www.wikidata.uk-ua.nina.az

Границя У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Кордон У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна

Границя

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Кордон.
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Границя (значення).

Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.

Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.

Границя послідовності

Стале число називають границею послідовності , якщо для кожного додатного числа , скільки б малим воно не було, існує такий номер , що всі значення , в яких номер , задовольняють нерівність

Той факт, що є границею послідовності, позначають так: або просто чи . Номер залежить від вибору числа . При зменшенні число буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени послідовності до вимагати, тим більші значення їх індексів.

Границя функції

c
Для всіх x > S, f(x) перебуває в межах ε із L.

Нехай , причому , і  — гранична точка множини . У подальшому будемо розглядати функції .

Означення за Коші

Число називається границею функції в точці , якщо для кожного додатного числа існує додатне число таке, що для довільного виконується нерівність

Позначення:

або

Під і можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані до граничної точки.

Означення за Гейне

Число називається границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , при , що збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .


Наприклад,

Як видно f(1) не визначено, але коли x наближається до 1, то f(x) відповідно наближається до 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 не визначено 2.001 2.010 2.100

Таким чином, f(x) можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши x досить близьким до 1. Тобто

Це також можна обчислити алгебраїчно як для всіх дійсних чисел x ≠ 1.

Оскільки x + 1 визначене при , то можна підставити 1 замість x, що приведе до рівності

На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію

для якої

  • f(100) = 1.9900
  • f(1000) = 1.9990
  • f(10000) = 1.9999

Коли x стає надзвичайно великим, значення f(x) наближається до 2, а значення f(x) можна наблизити до 2, зробивши x достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя f(x) при x, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі

Обчислюваність границі

Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, модуль збіжності[en] яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності гранична лема[en] показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі.

