Діофантові рівняння — невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами, в яких невідомі змінні можуть набувати тільки цілих значень. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта Александрійського.
Діофантовим рівнянням 1-го ступеня (лінійним) з невідомими називається рівняння вигляду , де всі коефіцієнти і невідомі — цілі числа і хоча б одне
Розв'язком діофантового рівняння буде n цілих чисел , що задовольняє
Теорема Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли число ділиться націло на НСД(а, b)
Історія Редагувати
- Рівняння вигляду P(x, y,…,z)=0, де P(x, y,…,z)=0 многочлен декількох змінних із цілими коефіцієнтами, для яких потрібно знайти цілі розв'язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім'ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н. е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач із цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв'язків.
Розв'язати діофантове рівняння означає:
- a) з'ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв'язок у цілих числах;
- b) якщо рівняння має розв'язок в цілих числах, то з'ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв'язків;
- c) знайти всі цілі розв'язки рівняння.
Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв'язувати ще до Діофанта. Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має розв'язок , то йому буде задовольняти нескінченна множина пар (x, y) виду , де k — будь-яке ціле число.
Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв'язання деяких рівнянь другого степеня вигляду ax²+bxy+cy²=dz². Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел x, y, z, що задовольняють рівнянню x²+y²=z² . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами x=m²-n², y=2mn, z=m²+n² , m, n — натуральні числа, m>n.
У 20-х роках ХХ сторіччя англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння вищого степеня, ніж третій, можуть мати лише скінчену кількість цілих розв'язків. Цю гіпотезу було доведено голландським математиком Фалтінгсом 1983 року[джерело?].
Особливе місце серед діофантових рівнянь посідає рівняння , де n — натуральне число. Французький математик П'єр Ферма стверджував, що для n>2 це рівняння не має розв'язків у натуральних числах. Однак довести це твердження, яке назвали Великою теоремою Ферма, виявилося не так просто.
Діофантові рівняння першого степеня Редагувати
Рівняння виду де a, b, c — числа, а x, y — змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв'язання рівняння застосовують наступні теореми.
- Теорема 1. Якщо a i b — взаємно прості числа, то для будь-якого цілого c, рівняння має хоча б один розв'язок у цілих числах.
- Теорема 2. Якщо a i b мають спільний натуральний дільник d<>1 , а ціле число c не ділиться на d, то рівняння не має розв'язків в цілих числах.
- Теорема 3. Якщо a i b — взаємно прості числа, то рівняння має нескінченну кількість розв'язків, які знаходять за формулами , де — будь-який цілий розв'язок цього рівняння, k є Z.
Частковий розв'язок для малих a i b можна знайти підбором, а у випадку, коли числа a i b великі, скористувавшись наступною теоремою:
- Теорема 4. НСД(a, b)=d може бути записаний у вигляді де m, n — цілі числа.
Приклади Редагувати
- Лінійне рівняння:
Це рівняння має розв'язок тоді й лише тоді, коли найбільший спільний дільник ділить a.
Має розв'язок, коли d = НСД(a, b).
- :
- При розв'язками рівняння будуть піфагорові трійки
- Велика теорема Ферма стверджує, що рівняння не має розв'язків для .
- , де n не є точним квадратом — рівняння Пелля
- , де , — рівняння Каталана
- для і — рівняння Туе
Нерозв'язність у загальному вигляді Редагувати
Десята проблема Гільберта, сформульована 1900 року, полягає пошуку алгоритму для розв'зання довільних алгебраїчних діофантових рівнянь. 1970 року Юрій Матіясевіч довів алгоритмічну нерозв'язність цієї проблеми.
Див. також Редагувати
Примітки Редагувати
- Матіясевіч, Юрій (1993). . Москва: Наука. Архів оригіналу за 28 жовтня 2013. Процитовано 28 травня 2013.
Література Редагувати
- L.J. Mordell (1969). Diophantine equations. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8.
- Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000
- Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).
- Серпинский В. Н. О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
- Михайлов И. О диофантовом анализе // Квант. — 1980. — № 6. — С. 16-17,35.
- Степанов С. А. Диофантовы уравнения // Тр. МИАН СССР. — 1984. — Т. 168. — С. 31-45.
- Weisstein, Eric W. . Wolfram MathWorld - A Wolfram Web Resource. Архів оригіналу за 5 вересня 2015. Процитовано 15 вересня 2013. (англ.).
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |