www.wikidata.uk-ua.nina.az

Інтеграл Ця стаття має кілька недоліків Будь ласка допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обг

Інтеграл

Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обговорення.
Ця стаття містить перелік посилань, але походження тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність внутрішньотекстових джерел-виносок. Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, перетворивши джерела з переліку посилань на джерела-виноски у самому тексті статті. (6 жовтня 2019)
Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (6 жовтня 2019)
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Інтеграл (значення).

Інтегра́л (від лат. integer — букв. цілий) — одне із найважливіших понять математичного аналізу, яке виникає при вирішенні завдань:

знаходження площі під кривою;

пройденого шляху при нерівномірному русі;

маси неоднорідного тіла, і тому подібних;

а також у задачі про відновлення функції по її похідній (невизначений інтеграл).

Спрощено інтеграл можна представити як аналог суми для безкінечного числа безкінечно малих доданків. У залежності від простору, на якому завдано підінтегральну функцію, інтеграл може бути подвійним, трійним, криволінійним, поверхневим тощо; також існують різні підходи до визначення інтегралу — відрізняються інтеграли Римана, Лебега, Стільєса та інші.

Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою

Інтегра́л — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Виникає під час розв'язування задач про знаходження площі під кривою, знаходження пройденого шляху при нерівномірному русі та інших подібних задачах.

Ви́значений інтегра́л — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральних функціях і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса тощо.

Невизначений інтеграл

Нехай дано функцію  — функцію дійсної змінної. Неви́значеним інтегра́лом функції , або первісною, називають таку функцію , похідна якої дорівнює , тобто, . Позначається це так: . Слід зазначити, що первісна існує не для будь-якої функції. Легко бачити, що первісна існує для будь-якої неперервної функції. Оскільки похідні двох функцій, які відрізняються лише на сталу, збігаються, при знаходженні невизначеного інтегралу включають невизначену сталу наприклад

Інтегрування

Що таке інтеграл (анімація)

Процес знаходження інтеграла називається інтегрува́нням. Цей процес зазвичай використовується при знаходженні таких величин як площа, об'єм, маса, зсув тощо, коли задана швидкість або розподіл змін цієї величини по відношенню до деякої іншої величини (розташування, час тощо).

Існує декілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються в технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до даної функції, дадуть той самий результат.

Інтегрування — операція, обернена до диференціювання, див. основна теорема аналізу. В результаті невизначеного інтегрування виходить функція, яка називається первісною. Першим інтегралом є число (або, принаймні, не залежна від змінної інтегрування частина).

Історія

Інтеграл в давнину

Інтеграція простежується ще в давньому Єгипті, приблизно у 1800 до н.е., Московський математичний папірус демонструє знання формули об'єму січної піраміди. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпування Евдокса (приблизно 370 до н. е.), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомий. Цей метод був підхоплений і розвинутий Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Аналогічні методи були розроблені незалежно в Китаї в 3-м столітті н.е Лю Хуейєм, який використовував їх для знаходження площі круга. Цей метод був згодом використаний Цзу Чунчжи для знаходження об'єму сфери.

Ньютон і Лейбніц

Основне досягнення в області інтегрування відбулося в 17-му столітті із відкриттям фундаментальної теореми числення (відомої як формула Ньютона — Лейбніца) Ньютоном і Ляйбніцом, незалежно один від одного. Теорема встановлює зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. Зокрема, фундаментальна теорема числення дозволила вирішувати більш широкий клас задач. Ньютон і Лейбніц створили комплексну математичну теорію, що є не менш важливим. Ця теорія має назву - числення нескінченно малих величин, і дозволила здійснювати точний аналіз неперервних функцій. Ці основоположні роботи зрештою стали сучасним численням, в якому була використана нотація для інтегралів, що на пряму спирається на роботи Лейбніца.

Знак інтеграла (∫), був вперше використаний Ляйбніцом наприкінці XVII століття. Цей символ утворився з букви ſ («довга s») — скорочення слова лат. ſumma (summa, сума).

