Рівняння Якобі — Маддена — це діофантове рівняння
яке 2008 року запропонували фізик Лі У. Якобі та математик Деніел Дж. Мадден. Змінні a, b, c і d можуть бути будь-якими цілими числами, додатними, від'ємними або 0. Якобі й Мадден показали, що є безліч розв'язків рівняння з усіма не рівними нулю змінними.
Історія ред.
З кожного розв'язку рівняння Якобі — Маддена взаємно однозначно випливає деякий розв'язок рівняння
яке вперше запропонував 1772 року Леонард Ейлер, який припустив, що чотири є найменшим числом (більшим від одиниці) четвертих степенів ненульових цілих чисел, які в сумі дають інший четвертий степінь. Ця гіпотеза, відома тепер як гіпотеза Ейлера, є природним узагальненням великої теореми Ферма; останню довів для четвертого степеня сам П'єр Ферма.
Ноам Елкіс[en] першим знайшов нескінченну послідовність розв'язків цього рівняння Ейлера з однією змінною рівною нулю, спростувавши гіпотезу Ейлера для випадку четвертого степеня.
Однак до публікації Якобі та Маддена було невідомо, чи існує нескінченна кількість розв'язків рівняння Ейлера четвертого степеня з усіма ненульовими змінними. Було відоме лише скінченне число таких розв'язків. 1964 року Сімха Брудно отримав один із таких розв'язків із розв'язку рівняння Якобі — Маддена:
Підхід ред.
Якобі та Мадден почали з
і тотожності,
Додавши до обох частин рівняння,
можна бачити, що це окремий випадок піфагорової трійки,
Вони потім використали розв'язок Брудно й еліптичну криву для побудови нескінченної серії розв'язків як рівняння Якобі — Маддена, так і рівняння Ейлера. На відміну від методу Елкіса[en], в побудові використано ненульові значення змінних.
Якобі та Мадден помітили також, що інше початкове значення, таке як
яке знайшов Ярослав Вроблевський, дає іншу нескінченну серію розв'язків.
У серпні 2015 року Сейдзі Томіта оголосив про два нові розв'язки рівняння Якобі — Маддена з невеликими значеннями:
Див. також ред.
- Гіпотеза Біла[en]
- Задача Пруе — Таррі — Ескотта[en]
- Число таксі
- Піфагорова четвірка
- Гіпотеза Ландера — Паркіна — Селфріджа[en]
Примітки ред.
- Jacobi, Madden, 2008, с. 220–236.
- Mathematicians find new solutions to an ancient puzzle. оригіналу за 1 березня 2012. Процитовано 17 січня 2019.
- Будь-який нетривіальний розв'язок має включати як додатні, і від'ємні значення.
- Elkies, 1988, с. 825–835.
- Weisstein, Eric W. Diophantine Equation–4th Powers(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- ↑ Jaroslaw Wroblewski Database of solutions to the Euler’s equation [ 2019-10-17 у Wayback Machine.]
- Brudno, 1964, с. 1027–1028.
- Seiji Tomita, Solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 [ 2018-01-19 у Wayback Machine.], 2010.
- Seiji Tomita, New solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 [ 2016-03-04 у Wayback Machine.], 2015.
Література ред.
- Lee W. Jacobi, Daniel J. Madden. On // American Mathematical Monthly. — 2008. — Т. 115, вип. 3 (6 травня).
- Ноам Елкіс[en]. On A4 + B4 + C4 = D4 // Mathematics of Computation. — 1988. — Т. 51, вип. 184 (6 травня). — DOI: .
- Simcha Brudno. A further example of A4 + B4 + C4 + D4 = E4 // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1964. — Т. 60, вип. 04 (6 травня). — DOI: .