Див. також

Джерела

Примітки

  1. Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Kordon U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Granicya znachennya Granicya odne z osnovnih ponyat matematiki yake oznachaye sho deyakij ob yekt zminyuyuchis neskinchenno nablizhayetsya do pevnogo stalogo znachennya Tochnij zmist otrimuye lishe pri nayavnosti korektnogo viznachennya ponyattya blizkosti mizh elementami tochkami mnozhini v yakij vkazana velichina nabuvaye znachennya Osnovni ponyattya matematichnogo analizu neperervnist pohidna integral viznachayut cherez granicyu Zmist 1 Granicya poslidovnosti 2 Granicya funkciyi 2 1 Oznachennya za Koshi 2 2 Oznachennya za Gejne 3 Obchislyuvanist granici 4 Div takozh 5 Dzherela 6 PrimitkiGranicya poslidovnosti RedaguvatiDokladnishe Granicya chislovoyi poslidovnostiStale chislo a displaystyle a nazivayut graniceyu poslidovnosti x n n 1 displaystyle x n n 1 infty yaksho dlya kozhnogo dodatnogo chisla e displaystyle varepsilon skilki b malim vono ne bulo isnuye takij nomer N displaystyle N sho vsi znachennya x n displaystyle x n v yakih nomer n gt N displaystyle n gt N zadovolnyayut nerivnist x n a lt e displaystyle x n a lt varepsilon Toj fakt sho a displaystyle a ye graniceyu poslidovnosti poznachayut tak lim n x n a displaystyle lim n rightarrow infty x n a abo prosto lim x a displaystyle lim x a chi x n a n displaystyle x n rightarrow a n rightarrow infty Nomer N displaystyle N zalezhit vid viboru chisla e displaystyle varepsilon Pri zmenshenni e displaystyle varepsilon chislo N displaystyle N bude zbilshuvatis Tobto chim bilsh blizki chleni x n displaystyle x n poslidovnosti do a displaystyle a vimagati tim bilshi znachennya yih indeksiv Granicya funkciyi Redaguvati c Dlya vsih x gt S f x perebuvaye v mezhah e iz L Dokladnishe Granicya funkciyi v tochciNehaj A R displaystyle A subset mathbb R prichomu A displaystyle A neq emptyset i x 0 displaystyle x 0 granichna tochka mnozhini A displaystyle A U podalshomu budemo rozglyadati funkciyi f A R displaystyle f A to mathbb R Oznachennya za Koshi Redaguvati Chislo a displaystyle a nazivayetsya graniceyu funkciyi f displaystyle f v tochci x 0 displaystyle x 0 yaksho dlya kozhnogo dodatnogo chisla e displaystyle varepsilon isnuye dodatne chislo d displaystyle delta take sho dlya dovilnogo x A x 0 d x 0 d x 0 displaystyle x in A cap x 0 delta x 0 delta setminus x 0 vikonuyetsya nerivnist f x a lt e displaystyle f x a lt varepsilon Poznachennya a lim x x 0 f x displaystyle a lim x to x 0 f x abo f x a displaystyle f x to a pri x x 0 displaystyle x to x 0 Pid e displaystyle varepsilon i d displaystyle delta mozhna rozumiti yak pohibku ta vidstan vidpovidno U cih poznachennyah pohibka e displaystyle varepsilon obchislennya znachennya granici zmenshuyetsya pri zmenshenni vidstani d displaystyle delta do granichnoyi tochki Oznachennya za Gejne Redaguvati Chislo p displaystyle p nazivayetsya graniceyu funkciyi f displaystyle f v tochci x 0 displaystyle x 0 yaksho dlya dovilnoyi poslidovnosti x n n 1 A displaystyle left x n right n 1 infty subset A x n x 0 displaystyle x n neq x 0 pri n N displaystyle n in mathbb N sho zbigayetsya do chisla x 0 displaystyle x 0 vidpovidna poslidovnist znachen funkciyi f x n n 1 displaystyle left f left x n right right n 1 infty zbizhna i maye graniceyu odne i tezh same chislo p displaystyle p Napriklad f x x 2 1 x 1 displaystyle f x frac x 2 1 x 1 Yak vidno f 1 ne viznacheno ale koli x nablizhayetsya do 1 to f x vidpovidno nablizhayetsya do 2 f 0 9 f 0 99 f 0 999 f 1 0 f 1 001 f 1 01 f 1 1 1 900 1 990 1 999 ne viznacheno 2 001 2 010 2 100Takim chinom f x mozhna zrobiti yak zavgodno blizkim do granici 2 prosto zrobivshi x dosit blizkim do 1 Tobto lim x 1 x 2 1 x 1 2 displaystyle lim x to 1 frac x 2 1 x 1 2 Ce takozh mozhna obchisliti algebrayichno yak x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 textstyle frac x 2 1 x 1 frac x 1 x 1 x 1 x 1 dlya vsih dijsnih chisel x 1 Oskilki x 1 viznachene pri to mozhna pidstaviti 1 zamist x sho privede do rivnosti lim x 1 x 2 1 x 1 1 1 2 displaystyle lim x to 1 frac x 2 1 x 1 1 1 2 Na dodatok do granic zi skinchennimi znachennyami funkciyi takozh mozhut mati granici v neskinchennosti Napriklad rozglyanemo funkciyu f x 2 x 1 x displaystyle f x frac 2x 1 x dlya yakoyi f 100 1 9900 f 1000 1 9990 f 10000 1 9999Koli x staye nadzvichajno velikim znachennya f x nablizhayetsya do 2 a znachennya f x mozhna nabliziti do 2 zrobivshi x dostatno velikim Otzhe u comu vipadku granicya f x pri x sho pryamuye do plyus neskinchennosti dorivnyuye 2 abo v matematichnomu zapisi lim x 2 x 1 x 2 displaystyle lim x to infty frac 2x 1 x 2 Obchislyuvanist granici RedaguvatiGranicyu inodi mozhe buti vazhko obchisliti Isnuyut granichni virazi modul zbizhnosti en yakih nerozv yaznij U teoriyi obchislyuvanosti granichna lema en pokazuye sho nerozv yazni zadachi mozhna koduvati vikoristovuyuchi granici 1 Div takozh Redaguvati Portal Matematika Granicya funkciyi v tochci Odnostoronnya granicya bud yaka z dvoh granic funkciyi dijsnoyi zminnoyi x koli x pryamuye do tochki zliva abo sprava Spisok granic spisok granic poshirenih funkcij Stiskna teorema znahodit granicyu funkciyi shlyahom porivnyannya yiyi z dvoma inshimi funkciyami Verhnya i nizhnya granici Shvidkist zbizhnosti Asimptotichnij analiz metod opisu granichnoyi povedinki Notaciya Landau vikoristovuyetsya dlya opisu granichnoyi povedinki funkciyi koli argument pryamuye do pevnogo znachennya abo neskinchennosti Fundamentalna poslidovnist Povnij metrichnij prostir Rivnomirna zbizhnist Zbizhnist majzhe vsyudi Zbizhnist za miroyu Zbizhnist vipadkovih velichin Granicya v teoriyi kategorij Induktivna granicya Proyektivna granicya Mezha znachennya Dzherela RedaguvatiBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Dorogovcev A Ya Matematichnij analiz Pidruchnik U dvoh chastinah Chastina 1 Kiyiv Libid 1993 320 s ISBN 5 325 00380 1 Primitki Redaguvati Recursively enumerable sets and degrees Soare Robert I Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Granicya amp oldid 36724133