Формальні визначення

Приклад інтеграла із нерівномирним розділенням (найбільша ділянка відмічена червоним)
Збіжність ріманової суми

Існує багато способів формального визначення інтеграла, і не всі з них є еквівалентними один одному. Існують відмінності в основному пов'язані із різними особливими випадками, які можуть бути не інтегровані в рамках якихось визначень. Найбільш поширеними і загальними визначеннями інтеграла є ітеграл Рімана і інтеграл Лебега.

Інтеграл Рімана

Інтеграл Рімана — найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної , визначеній на відрізку та певного розбиття цього відрізку на відрізки інтегральна сума визнається як

де  — будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відрізку до нуля, то функція називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку і позначається

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

Властивості

Лінійний функціонал

На певній області визначення інтеграл є лінійним функціоналом на просторі функцій:

тут і  — функції,  — число.

Адитивність по області

Якщо області та не перетинаються (або «перетинаються в точці»), інтеграл по об'єднаній області є сумою інтегралів по та :

Монотонність

Якщо незростаюча послідовність (тобто ) функцій, які збігаються до нуля для всіх на області інтегрування, тоді .

Нормованість

Інтеграл сталої функції-константи розраховується «як площа прямокутника»

де  — це «міра» області інтегрування, в простішому випадку просто довжина інтервалу, або ж «площа» області інтегрування.

Головна теорема інтегрального числення

Якщо у функції на відрізку існує первісна , то

Ця формула називається формулою Ньютона — Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення. Вона дає практичний і зручний спосіб обчислення визначеного інтеграла за значеннями первісної на кінцях відрізку інтегрування. Багатовимірні інтеграли обчислюються за допомогою теореми про зведення кратних інтегралів до повторного.

Узагальнення визначеного інтеграла

Невласний інтеграл

Інтеграл «першого роду» на необмеженій області визначення
Інтеграл «другого роду» від необмеженої функції

Невласний інтеграл є розширенням поняття визначеного інтегралу; він дозволяє в деяких випадках обраховувати «інтеграл на нескінченості» або «інтеграл від необмеженої функції». В математичному аналізі невласним інтегралом називають границю послідовності визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде у нескінченість.

Невласним інтегралом «першого роду» називається границя , якщо вона існує.

Невласний інтеграл «другого роду» дозволяє в деяких випадках визначити «інтеграл від функції, необмеженої на інтервалі». А саме, нехай функція визначена на , і для кожного малого існують інтеграли . Тоді якщо існує дійсна границя , то вона зветься невласним інтегралом «другого роду».

Кратний інтеграл

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох зміних буде інтегруватися

Кратний інтеграл або ж багатократний інтеграл степеня n, це визначений інтеграл по n змінних з функції n змінних:

Кратний інтеграл — це саме визначений інтеграл, при його обчисленні завжди виходить число

Окремі випадки багатократного інтеграла це:

  • подвійний інтеграл:
  • потрійний інтеграл:

Для геометричної інтерпретації розглянемо випадок . Нехай функція приймає в області тільки позитивні значення. Тоді подвійний інтеграл чисельно дорівнює об'єму вертикального циліндрового тіла, побудованого на основі і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні .

Головним методом для розрахунку кратного інтеграла є зведення кратного інтеграла до повторних

Хай  — вимірна множина,  — також вимірна множина, визначена і інтегрована на . Тоді

Будь-який d-вимірний інтеграл можна звести до d одномірних.

Лінійний інтеграл

Поверхневий інтеграл

Ширші узагальнення

Інтеграл Лебега

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтеграла Рімана на ширший клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому разі обидва інтеграли однакові. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів. Важливо зазначити, що побудова інтеграла Лебега спирається на теорію міри Лебега.

Як традиційний приклад розглянемо функцію Діріхле , задану на , де  — борелівська σ-алгебра на , а  — міра Лебега. Ця функція приймає значення в раціональних точках і в ірраціональних. Легко побачити, що не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

Дійсно, міра відрізка дорівнює 1, і оскільки множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, значить міра ірраціональних чисел дорівнює .

