераб. — Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 2003. — ISBN 5–86134–116–8.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Opuklij analiz ce gilka matematiki prisvyachena vivchennyu vlastivostej opuklih funkcij i opuklih mnozhin chasto zastosovuyetsya v opuklomu programuvanni pidgaluzi teoriyi optimizaciyi 3 vimirnij opuklij mnogogrannik Opuklij analiz vklyuchaye ne tilki vivchennya opuklih pidmnozhin evklidovih prostoriv ale j vivchennya opuklih funkcij na abstraktnih prostorah Zmist 1 Opukli mnozhini 2 Opukla funkciya 3 Opukle spryazhennya 3 1 Podvijne spryazhennya 4 Opukla minimizaciya 4 1 Dvoyista zadacha 4 1 1 Dvoyistist Lagranzha 5 Primitki 6 LiteraturaOpukli mnozhini RedaguvatiOpukla mnozhina ce mnozhina C X displaystyle C subseteq X nbsp dlya deyakogo vektornogo prostoru X taka sho dlya bud yakih x y C displaystyle x y in C nbsp i l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp 1 l x 1 l y C displaystyle lambda x 1 lambda y in C nbsp Opukla funkciya RedaguvatiOpukla funkciya ce bud yaka rozshirena dijsnoznachna funkciya f X R displaystyle f X to mathbb R cup pm infty nbsp yaka zadovolnyaye nerivnosti Yensena tobto dlya bud yakih x y X displaystyle x y in X nbsp i bud yakogo l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp f l x 1 l y l f x 1 l f y displaystyle f lambda x 1 lambda y leqslant lambda f x 1 lambda f y nbsp 1 Ekvivalentno opukloyu funkciyeyu ye bud yaka rozshirena dijsnoznachna funkciya taka sho yiyi nadgrafik x r X R f x r displaystyle left x r in X times mathbf R f x leqslant r right nbsp ye opukloyu mnozhinoyu 1 Opukle spryazhennya RedaguvatiOpukle spryazhennya rozshirenoyi ne obov yazkovo opukloyi funkciyi f X R displaystyle f X to mathbb R cup pm infty nbsp ce funkciya f X R displaystyle f X to mathbb R cup pm infty nbsp de X spryazhenij prostir prostoru X 2 taka sho f x sup x X x x f x displaystyle f x sup x in X left langle x x rangle f x right nbsp Podvijne spryazhennya Redaguvati Podvijne spryazhennya funkciyi f X R displaystyle f X to mathbb R cup pm infty nbsp ce spryazhennya spryazhennya sho zazvichaj zapisuyut yak f X R displaystyle f X to mathbb R cup pm infty nbsp Podvijne spryazhennya korisne koli potribno pokazati sho vikonuyetsya silna abo slabka dvoyistist za dopomogoyu funkciyi zburen en Dlya bud kogo x X displaystyle x in X nbsp nerivnist f x f x displaystyle f x leqslant f x nbsp viplivaye z nerivnosti Fenhelya Dlya vlasnoyi funkciyi en f f todi j lishe todi koli f opukla i napivneperervna znizu za teoremoyu Fenhelya Moro 2 3 Opukla minimizaciya Redaguvati Pryama zadacha opuklogo programuvannya ce zadacha viglyadu inf x M f x displaystyle inf x in M f x nbsp taka sho f X R displaystyle f X to mathbb R cup pm infty nbsp ye opukloyu funkciyeyu a M X displaystyle M subseteq X nbsp ye opukloyu mnozhinoyu Dvoyista zadacha Redaguvati Princip dvoyistosti v optimizaciyi stverdzhuye sho zadachu optimizaciyi mozhna rozglyadati z dvoh tochok zoru yak pryamu zadachu abo dvoyistu zadachu Zagalom yaksho dano dvoyistu paru en 4 vidokremlyuvanih lokalno opuklih prostoriv X X displaystyle left X X right nbsp ta funkciyu f X R displaystyle f X to mathbb R cup infty nbsp mozhna viznachiti pryamu zadachu yak znahodzhennya takogo x displaystyle hat x nbsp sho f x inf x X f x displaystyle f hat x inf x in X f x nbsp Inshimi slovami f x displaystyle f hat x nbsp ce infimum tochna nizhnya granicya funkciyi f displaystyle f nbsp Yaksho ye obmezhennya yih mozhna vbuduvati u funkciyu f displaystyle f nbsp yaksho poklasti f f I c o n s t r a i n t s displaystyle tilde f f I mathrm constraints nbsp de I displaystyle I nbsp indikatorna funkciya en Nehaj teper F X Y R displaystyle F X times Y to mathbb R cup infty nbsp dlya inshoyi dvoyistoyi pari Y Y displaystyle left Y Y right nbsp funkciya zburen en taka sho F x 0 f x displaystyle F x 0 tilde f x nbsp 5 Dvoyista zadacha dlya ciyeyi funkciyi zburennya vidnosno vibranoyi zadachi viznachayetsya yak sup y Y F 0 y displaystyle sup y in Y F 0 y nbsp de F opukle spryazhennya za oboma zminnimi funkciyi F Rozriv dvoyistosti ce riznicya pravoyi ta livoyi chastin nerivnosti sup y Y F 0 y inf x X F x 0 displaystyle sup y in Y F 0 y leqslant inf x in X F x 0 nbsp de F displaystyle F nbsp opukle spryazhennya