www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гіперболічні функції Гіперболі чні фу нкції сімейство елементарних функцій які виражаються через експоненту і тісно пов

Гіперболічні функції

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.

sh, ch та th

Визначення Редагувати

Визначення гіперболічних функцій через гіперболу

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

  • гіперболічний синус:

Існує сленгова назва: «шинус».

  • гіперболічний косинус:

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».

Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

  • гіперболічний тангенс:

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

  • гіперболічний котангенс:
  • гіперболічні секанс і косеканс:

Властивості Редагувати

Один зі способів визначення тригонометричних функцій через одиничне коло

Зв'язок з тригонометричними функціями Редагувати

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

.

.

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

Важливі тотожності Редагувати

  1. .
  2. Парність:
    1. ,
    2. ,
    3. .
  3. Формули додавання:
    1. ,
    2. ,
    3. .
  4. Формули подвоєного кута:
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. ,
    5. ,
    6. .
  5. Формули кратних кутів:
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. ,
    5. ,
    6. .
  6. Добуток
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. .
  7. Суми
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. .
  8. Формули пониження степеня
    1. ,
    2. .
  9. Похідні:
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. ,
    5. ,
    6. .
  10. Інтеграли:
    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. ,
    5. .

Нерівності Редагувати

При всіх виконується

  1. ,
  2. .

Розкладання в степеневі ряди Редагувати

Тут  — числа Бернуллі.

Графіки Редагувати

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Аналітичні властивості Редагувати

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках , де  — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок , лишки в цих полюсах також рівні одиниці.

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (жовтень 2014)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Giperboli chni fu nkciyi simejstvo elementarnih funkcij yaki virazhayutsya cherez eksponentu i tisno pov yazani z trigonometrichnimi funkciyami sh ch ta th Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 2 1 Zv yazok z trigonometrichnimi funkciyami 2 2 Vazhlivi totozhnosti 2 3 Nerivnosti 2 4 Rozkladannya v stepenevi ryadi 2 5 Grafiki 2 6 Analitichni vlastivosti 3 Div takozh 4 PosilannyaViznachennya Redaguvati nbsp Viznachennya giperbolichnih funkcij cherez giperboluGiperbolichni funkciyi zadayutsya takimi formulami giperbolichnij sinus s h x e x e x 2 displaystyle mathop mathrm sh x frac e x e x 2 nbsp v inozemnij literaturi poznachayetsya sinh x displaystyle sinh x nbsp Isnuye slengova nazva shinus giperbolichnij kosinus c h x e x e x 2 displaystyle mathop mathrm ch x frac e x e x 2 nbsp v inozemnij literaturi poznachayetsya cosh x displaystyle cosh x nbsp Isnuye slengova nazva chosinus koshinus Liniyu giperbolichnogo kosinusa nazivayut lancyugovoyu bo same taku formu prijmaye lancyug abo motuzka yaku pidvisili za obidva kinci v odnoridnomu gravitacijnomu poli giperbolichnij tangens t h x s h x c h x displaystyle mathop mathrm th x frac mathop mathrm sh x mathop mathrm ch x nbsp v inozemnij literaturi poznachayetsya tanh x displaystyle tanh x nbsp Isnuyut slengovi nazvi shangens cangens Inodi takozh viznachayetsya giperbolichnij kotangens c t h x 1 t h x displaystyle mathop mathrm cth x frac 1 mathop mathrm th x nbsp giperbolichni sekans i kosekans s e c h x 1 c h x displaystyle mathop mathrm sech x frac 1 mathop mathrm ch x nbsp c s c h x 1 s h x displaystyle mathop mathrm csch x frac 1 mathop mathrm sh x nbsp Vlastivosti Redaguvati nbsp Odin zi sposobiv viznachennya trigonometrichnih funkcij cherez odinichne koloZv yazok z trigonometrichnimi funkciyami Redaguvati Giperbolichni funkciyi virazhayutsya cherez trigonometrichni funkciyi vid uyavnogo argumentu sh x i sin i x ch x cos i x th x i tg i x displaystyle operatorname sh x i sin ix quad operatorname ch x cos ix quad operatorname th x i operatorname tg ix nbsp sh i x i sin x ch i x cos x th i x i tg x displaystyle operatorname sh ix i operatorname sin x quad operatorname ch ix cos x quad operatorname th ix i operatorname tg x nbsp Funkciya Gudermana zv yazuye trigonometrichni funkciyi ta giperbolichni funkciyi bez zaluchennya kompleksnih chisel Vazhlivi totozhnosti Redaguvati ch 2 x sh 2 x 1 displaystyle operatorname ch 2 x operatorname sh 2 x 1 nbsp Parnist sh x sh x displaystyle operatorname sh x operatorname sh x nbsp ch x ch x displaystyle operatorname ch x operatorname ch x nbsp th x th x displaystyle operatorname th x operatorname th x nbsp Formuli dodavannya sh x y sh x ch y sh y ch x displaystyle operatorname sh x pm y operatorname sh x operatorname ch y pm operatorname sh y operatorname ch x nbsp ch x y ch x ch y sh y sh x displaystyle operatorname ch x pm y operatorname ch x operatorname ch y pm operatorname sh y operatorname sh x nbsp th x y th x th y 1 th x th y displaystyle operatorname th x pm y frac operatorname th x pm operatorname th y 1 pm operatorname th x operatorname th y nbsp Formuli podvoyenogo kuta sh 2 x 2 ch x sh x 2 th x 1 th 2 x displaystyle operatorname sh 2x 2 operatorname ch x operatorname sh x frac 2 operatorname th x 1 operatorname th 2 x nbsp ch 2 x ch 2 x sh 2 x 2 ch 2 x 1 1 2 sh 2 x 1 th 2 x 1 th 2 x displaystyle operatorname ch 2x operatorname ch 2 x operatorname sh 2 x 2 operatorname ch 2 x 1 1 2 operatorname sh 2 x frac 1 operatorname th 2 x 1 operatorname th 2 x nbsp th 2 x 2 th x 1 th 2 x displaystyle operatorname th 2x frac 2 operatorname th x 1 operatorname th 2 x nbsp cth 2 x 1 2 th x cth x displaystyle operatorname cth 2x frac 1 2 operatorname th x operatorname cth x nbsp th x ch 2 x 1 sh 2 x sh 2 x 1 ch 2 x displaystyle operatorname th x frac operatorname ch 2x 1 operatorname sh 2x frac operatorname sh 2x 1 operatorname ch 2x nbsp ch 2 x sh 2 x sh x ch x 2 displaystyle operatorname ch 2x pm operatorname sh 2x operatorname sh x pm operatorname ch x 2 nbsp Formuli kratnih kutiv sh 3 x 4 sh 3 x 3 sh x displaystyle operatorname sh 3x 4 operatorname sh 3 x 3 operatorname sh x nbsp ch 3 x 4 ch 3 x 3 ch x displaystyle operatorname ch 3x 4 operatorname ch 3 x 3 operatorname ch x nbsp th 3 x th x 3 th 2 x 1 3 th 2 x displaystyle operatorname th 3x operatorname th x frac 3 operatorname th 2 x 1 3 operatorname th 2 x nbsp sh 5 x 16 sh 5 x 20 sh 3 x 5 sh x displaystyle operatorname sh 5x 16 operatorname sh 5 x 20 operatorname sh 3 x 5 operatorname sh x nbsp ch 5 x 16 ch 5 x 20 ch 3 x 5 ch x displaystyle operatorname ch 5x 16 operatorname ch 5 x 20 operatorname ch 3 x 5 operatorname ch x nbsp th 5 x th x th 4 x 10 th 2 x 5 5 th 4 x 10 th 2 x 1 displaystyle operatorname th 5x operatorname th x frac operatorname th 4 x 10 operatorname th 2 x 5 5 operatorname th 4 x 10 operatorname th 2 x 1 nbsp Dobutok sh x sh y ch x y ch x y 2 displaystyle operatorname sh x operatorname sh y frac operatorname ch x y operatorname ch x y 2 nbsp sh x ch y sh x y sh x y 2 displaystyle operatorname sh x operatorname ch y frac operatorname sh x y operatorname sh x y 2 nbsp ch x ch y ch x y ch x y 2 displaystyle operatorname ch x operatorname ch y frac operatorname ch x y operatorname ch x y 2 nbsp th x th y ch x y ch x y ch x y ch x y displaystyle operatorname th x operatorname th y frac operatorname ch x y operatorname ch x y operatorname ch x y operatorname ch x y nbsp Sumi sh x sh y 2 sh x y 2 ch x y 2 displaystyle operatorname sh x pm operatorname sh y 2 operatorname sh frac x pm y 2 operatorname ch frac x mp y 2 nbsp ch x ch y 2 ch x y 2 ch x y 2 displaystyle operatorname ch x operatorname ch y 2 operatorname ch frac x y 2 operatorname ch frac x y 2 nbsp ch x ch y 2 sh x y 2 sh x y 2 displaystyle operatorname ch x operatorname ch y 2 operatorname sh frac x y 2 operatorname sh frac x y 2 nbsp th x th y sh x y ch x ch y displaystyle operatorname th x pm operatorname th y frac operatorname sh x pm y operatorname ch x operatorname ch y nbsp Formuli ponizhennya stepenya ch 2 x 2 ch x 1 2 displaystyle operatorname ch 2 frac x 2 frac operatorname ch x 1 2 nbsp sh 2 x 2 ch x 1 2 displaystyle operatorname sh 2 frac x 2 frac operatorname ch x 1 2 nbsp Pohidni sh x ch x displaystyle operatorname sh x prime operatorname ch x nbsp ch x sh x displaystyle operatorname ch x prime operatorname sh x nbsp th x 1 ch 2 x displaystyle operatorname th x prime frac 1 operatorname ch 2 x nbsp sh x 0 x ch t d t displaystyle operatorname sh x int limits 0 x operatorname ch tdt nbsp ch x 1 0 x sh t d t displaystyle operatorname ch x 1 int limits 0 x operatorname sh tdt nbsp th x 0 x d t ch 2 t displaystyle operatorname th x int limits 0 x frac dt operatorname ch 2 t nbsp Integrali sh x d x ch x C displaystyle int operatorname sh x dx operatorname ch x C nbsp ch x d x sh x C displaystyle int operatorname ch x dx operatorname sh x C nbsp th x d x ln ch x C displaystyle int operatorname th x dx ln operatorname ch x C nbsp 1 ch 2 x d x th x C displaystyle int frac 1 operatorname ch 2 x dx operatorname th x C nbsp 1 sh 2 x d x cth x C displaystyle int frac 1 operatorname sh 2 x dx operatorname cth x C nbsp Divis takozh Tablicya integraliv giperbolichnih funkcij Tablicya integraliv obernenih giperbolichnih funkcijNerivnosti Redaguvati Pri vsih x R displaystyle x in mathbb R nbsp vikonuyetsya 0 ch x 1 sh x lt ch x displaystyle 0 leq operatorname ch x 1 leq operatorname sh x lt operatorname ch x nbsp th x lt 1 displaystyle operatorname th x lt 1 nbsp Rozkladannya v stepenevi ryadi Redaguvati sh x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 n 0 x 2 n 1 2 n 1 displaystyle operatorname sh x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 ldots sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 nbsp ch x 1 x 2 2 x 4 4 x 6 6 n 0 x 2 n 2 n displaystyle operatorname ch x 1 frac x 2 2 frac x 4 4 frac x 6 6 ldots sum n 0 infty frac x 2n 2n nbsp th x x x 3 3 2 x 5 15 17 x 7 315 n 1 1 n 1 2 2 n 2 2 n 1 B 2 n x 2 n 1 2 n x lt p 2 displaystyle operatorname th x x frac x 3 3 frac 2x 5 15 frac 17x 7 315 ldots sum n 1 infty frac 1 n 1 2 2n 2 2n 1 B 2n x 2n 1 2n quad x lt frac pi 2 nbsp cth x 1 x x 3 x 3 45 2 x 5 945 1 x n 1 1 n 1 2 2 n B 2 n x 2 n 1 2 n 0 lt x lt p displaystyle operatorname cth x frac 1 x frac x 3 frac x 3 45 frac 2x 5 945 ldots frac 1 x sum n 1 infty frac 1 n 1 2 2n B 2n x 2n 1 2n quad 0 lt x lt pi nbsp Ryad Lorana Tut B 2 n displaystyle B 2n nbsp chisla Bernulli Grafiki Redaguvati nbsp sh x ch x th x cth x Analitichni vlastivosti Redaguvati Giperbolichnij sinus i giperbolichnij kosinus analitichnij u vsij kompleksnij ploshini za vinyatkom istotno osoblivoyi tochki na neskinchennosti Giperbolichnij tangens analitichnij skriz okrim polyusiv v tochkah z i p n 1 2 displaystyle z i pi n tfrac 1 2 nbsp de n displaystyle n nbsp cile Lishki u vsih cih polyusah rivni odinici Giperbolichnij kotangens analitichnij skriz okrim tochok z i p n displaystyle z i pi n nbsp lishki v cih polyusah takozh rivni odinici Div takozh RedaguvatiOberneni giperbolichni funkciyiPosilannya RedaguvatiGiperbolichni funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 184 594 s Giperbolicheskie funkcii sh ch th cth sech csch www math10 com Arhiv originalu za 20 lipnya 2021 Procitovano 20 lipnya 2021 ros Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno zhovten 2014 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Giperbolichni funkciyi amp oldid 34803670