Інтеграл Даніелла

Одне з основних ускладнень у використанні традиційного інтеграла Лебега полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної теорії міри.

Існує інший підхід, викладений Даніеллем в 1918 році в його статті «Загальний вид інтеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), що не має цього недоліку і що має значні переваги при узагальненні на простори вищих розмірностей і подальших узагальненнях (наприклад, у формі інтеграла Стілтьєса).

Основна ідея полягає в аксіоматизуванні поняття інтеграла. Розглянемо сімейство обмежених дійснозначних функцій (названих елементарними функціями), визначених на множині , що задовольняє таким аксіомам:

1.  — лінійний простір зі звичайними операціями додавання і скалярного множення.

2. : якщо функція належить , то її модуль також належить

Крім того, на просторі елементарних функцій визначається позитивно визначений неперервний лінійний функціонал , названий елементарний інтеграл.

  1. Лінійність: якщо h і k обидва належать H, і ,  — довільні дійсні числа, тоді .
  2. Невід'ємність: якщо , тоді .
  3. Неперервність: якщо незростаюча послідовність (тобто ) функцій з , які збігаються до нуля для всіх в , тоді .

Така побудова узагальненого інтеграла має деякі переваги перед методом Лебега, особливо у функціональному аналізі. Конструкції Лебега і Деніелла еквівалентні, якщо розглядати як елементарні ступінчасті функції, проте при узагальненні поняття інтеграла на складніші об'єкти (наприклад, лінійні функціонали) виникають істотні труднощі в побудові інтеграла за Лебегом. За Деніеллем інтеграл будується простіше.

Див. також

Література

Посилання

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya maye kilka nedolikiv Bud laska dopomozhit udoskonaliti yiyi abo obgovorit ci problemi na storinci obgovorennya Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya tverdzhen u nij zalishayetsya nezrozumilim cherez praktichno povnu vidsutnist vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti 6 zhovtnya 2019 Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno 6 zhovtnya 2019 U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Integral znachennya Integra l vid lat integer bukv cilij odne iz najvazhlivishih ponyat matematichnogo analizu yake vinikaye pri virishenni zavdan znahodzhennya ploshi pid krivoyu projdenogo shlyahu pri nerivnomirnomu rusi masi neodnoridnogo tila i tomu podibnih a takozh u zadachi pro vidnovlennya funkciyi po yiyi pohidnij neviznachenij integral Sprosheno integral mozhna predstaviti yak analog sumi dlya bezkinechnogo chisla bezkinechno malih dodankiv U zalezhnosti vid prostoru na yakomu zavdano pidintegralnu funkciyu integral mozhe buti podvijnim trijnim krivolinijnim poverhnevim tosho takozh isnuyut rizni pidhodi do viznachennya integralu vidriznyayutsya integrali Rimana Lebega Stilyesa ta inshi Viznachenij integral dorivnyuye ploshi krivolinijnoyi figuri obmezhenoyi krivoyuIntegra l centralne ponyattya integralnogo chislennya uzagalnennya ponyattya sumi dlya funkciyi viznachenij na kontinuumi Vinikaye pid chas rozv yazuvannya zadach pro znahodzhennya ploshi pid krivoyu znahodzhennya projdenogo shlyahu pri nerivnomirnomu rusi ta inshih podibnih zadachah Vi znachenij integra l v matematichnomu analizi ce integral funkciyi z vkazanoyu oblastyu integruvannya Viznachenij integral ye neperervnim funkcionalom linijnim po pidintegralnih funkciyah i aditivnim po oblasti integruvannya U najprostishomu vipadku oblast integruvannya ce vidrizok chislovoyi osi Geometrichnij zmist viznachenogo integrala ce plosha krivolinijnoyi figuri krivolinijnoyi trapeciyi obmezhenoyi vissyu abscis dvoma vertikalyami na krayah vidrizka i krivoyu grafika funkciyi Podalshi uzagalnennya ponyattya dozvolyayut rozshiriti jogo na kratni poverhnevi ob yemni integrali a takozh na integrali na ob yektah shirshoyi prirodi z miroyu Isnuye kilka riznovidiv viznachenih integraliv integral Rimana integral Lebega integral Stiltyesa tosho Zmist 1 Neviznachenij integral 2 Integruvannya 3 Istoriya 3 1 Integral v davninu 3 2 Nyuton i Lejbnic 4 Formalni viznachennya 4 1 Integral Rimana 5 Vlastivosti 5 1 Linijnij funkcional 5 2 Aditivnist po oblasti 5 3 Monotonnist 5 4 Normovanist 6 Golovna teorema integralnogo chislennya 7 Uzagalnennya viznachenogo integrala 7 1 Nevlasnij integral 7 2 Kratnij integral 7 3 Linijnij integral 7 4 Poverhnevij integral 8 Shirshi uzagalnennya 8 1 Integral Lebega 8 2 Integral Daniella 9 Div takozh 10 Literatura 11 PosilannyaNeviznachenij integral RedaguvatiDokladnishe Neviznachenij integralNehaj dano funkciyu f x displaystyle f x funkciyu dijsnoyi zminnoyi Nevi znachenim integra lom funkciyi f x displaystyle f x abo pervisnoyu nazivayut taku funkciyu F x displaystyle F x pohidna yakoyi dorivnyuye f x displaystyle f x tobto F x f x displaystyle F x f x Poznachayetsya ce tak f x d x F x displaystyle int f x rm d x F x Slid zaznachiti sho pervisna isnuye ne dlya bud yakoyi funkciyi Legko bachiti sho pervisna isnuye dlya bud yakoyi neperervnoyi funkciyi Oskilki pohidni dvoh funkcij yaki vidriznyayutsya lishe na stalu zbigayutsya pri znahodzhenni neviznachenogo integralu vklyuchayut neviznachenu stalu C displaystyle C napriklad x 2 d x x 3 3 C cos x d x sin x C displaystyle int x 2 rm d x frac x 3 3 C qquad int cos x rm d x sin x C Integruvannya Redaguvati Sho take integral animaciya Proces znahodzhennya integrala nazivayetsya integruva nnyam Cej proces zazvichaj vikoristovuyetsya pri znahodzhenni takih velichin yak plosha ob yem masa zsuv tosho koli zadana shvidkist abo rozpodil zmin ciyeyi velichini po vidnoshennyu do deyakoyi inshoyi velichini roztashuvannya chas tosho Isnuye dekilka riznih viznachen operaciyi integruvannya sho vidriznyayutsya v tehnichnih detalyah Prote vsi voni sumisni tobto bud yaki dva sposobi integruvannya yaksho yih mozhna zastosuvati do danoyi funkciyi dadut toj samij rezultat Integruvannya operaciya obernena do diferenciyuvannya div osnovna teorema analizu V rezultati neviznachenogo integruvannya vihodit funkciya yaka nazivayetsya pervisnoyu Pershim integralom ye chislo abo prinajmni ne zalezhna vid zminnoyi integruvannya chastina Istoriya RedaguvatiIntegral v davninu Redaguvati Integraciya prostezhuyetsya she v davnomu Yegipti priblizno u 1800 do n e Moskovskij matematichnij papirus demonstruye znannya formuli ob yemu sichnoyi piramidi Pershim vidomim metodom dlya rozrahunku integraliv ye metod vicherpuvannya Evdoksa priblizno 370 do n e yakij namagavsya znajti ploshi i ob yemi rozrivayuchi yih na neskinchennu bezlich chastin dlya yakih plosha abo ob yem vzhe vidomij Cej metod buv pidhoplenij i rozvinutij Arhimedom i vikoristovuvavsya dlya rozrahunku plosh parabol i nablizhenogo rozrahunku ploshi kruga Analogichni metodi buli rozrobleni nezalezhno v Kitayi v 3 m stolitti n e Lyu Huejyem yakij vikoristovuvav yih dlya znahodzhennya ploshi kruga Cej metod buv zgodom vikoristanij Czu Chunchzhi dlya znahodzhennya ob yemu sferi Nyuton i Lejbnic Redaguvati Osnovne dosyagnennya v oblasti integruvannya vidbulosya v 17 mu stolitti iz vidkrittyam fundamentalnoyi teoremi chislennya vidomoyi yak formula Nyutona Lejbnica Nyutonom i Lyajbnicom nezalezhno odin vid odnogo Teorema vstanovlyuye zv yazok mizh integruvannyam i diferenciyuvannyam Zokrema fundamentalna teorema chislennya dozvolila virishuvati bilsh shirokij klas zadach Nyuton i Lejbnic stvorili kompleksnu matematichnu teoriyu sho ye ne mensh vazhlivim Cya teoriya maye nazvu chislennya neskinchenno malih velichin i dozvolila zdijsnyuvati tochnij analiz neperervnih funkcij Ci osnovopolozhni roboti zreshtoyu stali suchasnim chislennyam v yakomu bula vikoristana notaciya dlya integraliv sho na pryamu spirayetsya na roboti Lejbnica Znak integrala buv vpershe vikoristanij Lyajbnicom naprikinci XVII stolittya Cej simvol utvorivsya z bukvi ſ dovga s skorochennya slova lat ſumma summa suma Formalni viznachennya Redaguvati Priklad integrala iz nerivnomirnim rozdilennyam najbilsha dilyanka vidmichena chervonim Zbizhnist rimanovoyi sumi Isnuye bagato sposobiv formalnogo viznachennya integrala i ne vsi z nih ye ekvivalentnimi odin odnomu Isnuyut vidminnosti v osnovnomu pov yazani iz riznimi osoblivimi vipadkami yaki mozhut buti ne integrovani v ramkah yakihos viznachen Najbilsh poshirenimi i zagalnimi viznachennyami integrala ye itegral Rimana i integral Lebega Integral Rimana Redaguvati Dokladnishe Integral RimanaIntegral Rimana najprostishij iz viznachenih integraliv ye graniceyu integralnoyi sumi Dlya funkciyi odniyeyi zminnoyi f x displaystyle f x viznachenij na vidrizku a b displaystyle a b ta pevnogo rozbittya R displaystyle R cogo vidrizku na vidrizki x i x i 1 displaystyle x i x i 1 integralna suma viznayetsya yak s x i 1 n f 3 i D x i displaystyle sigma x sum limits i 1 n f xi