vid oboh zminnih a sup displaystyle sup nbsp oznachaye supremum tochna verhnya granicya 6 7 5 6 sup y Y F 0 y inf x X F x 0 displaystyle sup y in Y F 0 y leqslant inf x in X F x 0 nbsp Cej princip zbigayetsya zi slabkoyu dvoyististyu Yaksho obidvi storoni rivni kazhut zadacha zadovolnyaye umovam silnoyi dvoyistosti Isnuye bagato umov dlya silnoyi dvoyistosti taki yak F F de F funkciya zburen en dlya pryamoyi ta dvoyistoyi zadach a F podvijne spryazhennya funkciyi F pryama zadacha ye zadacheyu linijnogo programuvannya Umova Slejtera dlya zadach opuklogo programuvannya 8 9 Dvoyistist Lagranzha Redaguvati Dlya opukloyi zadachi minimizaciyi z obmezhennyami nerivnostyami min x f x displaystyle min x f x nbsp za umov g i x 0 displaystyle g i x leqslant 0 nbsp dlya i 1 m dd dd dvoyistoyu zadacheyu Lagranzha bude sup u inf x L x u displaystyle sup u inf x L x u nbsp za umov u i x 0 displaystyle u i x geqslant 0 nbsp dlya i 1 m dd dd de cilova funkciyaL x u displaystyle L x u nbsp ye dvoyistoyu funkciyeyu Lagranzha viznachenoyu tak L x u f x j 1 m u j g j x displaystyle L x u f x sum j 1 m u j g j x nbsp Primitki Redaguvati a b v Rockafellar 1997 a b Zălinescu 2002 s 75 79 Borwein Lewis 2006 s 76 77 Dvoyista para ce trijka X X displaystyle left X X langle rangle right nbsp de X displaystyle X nbsp vektornij prostir nad polem F displaystyle F nbsp X displaystyle X nbsp mnozhina vsih linijnih vidobrazhen ϕ X F displaystyle phi colon X to F nbsp a tretij element bilinijna forma X X F ϕ x ϕ x displaystyle X times X to F colon phi x mapsto phi x nbsp a b Boţ Wanka Grad 2009 a b Csetnek 2010 Zălinescu 2002 s 106 113 Borwein Lewis 2006 Boyd Vandenberghe 2004 Literatura RedaguvatiOsipenko K Yu Optimizaciya Ch 1 Vypuklyj analiz konsp lekcij M MGU 57 s Osipenko K Yu Vypuklyj analiz programma kursa i konsp lekcij M MGU 68 s Petrov N N Vypuklyj analiz konsp lekcij Izhevsk UdmGU 2009 160 s Zhadan V G Metody optimizacii Chast I Vvedenie v vypuklyj analiz i teoriyu optimizacii ucheb pos dlya stud vuzov po napravl Prikladnye matematika i fizika Moskva MFTI 2014 ISBN 978 5 7417 0514 8 Ch I 271 s Vypusk 300 sht Elementy vypuklogo i silno vypuklogo analiza uchebnoe posobie dlya studentov vysshih uchebnyh zavedenij obuchayushihsya po napravleniyu Prikladnye matematika i fizika i smezhnym napravleniyam i specialnostyam E S Polovinkin M V Balashov 2 e izd ispr i dop M Fizmatlit 2007 438 s 22 sm Fiztehovskij uchebnik ISBN 978 5 9221 0896 6 Protasov V Yu Vypuklyj analiz konsp lekcij Mehmat MGU ekonomich potok 2009 g M MGU Jonathan Borwein Adrian Lewis Convex Analysis and Nonlinear Optimization Theory and Examples 2 Springer 2006 ISBN 978 0 387 29570 1 Stephen Boyd Lieven Vandenberghe Convex Optimization Cambridge University Press 2004 ISBN 978 0 521 83378 3 R Tyrrell Rockafellar Convex Analysis 1970 Princeton NJ Princeton University Press 1997 ISBN 978 0 691 01586 6 Radu Ioan Boţ Gert Wanka Sorin Mihai Grad Duality in Vector Optimization Springer 2009 ISBN 978 3 642 02885 4 Constantin Zălinescu Convex analysis in general vector spaces River Edge NJ World Scientific Publishing Co Inc 2002 S 106 113 ISBN 981 238 067 1 Erno Robert Csetnek Overcoming the failure of the classical generalized interior point regularity conditions in convex optimization Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators Logos Verlag Berlin GmbH 2010 ISBN 978 3 8325 2503 3 Jonathan Borwein Adrian Lewis Convex Analysis and Nonlinear Optimization Theory and Examples 2 Springer 2006 ISBN 978 0 387 29570 1 Hiriart Urruty J B Lemarechal C Fundamentals of convex analysis Berlin Springer Verlag 2001 ISBN 978 3 540 42205 1 Ivan Singer Abstract convex analysis New York John Wiley amp Sons Inc 1997 S xxii 491 Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts ISBN 0 471 16015 6 Stoer J Witzgall C Convexity and optimization in finite dimensions Berlin Springer 1970 T 1 ISBN 978 0 387 04835 2 Kusraev A G Kutateladze S S Subdifferentials Theory and Applications Dordrecht Kluwer Academic Publishers 1995 ISBN 978 94 011 0265 0 Kusraev A G Kutateladze S S Subdifferencialy Teoriya i prilozheniya Ch 2 2 e pererab Novosibirsk Izd vo In ta matematiki 2003 ISBN 5 86134 116 8 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Opuklij analiz amp oldid 35488770