www.wikidata.uk-ua.nina.az

Лишок Не плутати з Залишком Ли шок від фр résidu лишок англ residue рос вычет у комплексному аналізі число як дійсне так

Лишок

Не плутати з Залишком.

Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Визначення Редагувати

Нехай функція має ізольовану особливу точку однозначного характеру (або регулярна у цій точці). При скінченному лишком функції у точці називається величина

Оскільки  — будь-яке достатньо мале додатне число, а  — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Нескладно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції по степеням в ряд Лорана є лишком цієї функції:

Лишок у «нескінченності» Редагувати

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції , тоді лишком у нескінченності називається число

де  — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розвинення в околі нескінченно віддаленої точки:

Логарифмічний лишок Редагувати

Інтеграл виду

називається логарифмічним лишком функції відносно контуру С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

Методи обчислення лишків Редагувати

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точка Редагувати

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то

Полюс Редагувати

  • Полюс кратності n у точці :

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: , і , то:

Істотно особлива точка Редагувати

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розвинення в ряд Лорана. Наприклад:

Розвинемо та в ряд Лорана:

Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  • Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ne plutati z Zalishkom Li shok vid fr residu lishok angl residue ros vychet u kompleksnomu analizi chislo yak dijsne tak i kompleksne yake opisuye povedinku krivolinijnih integraliv meromorfnih funkcij u deyakij osoblivij tochci Za dopomogoyu lishkiv mozhna obchislyuvati znachennya integraliv riznih tipiv u tomu chisli dijsnih Zmist 1 Viznachennya 1 1 Lishok u neskinchennosti 2 Logarifmichnij lishok 3 Metodi obchislennya lishkiv 3 1 Usuvna osobliva tochka 3 2 Polyus 3 3 Istotno osobliva tochka 4 Div takozh 5 DzherelaViznachennya RedaguvatiNehaj funkciya f z displaystyle f z nbsp maye izolovanu osoblivu tochku odnoznachnogo harakteru z a displaystyle z a nbsp abo regulyarna u cij tochci Pri skinchennomu a displaystyle a nbsp lishkom funkciyi f z displaystyle f z nbsp u tochci z a displaystyle z a nbsp nazivayetsya velichina r e s z a f z 1 2 p i z a ϱ f z d z displaystyle mathrm res text z a f z frac 1 2 pi i oint z a varrho f z dz nbsp Oskilki ϱ displaystyle varrho nbsp bud yake dostatno male dodatne chislo a f z displaystyle f z nbsp meromorfna to velichina vishevkazanogo integralu ne zalezhit vid znachennya cogo parametra ta shlyahu integruvannya Neskladno dovesti sho pershij koeficiyent rozkladu funkciyi f z displaystyle f z nbsp po stepenyam z a displaystyle z a nbsp v ryad Lorana ye lishkom ciyeyi funkciyi r e s z a f z C 1 displaystyle mathrm res text z a f z C 1 nbsp Lishok u neskinchennosti Redaguvati Dlya povnogo doslidzhennya funkciyi neobhidno rozglyadati lishok u neskinchennosti neskinchenno viddalena tochka na sferi Rimana Nehaj tochka z displaystyle z infty nbsp ye izolovanoyu osoblivoyu tochkoyu odnoznachnogo harakteru funkciyi f z displaystyle f z nbsp todi lishkom u neskinchennosti nazivayetsya chislo r e s f z 1 2 p i z R f z d z displaystyle mathrm res infty f z frac 1 2 pi i oint z R f z dz nbsp de R displaystyle R nbsp bud yake