i Delta x i de x i 3 i x i 1 displaystyle x i leq xi i leq x i 1 bud yaka tochka z vidrizku Yaksho isnuye granicya takih sum pri pryamuvanni najbilshoyi dovzhini vidrizku x i x i 1 displaystyle x i x i 1 do nulya to funkciya f x displaystyle f x nazivayetsya integrovanoyu a granicya integralnoyi sumi nazivayetsya integralom Rimana funkciyi na vidrizku a b displaystyle a b i poznachayetsya I a b f x d x displaystyle I int a b f x dx Integral Rimana mozhna takozh viznachiti yak granicyu sum Darbu Inshi viznachennya integralu rozshiryuyut klas integrovanih funkcij vklyuchayuchi v nih funkciyi dlya yakih granici integralnih sum ne isnuye Vlastivosti RedaguvatiLinijnij funkcional Redaguvati Na pevnij oblasti viznachennya D displaystyle D integral ye linijnim funkcionalom na prostori funkcij D a f a D f displaystyle int D af a int D f D f g D f D g displaystyle int D f g int D f int D g tut f displaystyle f i g displaystyle g funkciyi a displaystyle a chislo Aditivnist po oblasti Redaguvati Yaksho oblasti D displaystyle D ta E displaystyle E ne peretinayutsya abo peretinayutsya v tochci integral po ob yednanij oblasti D E displaystyle D cup E ye sumoyu integraliv po D displaystyle D ta E displaystyle E D E f D f E f displaystyle int D cup E f int D f int E f Monotonnist Redaguvati Yaksho h n x displaystyle h n x nezrostayucha poslidovnist tobto h 1 h k displaystyle h 1 geq cdots geq h k geq cdots funkcij yaki zbigayutsya do nulya dlya vsih x displaystyle x na oblasti integruvannya todi h n 0 displaystyle int h n to 0 Normovanist Redaguvati Integral staloyi funkciyi konstanti f x C displaystyle f x C rozrahovuyetsya yak plosha pryamokutnika D C m D C displaystyle int D C mu D C de m D displaystyle mu D ce mira oblasti integruvannya v prostishomu vipadku prosto dovzhina intervalu abo zh plosha oblasti integruvannya Golovna teorema integralnogo chislennya RedaguvatiYaksho u funkciyi f x displaystyle f x na vidrizku a b displaystyle a b isnuye pervisna F x displaystyle F x to I a b f x d x F b F a displaystyle I int a b f x dx F b F a Cya formula nazivayetsya formuloyu Nyutona Lejbnica abo osnovnoyu formuloyu integralnogo chislennya Vona daye praktichnij i zruchnij sposib obchislennya viznachenogo integrala za znachennyami pervisnoyi na kincyah vidrizku integruvannya Bagatovimirni integrali obchislyuyutsya za dopomogoyu teoremi pro zvedennya kratnih integraliv do povtornogo Uzagalnennya viznachenogo integrala RedaguvatiNevlasnij integral Redaguvati Dokladnishe Nevlasnij integral Integral pershogo rodu na neobmezhenij oblasti viznachennya Integral drugogo rodu vid neobmezhenoyi funkciyiNevlasnij integral ye rozshirennyam ponyattya viznachenogo integralu vin dozvolyaye v deyakih vipadkah obrahovuvati integral na neskinchenosti abo integral vid neobmezhenoyi funkciyi V matematichnomu analizi nevlasnim integralom nazivayut granicyu poslidovnosti viznachenih integraliv koli interval integruvannya zbilshuyetsya do neskinchenosti abo koli interval nablizhayetsya do osoblivoyi tochki integrovanoyi funkciyi de ta jde u neskinchenist Nevlasnim integralom pershogo rodu a f x d x displaystyle int limits a infty f x dx nazivayetsya granicya lim A a A f x d x displaystyle lim A to infty int limits a A f x dx yaksho vona isnuye Nevlasnij integral drugogo rodu dozvolyaye v deyakih vipadkah viznachiti integral vid funkciyi neobmezhenoyi na intervali A same nehaj funkciya f x displaystyle f x viznachena na a b displaystyle a b i dlya kozhnogo malogo d gt 0 displaystyle delta gt 0 isnuyut integrali a d b f x d x I d displaystyle int limits a delta b f