Індуктивна границя

Індуктивна (або пряма) границя  — конструкція, що виникла спочатку в теорії множин і топології, а потім знайшла широке застосування в багатьох розділах математики. Двоїсте поняття  — проективна (або обернена) границя.

Ця конструкція дозволяє побудувати новий об'єкт по послідовності (індексованій направленою множиною) однотипних об'єктів і набору відображень , . Для індуктивної границі зазвичай використовується позначення

Ми дамо визначення для алгебраїчних структур, а потім  — для об'єктів довільної категорії.

Визначення

Алгебраїчні об'єкти

У цьому розділі буде дано визначення, що підходить для множин з додатковою структурою, таких як групи, кільця, модулі над фіксованим кільцем.

Нехай  — направлена множина з відношенням передпорядку і нехай кожному елементу відповідає алгебраїчний об'єкт , а кожній парі , , в якій , відповідає гомоморфізм , причому  — тотожні відображення для будь-якого і для будь-яких з . Таку систему об'єктів і гомоморфізмів називають також направленою системою.

Тоді множина-носій прямої межі направленої системи  — це фактор-множина диз'юнктного об'єднання множин-носіїв по відношенню еквівалентності:

Тут і еквівалентні, якщо існує таке , що . Інтуїтивно, два елементи диз'юнктного об'єднання еквівалентні, тоді і тільки тоді, коли вони «рано чи пізно стануть еквівалентними» в направленій системі. Більш просте формулювання  — це транзитивне замикання відносини еквівалентності «кожен елемент еквівалентний своїм образам», тобто .

З цього визначення легко отримати канонічні морфізми , котрі відправляють кожен елемент в його клас еквівалентності. Алгебраїчну структуру на можна отримати, виходячи із цих гомоморфізмів.

Визначення для довільної категорії

У довільній категорії пряму границю можна визначити за допомогою її універсальної властивості. А саме, пряма границя направленої системи  — це об'єкт категорії, такий що виконуються наступні умови:

1. Існують такі відображення , що для будь-яких ;
2. Для будь-яких відображень , в довільний обєкт , для яких виконані рівності для будь-яких , існує єдине відображення , що , для всіх .

Більш загально, пряма границя направленої системи  — це те ж саме, що її кограниця в сенсі теорії категорій.

Приклади

• На довільній сім'ї підмножин даної множини можна задати структуру передпорядку по включенню. Якщо цей передпорядок дійсно є направленим, то прямою границею є звичайне об'єднання множин.
• Нехай p  — просте число. Розглянемо направлену систему з груп Z/pⁿZ і гомоморфізмів Z/pⁿZ > Z/pⁿ⁺¹Z, індукованих множенням на p. Пряма границя цієї системи містить всі корені з одиниці, порядок яких  — деякий степінь p. Їх група по множенню називається групою Прюфера Z(p^∞).
• Нехай F  — пучок на топологічному просторі X зі значеннями в C. Зафіксуємо точку x в X. Відкриті околи x утворюють направлену систему по включенню (U ≤ V якщо U містить V). Функтор пучка зіставляє їй направлену систему ( F(U), r_U,V ), де r  — відображення обмеження. Пряма границя цієї системи складається з ростків F над x і позначається F_x .
• Прямі межі в категорії топологічних просторів виходять присвоєнням фінальна топологія відповідної множини-носія.

Література

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra I. Springer. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 40551484. 
• Bourbaki, Nicolas (1989). General topology: Chapters 1-4. Springer. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 40551485. 
• Tennison, B. R. (1975). Sheaf theory. Cambridge University Press. MR 0404390.