dostatno velike dodatne chislo Pri comu napryamok integruvannya po mezhi oblasti obirayetsya tak shob oblast zalishalasya zliva tobto proti godinnikovoyi strilki Analogichno do poperednogo vipadku lishok u neskinchennosti mozhna predstaviti u viglyadi koeficiyenta loranivskogo rozvinennya v okoli neskinchenno viddalenoyi tochki r e s f z C 1 displaystyle mathrm res infty f z C 1 nbsp Logarifmichnij lishok RedaguvatiIntegral vidu 1 2 p i C f z f z d z displaystyle frac 1 2 pi i oint C frac f z f z dz nbsp nazivayetsya logarifmichnim lishkom funkciyi f z displaystyle f z nbsp vidnosno konturu S Svoyu nazvu otrimav cherez te sho pidintegralnij viraz ye pohidnoyu logarifma Znahodit zastosuvannya u dovedenni teoremi Rushe ta osnovnoyi teoremi algebri Sam integral viznachayetsya lishe principom argumentu 1 2 p i C f z f z d z 1 2 p i C L n f z d z 1 2 p i L n f z C 1 2 p i ln f z i a r g f z C 1 2 p D C a r g f z displaystyle frac 1 2 pi i oint C frac f z f z dz frac 1 2 pi i oint C mathrm Ln f z dz frac 1 2 pi i mathrm Ln f z C frac 1 2 pi i ln f z i mathrm arg f z C frac 1 2 pi Delta C mathrm arg f z nbsp Metodi obchislennya lishkiv RedaguvatiNa praktici obchislyuvati lishki za oznachennyam tobto cherez konturnij integral u bagatoh vipadkah vazhko Tomu vikoristovuyut naslidki z oznachennya dlya osoblivih tochok riznogo tipu Usuvna osobliva tochka Redaguvati V usuvnij osoblivij tochci lishok dorivnyuye nulyu Prote u vipadku z neskinchennistyu ce ne zavzhdi tak Yaksho v okoli neskinchenno viddalenoyi tochki funkciya maye rozvinennya v ryad Lorana to r e s f z C 1 lim z z f f z displaystyle mathrm res infty f z C 1 lim z to infty z f infty f z nbsp Polyus Redaguvati Prostij polyus u tochci z a displaystyle z a nbsp r e s z a f z lim z a f z z a displaystyle mathrm res text z a f z lim z to a f z z a nbsp Polyus kratnosti n u tochci z a displaystyle z a nbsp r e s z a f z 1 n 1 lim z a d n 1 d z n 1 f z z a n displaystyle mathrm res text z a f z 1 over n 1 lim z to a d n 1 over dz n 1 f z z a n nbsp Prote yaksho funkciya predstavlena yak chastka dvoh golomorfnih funkcij f z g z h z displaystyle f z frac g z h z nbsp i h a 0 h a 0 displaystyle h a 0 h a neq 0 nbsp to r e s z a f z g a h a displaystyle mathrm res text z a f z frac g a h a nbsp Istotno osobliva tochka Redaguvati U bilshosti vipadkiv v istotno osoblivij tochci lishok zruchno znahoditi yak koeficiyent rozvinennya v ryad Lorana Napriklad f z 2 z 1 cos z z 1 2 z 1 1 cos 1 1 z 1 2 z 1 1 cos 1 cos 1 z 1 sin 1 sin 1 z 1 displaystyle f z 2z 1 cos frac z z 1 2 z 1 1 cos left 1 frac 1 z 1 right 2 z 1 1 cos 1 cos frac 1 z 1 sin 1 sin frac 1 z 1 nbsp Rozvinemo cos 1 z 1 displaystyle cos frac 1 z 1 nbsp ta sin 1 z 1 displaystyle sin frac 1 z 1 nbsp v ryad Lorana cos 1 z 1 1 1 2 z 1 2 1 4 z 1 4 displaystyle cos frac 1 z 1 1 frac 1 2 z 1 2 frac 1 4 z 1 4 nbsp sin 1 z 1 1 z 1 1 3 z 1 3 1 5 z 1 5 displaystyle sin frac 1 z 1 frac 1 z 1 frac 1 3 z 1 3 frac 1 5 z 1 5 nbsp Todi pislya pidstanovki cih rozvinen ta zvedennya podibnih dodankiv mozhna pobachiti sho r e s z 1 C 1 cos 1 sin 1 displaystyle mathrm res z 1 C 1 cos 1 sin 1 nbsp Div takozh RedaguvatiIntegralna formula Koshi Integralna teorema Koshi Osnovna teorema pro lishkiDzherela RedaguvatiGrishenko A O Nagnibida M I Nastasiv P P Teoriya funkcij kompleksnoyi zminnoyi K Visha shkola 1994 375 st Evgrafov M A Analiticheskie funkcii M Nauka 1965 471 st Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Lishok amp oldid 27842585