x dx I delta Todi yaksho isnuye dijsna granicya lim d 0 0 I d I displaystyle lim delta to 0 0 I delta I to vona zvetsya nevlasnim integralom drugogo rodu Kratnij integral Redaguvati Dokladnishe Kratnij integral Podvijnij integral yak ob yem pid poverhneyu z x y Pryamokutnij region u osnovi tila ye oblastyu integruvannya a poverhnya grafika funkciyi dvoh zminih bude integruvatisyaKratnij integral abo zh bagatokratnij integral stepenya n ce viznachenij integral po n zminnih z funkciyi n zminnih f x 1 x 2 x 3 x n d x 1 d x 2 d x 3 d x n displaystyle int int int cdots int f x 1 x 2 x 3 cdots x n dx 1 dx 2 dx 3 cdots dx n Kratnij integral ce same viznachenij integral pri jogo obchislenni zavzhdi vihodit chisloOkremi vipadki bagatokratnogo integrala ce podvijnij integral f x y d x d y displaystyle int int f x y dx dy potrijnij integral f x y z d x d y d z displaystyle int int int f x y z dx dy dz Dlya geometrichnoyi interpretaciyi rozglyanemo vipadok n 2 displaystyle n 2 Nehaj funkciya f x y displaystyle f left x y right prijmaye v oblasti D displaystyle D tilki pozitivni znachennya Todi podvijnij integral D f x y d s displaystyle iint limits D f left x y right d sigma chiselno dorivnyuye ob yemu V displaystyle V vertikalnogo cilindrovogo tila pobudovanogo na osnovi D displaystyle D i obmezhenogo zverhu vidpovidnim shmatkom poverhni z f x y displaystyle z f left x y right Golovnim metodom dlya rozrahunku kratnogo integrala ye zvedennya kratnogo integrala do povtornihHaj D R d 1 displaystyle D subset mathbb R d 1 vimirna mnozhina G x 1 x d x 1 x d 1 D f x 1 x d 1 x d ps x 1 x d 1 displaystyle G left left x 1 ldots x d right left x 1 ldots x d 1 right in D varphi left x 1 ldots x d 1 right leq x d leq psi left x 1 ldots x d 1 right right takozh vimirna mnozhina f X displaystyle f left X right viznachena i integrovana na G displaystyle G Todi G f x 1 x d d x 1 d x d D f x 1 x d 1 ps x 1 x d 1 f x 1 x d d x d d x 1 d x d 1 displaystyle int limits G f left x 1 ldots x d right d x 1 ldots d x d int limits D left int limits varphi left x 1 ldots x d 1 right psi left x 1 ldots x d 1 right f left x 1 ldots x d right d x d right d x 1 ldots d x d 1 Bud yakij d vimirnij integral mozhna zvesti do d odnomirnih Linijnij integral Redaguvati Dokladnishe Linijnij integralPoverhnevij integral Redaguvati Dokladnishe Poverhnevij integralShirshi uzagalnennya RedaguvatiIntegral Lebega Redaguvati Dokladnishe Integral LebegaIntegral Lebega ce uzagalnennya integrala Rimana na shirshij klas funkcij Vsi funkciyi viznacheni na skinchennomu vidrizku chislovoyi pryamoyi i integrovni za Rimanom ye takozh integrovni za Lebegom prichomu v takomu razi obidva integrali odnakovi Odnak isnuye velikij klas funkcij viznachenih na vidrizku i integrovnih za Lebegom ale ne integrovnih za Rimanom Takozh integral Lebega mozhe zastosovuvatisya do funkcij zadanih na dovilnih mnozhinah Ideya pobudovi integrala Lebega polyagaye v tomu sho zamist rozbittya oblasti viznachennya pidintegralnoyi funkciyi na chastini i napisannya potim integralnoyi sumi iz znachen funkciyi na cih chastinah na intervali rozbivayut yiyi oblast znachen a potim sumuyut z vidpovidnimi mirami miri proobraziv cih intervaliv Vazhlivo zaznachiti sho pobudova integrala Lebega spirayetsya na teoriyu miri Lebega Yak tradicijnij priklad rozglyanemo funkciyu Dirihle f x 1 Q 0 1 x displaystyle f x equiv mathbf 1 mathbb Q 0 1 x zadanu na 0 1 B 0 1 m displaystyle 0 1 mathcal B 0 1 m de B 0 1 displaystyle mathcal B 0 1 borelivska s algebra na 0 1 displaystyle 0 1 a m displaystyle m mira Lebega Cya funkciya prijmaye