www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Фенхеля Моро необхідна і достатня умова того що дійснозначна функція дорівнює своєму дворазовому опуклому спряже

Теорема Фенхеля — Моро

Теорема Фенхеля — Моро — необхідна і достатня умова того, що дійснозначна функція дорівнює своєму дворазовому опуклому спряженню. При цьому для будь-якої функції вірно, що .

Функція, яка не напівнеперервна знизу. За теоремою Фенхеля — Моро, ця функція не дорівнює своїй другій спряженій.

Твердження можна розглядати як узагальнення теореми про біполяру[en]. Її використовують у теорії двоїстості для доведення сильної двоїстості (через функцію збурень[en]).

Для скінченного випадку теорему довів Вернер Фенхель 1949 року і для нескінченновимірного — Жан-Жак Моро[ru] 1960 року.

Твердження теореми ред.

Нехай  — гаусдорфів локально опуклий простір. Для будь-якої функції зі значеннями на розширеній числовій прямій випливає, що , де  — опукле спряження до тоді й лише тоді, коли виконується одна з таких умов:

  1. є власною опуклою функцією[en] напівнеперервною знизу і опуклою функцією,
  2. , або
  3. .

У геометричному формулюванні теорема стверджує, що необхідною та достатньою умовою того, щоб надграфік функції був перетином надграфіків афінних функцій, є опуклість і замкнутість цієї функції.

Примітки ред.

  1. ↑ Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
  2. Zălinescu, 2002, с. 75–79.
  3. ↑ Тихомиров В. Геометрия выпуклости. — Квант. — 2003. — № 4.
  4. Lai, Lin, 1988, с. 85–90.
  5. Koshi, Komuro, 1983, с. 178–181.

Література ред.

  • Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — № 6(144). — С. 51–116.
  • Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
  • Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701.
  • Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. — ISBN 981-238-067-1.
  • Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Т. 103, вип. 1 (May). — DOI:10.2307/2047532.
  • Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вип. 5.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema Fenhelya Moro neobhidna i dostatnya umova togo sho dijsnoznachna funkciya dorivnyuye svoyemu dvorazovomu opuklomu spryazhennyu Pri comu dlya bud yakoyi funkciyi virno sho f f displaystyle f leqslant f 1 2 Funkciya yaka ne napivneperervna znizu Za teoremoyu Fenhelya Moro cya funkciya ne dorivnyuye svoyij drugij spryazhenij Tverdzhennya mozhna rozglyadati yak uzagalnennya teoremi pro bipolyaru en 1 Yiyi vikoristovuyut u teoriyi dvoyistosti dlya dovedennya silnoyi dvoyistosti cherez funkciyu zburen en Dlya skinchennogo vipadku teoremu doviv Verner Fenhel 1949 roku i dlya neskinchennovimirnogo Zhan Zhak Moro ru 1960 roku 3 Tverdzhennya teoremi red Nehaj X t displaystyle X tau nbsp gausdorfiv lokalno opuklij prostir Dlya bud yakoyi funkciyi zi znachennyami na rozshirenij chislovij pryamij f X R displaystyle f X to mathbb R cup pm infty nbsp viplivaye sho f f displaystyle f f nbsp de f displaystyle f nbsp opukle spryazhennya do f displaystyle f nbsp todi j lishe todi koli vikonuyetsya odna z takih umov f displaystyle f nbsp ye vlasnoyu opukloyu funkciyeyu en napivneperervnoyu znizu i opukloyu funkciyeyu f displaystyle f equiv infty nbsp abo f displaystyle f equiv infty nbsp 1 4 5 U geometrichnomu formulyuvanni teorema stverdzhuye sho neobhidnoyu ta dostatnoyu umovoyu togo shob nadgrafik funkciyi buv peretinom nadgrafikiv afinnih funkcij ye opuklist i zamknutist ciyeyi funkciyi 3 Primitki red a b v Borwein Lewis 2006 s 76 77 Zălinescu 2002 s 75 79 a b Tihomirov V Geometriya vypuklosti Kvant 2003 4 Lai Lin 1988 s 85 90 Koshi Komuro 1983 s 178 181 Literatura red Ioffe A D Tihomirov V M Dvojstvennost vypuklyh funkcij i ekstremalnye zadachi UMN 1968 6 144 S 51 116 Strekalovskij A S Vvedenie v vypuklyj analiz Irkutskij gosudarstvennyj universitet 2009 Jonathan Borwein Adrian Lewis Convex Analysis and Nonlinear Optimization Theory and Examples 2 Springer 2006 ISBN 9780387295701 Constantin Zălinescu Convex analysis in general vector spaces River Edge NJ World Scientific Publishing Co Inc 2002 ISBN 981 238 067 1 Hang Chin Lai Lai Jui Lin The Fenchel Moreau Theorem for Set Functions Proceedings of the American Mathematical Society American Mathematical Society 1988 T 103 vip 1 May DOI 10 2307 2047532 Shozo Koshi Naoto Komuro A generalization of the Fenchel Moreau theorem Proc Japan Acad Ser A Math Sci 1983 T 59 vip 5 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Fenhelya Moro amp oldid 36653932