www.wikidata.uk-ua.nina.az

Модуль над кільцем алгебрична структура в абстрактній алгебрі що є узагальненням понять векторного простору це модуль на

Модуль над кільцем

Модуль над кільцем — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.

Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні серед всіх цілих чисел.

Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.

Визначення Редагувати

Коли задано кільце , то-модулем називається абелева група з додатковою операцією множення на елементи кільця ,

що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм Редагувати

  • Підмодулем модуля називається підгрупа групи , замкнута відносно множення на елементи з .
  • Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою (), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.
  • Гомоморфізмом -модулів та називається гомоморфізм груп , для якого виконується умова . Множину всіх таких гомоморфізмів позначають .

Приклади Редагувати

  • Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (-модуль).
  • Лінійний простір над полем є модулем над полем .
  • Лінійний простір — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень .

Історія Редагувати

Найпростіші -модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Modul nad kilcem algebrichna struktura v abstraktnij algebri sho ye uzagalnennyam ponyat vektornogo prostoru ce modul nad polem komutativnoyi grupi ce modul nad kilcem cilih chisel Z displaystyle mathbb Z ideala kilcya ce modul sho ye pidkilcem Nazvi ideal ta modul pohodyat z modulnoyi arifmetiki a same z kratnosti za modulem Idealom kilcya ye jogo pidkilce zamknene vidnosno mnozhennya na elementi kilcya Napriklad chisla kratni n displaystyle n sered vsih cilih chisel Bagato rezultativ dlya idealiv ye spravedlivimi yaksho pribrati mnozhennya a zalishiti tilki kratnist elementiv tobto zaminiti pidkilce do nezalezhnu komutativnu grupu Zmist 1 Viznachennya 2 Pidmodul ideal ta gomomorfizm 3 Prikladi 4 Istoriya 5 Div takozh 6 DzherelaViznachennya RedaguvatiKoli zadano kilce R displaystyle R nbsp to R displaystyle R nbsp modulem nazivayetsya abeleva grupa M displaystyle M nbsp z dodatkovoyu operaciyeyu mnozhennya na elementi kilcya R M M displaystyle R times M to M nbsp sho zadovilnyaye umovi distributivnosti ta asociativnosti m 1 m 2 M r 1 r 2 R displaystyle forall m 1 m 2 in M r 1 r 2 in R nbsp r m 1 m 2 r m 1 r m 2 displaystyle r m 1 m 2 rm 1 rm 2 nbsp r 1 r 2 m r 1 m r 2 m displaystyle r 1 r 2 m r 1 m r 2 m nbsp r 1 r 2 m r 1 r 2 m displaystyle r 1 r 2 m r 1 r 2 m nbsp 1 R m m displaystyle 1 R cdot m m nbsp Yaksho kilce ye nekomutativnim to takij modul nazivayetsya livim Dlya viznachennya pravogo modulya zaminyuyut umovu 3 na m r 1 r 2 m r 1 r 2 displaystyle m r 1 r 2 mr 1 r 2 nbsp Pidmodul ideal ta gomomorfizm RedaguvatiPidmodulem modulya M R displaystyle M R nbsp nazivayetsya pidgrupa grupi M displaystyle M nbsp zamknuta vidnosno mnozhennya na elementi z R displaystyle R nbsp Yaksho kilce rozglyadati yak livij modul nad soboyu R M displaystyle R M nbsp todi jogo pidmoduli ye livimi idealami yaksho kilce rozglyadati yak pravij modul pravimi idealami V komutativnomu kilci livi i pravi ideali zbigayutsya Gomomorfizmom R displaystyle R nbsp moduliv A displaystyle A nbsp ta B displaystyle B nbsp nazivayetsya gomomorfizm grup f A B displaystyle f colon A to B nbsp dlya yakogo vikonuyetsya umova f r a r f a a A r R displaystyle f ra rf a forall a in A r in R nbsp Mnozhinu vsih takih gomomorfizmiv poznachayut H o m R A B displaystyle mathrm Hom R A B nbsp Prikladi RedaguvatiAbeleva grupa modul nad kilcem cilih chisel Z displaystyle mathbb Z nbsp modul Linijnij prostir nad polem F displaystyle F nbsp ye modulem nad polem F displaystyle F nbsp Linijnij prostir V displaystyle V nbsp modul nad kilcem vsih svoyih linijnih peretvoren L V displaystyle L V nbsp Istoriya RedaguvatiNajprostishi Z displaystyle mathbb Z nbsp moduli zustrichayutsya vzhe v robotah Gausa Ponyattya modulya zustrichayetsya vpershe v 60 80 h rokah 19 st v robotah Dedekinda ta Kronekera U toj zhe chas provodilos doslidzhennya skinchennomirnih asociativnih algebr Pirs Frobenius sho prizvelo do vivchennya idealiv deyakih nekomutativnih kilec Spochatku teoriya moduliv rozvivalas yak teoriya idealiv deyakogo kilcya lishe v robotah Emmi Neter bulo zamicheno sho bagato rezultativ mozhna zformulyuvati dlya dovilnih moduliv a ne tilki idealiv Div takozh RedaguvatiBimodulDzherela RedaguvatiVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Modul nad kilcem amp oldid 39375679