znachennya 1 displaystyle 1 v racionalnih tochkah i 0 displaystyle 0 v irracionalnih Legko pobachiti sho f displaystyle f ne integrovna v sensi Rimana Odnak vona ye prostoyu funkciyeyu na prostori zi skinchennoyu miroyu bo prijmaye tilki dva znachennya a tomu yiyi integral Lebega viznachenij i dorivnyuye 0 1 f x m d x 1 m Q 0 1 0 m 0 1 Q 0 1 1 0 0 1 0 displaystyle int limits 0 1 f x m dx 1 cdot m mathbb Q 0 1 0 cdot m 0 1 setminus mathbb Q 0 1 1 cdot 0 0 cdot 1 0 Dijsno mira vidrizka 0 1 displaystyle 0 1 dorivnyuye 1 i oskilki mnozhina racionalnih chisel zlichenna to jogo mira dorivnyuye 0 znachit mira irracionalnih chisel dorivnyuye 1 0 1 displaystyle 1 0 1 Integral Daniella Redaguvati Dokladnishe Integral DaniellaOdne z osnovnih uskladnen u vikoristanni tradicijnogo integrala Lebega polyagaye v tomu sho jogo zastosuvannya vimagaye poperednoyi rozrobki vidpovidnoyi teoriyi miri Isnuye inshij pidhid vikladenij Daniellem v 1918 roci v jogo statti Zagalnij vid integrala Annals of Mathematics 19 279 sho ne maye cogo nedoliku i sho maye znachni perevagi pri uzagalnenni na prostori vishih rozmirnostej i podalshih uzagalnennyah napriklad u formi integrala Stiltyesa Osnovna ideya polyagaye v aksiomatizuvanni ponyattya integrala Rozglyanemo simejstvo H displaystyle H obmezhenih dijsnoznachnih funkcij nazvanih elementarnimi funkciyami viznachenih na mnozhini X displaystyle X sho zadovolnyaye takim aksiomam 1 H displaystyle H linijnij prostir zi zvichajnimi operaciyami dodavannya i skalyarnogo mnozhennya 2 h x H h x H displaystyle h x in H Rightarrow h x in H yaksho funkciya nalezhit H displaystyle H to yiyi modul takozh nalezhit H displaystyle H Krim togo na prostori elementarnih funkcij viznachayetsya pozitivno viznachenij neperervnij linijnij funkcional I displaystyle I nazvanij elementarnij integral Linijnist yaksho h i k obidva nalezhat H i a displaystyle alpha b displaystyle beta dovilni dijsni chisla todi I a h b k a I h b I k displaystyle I alpha h beta k alpha Ih beta Ik Nevid yemnist yaksho h x 0 displaystyle h x geq 0 todi I h 0 displaystyle Ih geq 0 Neperervnist yaksho h n x displaystyle h n x nezrostayucha poslidovnist tobto h 1 h k displaystyle h 1 geq cdots geq h k geq cdots funkcij z H displaystyle H yaki zbigayutsya do nulya dlya vsih x displaystyle x v X displaystyle X todi I h n 0 displaystyle Ih n to 0 Taka pobudova uzagalnenogo integrala maye deyaki perevagi pered metodom Lebega osoblivo u funkcionalnomu analizi Konstrukciyi Lebega i Deniella ekvivalentni yaksho rozglyadati yak elementarni stupinchasti funkciyi prote pri uzagalnenni ponyattya integrala na skladnishi ob yekti napriklad linijni funkcionali vinikayut istotni trudnoshi v pobudovi integrala za Lebegom Za Deniellem integral buduyetsya prostishe Div takozh RedaguvatiIntegralne rivnyannya Integruvannya Neviznachenij integral Pervisna Metodi integruvannya Tablicya integraliv Chiselne integruvannya Integral Borvejna Integral Daniella Integral Lebega Integral Rimana Osnovna teorema analizu Znak integrala Chiselne integruvannya Integruvannya osnovnih klasiv elementarnih funkcij Stala integruvannya Zalezhnij vid parametra integralLiteratura RedaguvatiZorich V A Matematicheskij analiz 10 e M MCNMO 2019 T 1 564 s ISBN 978 5 4439 4029 8 ros Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1964 T 2 800 s ros Posilannya RedaguvatiViznachenij integral Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 412 594 s Dinamichni modeli FIZMA neT Arhivovano 15 travnya 2021 u Wayback Machine Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Integral amp oldid 38377179