www.wikidata.uk-ua.nina.az

Топологічний простір це впорядкована пара X Γ де X множина а Γ система підмножин множини X їх називають відкритими що за

Топологічний простір

Топологічний простір — це впорядкована пара (X, Γ), де X — множина, а Γ — система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє таким умовам:

  1. Порожня множина та множина X належать Γ.
  2. Об'єднання довільного набору множин з Γ також належить Γ.
  3. Перетин скінченного набору множин з Γ також належить Γ.

Тоді множина Γ називається топологією над множиною X, а елементи X є точками. Множини в Γ називають відкритими, їхнє доповнення відповідно замкненими множинами.

Поняття топологічного простору успішно застосовується у багатьох розділах сучасної математики як спільне, об'єднувальне поняття. Вивченням топологічних просторів займається топологія.

Порівняння топологій

Нехай над деякою множиною X визначено різні топології Γ1 та Γ2. Якщо будь-яка множина з топології Γ1 також належить Γ2, то кажуть, що топологія Γ1 грубша за топологію Γ2, відповідно, топологія Γ2 тонша за топологію Γ1.

Найтоншою топологією на множині X є топологію, в якій всі множини є відкритими (тобто топологію яка складається із усіх підмножин множини X). Така топологія називається дискретною.

Найгрубшою є топологія Г = { , X} (антидискретна топологія).

База топології

Топології найчастіше визначаються за допомогою баз. Підмножина множини відкритих множин топології називається базою топології, якщо кожна відкрита множина є об'єднанням елементів множини .

Наприклад, множина відкритих відрізків дійсної прямої є базою стандартної топології. Коли говорять про відкриті та замкнені підмножини дійсної прямої, як правило мають на увазі цю топологію.

Приклади

Будь-який евклідів простір є топологічним простором. Базою топології для них можна обрати множину відкритих куль, або відкритих кубів.

Взагалі кажучи, будь-який метричний простір є топологічним простором, базою топології якого є множина відкритих куль. У функціональному аналізі такими є нескінченновимірні простори функцій.

Якщо взяти множину відрізків вигляду на дійсній прямій , то ми отримаємо «топологію стрілки».

Неперервні функції

Функція f : X1→ X2, де (X1, Γ1) та (X2, Γ2) — топологічні простори називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини в (X2, Γ2) є відкрита множина в (X1, Γ1) . Можна довести що у випадку метричних просторів таке означення збігається з означенням неперевності функції в термінах . Інтуїтивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції. Гомеоморфізмом називають неперевне бієктивне відображення, обернене до якого відображення також є неперевним. Два простори називаються гомеоморфними, якщо між ними існує гомеоморфмізм. З точки зору топології, гомеоморфні простори є ідентичними за властивостями.

Індукована топологія

Якщо (Х,Г) є топологічним простором і А — будь-яка підмножина Х, можна зробити з А топологічний простір, означаючи топологію на А, яка складається з всіх підмножин А які можуть бути виражені як перетин елементів Г з А, . називається індукованою (відносною) топологією.

Топологія добутку

Якщо (X1, Γ1) і (X2, Γ2) — топологічні простори, то можна зробити добуток топологічним простором, означаючи топологію Γ на ньому як таку що містить всі підмножини Х1×Х2 які можуть бути виражені у формі об'єдання множин форми . Г називають топологією добутку. Використовуючи стандартну топологію для можна з допомогою цього означення побудувати топології на , причому ми отримаємо таку ж топологію як і при означенні через об'єдання відкритих куль.

Див. також

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Topologichnij prostir ce vporyadkovana para X G de X mnozhina a G sistema pidmnozhin mnozhini X yih nazivayut vidkritimi sho zadovilnyaye takim umovam Porozhnya mnozhina displaystyle varnothing ta mnozhina X nalezhat G Ob yednannya dovilnogo naboru mnozhin z G takozh nalezhit G Peretin skinchennogo naboru mnozhin z G takozh nalezhit G Todi mnozhina G nazivayetsya topologiyeyu nad mnozhinoyu X a elementi X ye tochkami Mnozhini v G nazivayut vidkritimi yihnye dopovnennya vidpovidno zamknenimi mnozhinami Ponyattya topologichnogo prostoru uspishno zastosovuyetsya u bagatoh rozdilah suchasnoyi matematiki yak spilne ob yednuvalne ponyattya Vivchennyam topologichnih prostoriv zajmayetsya topologiya Zmist 1 Porivnyannya topologij 2 Baza topologiyi 3 Prikladi 4 Neperervni funkciyi 5 Indukovana topologiya 6 Topologiya dobutku 7 Div takozh 8 DzherelaPorivnyannya topologij RedaguvatiDokladnishe Porivnyannya topologijNehaj nad deyakoyu mnozhinoyu X viznacheno rizni topologiyi G1 ta G2 Yaksho bud yaka mnozhina z topologiyi G1 takozh nalezhit G2 to kazhut sho topologiya G1 grubsha za topologiyu G2 vidpovidno topologiya G2 tonsha za topologiyu G1 Najtonshoyu topologiyeyu na mnozhini X ye topologiyu v yakij vsi mnozhini ye vidkritimi tobto topologiyu yaka skladayetsya iz usih pidmnozhin mnozhini X Taka topologiya nazivayetsya diskretnoyu Najgrubshoyu ye topologiya G displaystyle varnothing X antidiskretna topologiya Baza topologiyi RedaguvatiDokladnishe Baza topologiyiTopologiyi najchastishe viznachayutsya za dopomogoyu baz Pidmnozhina B G displaystyle B subset Gamma mnozhini vidkritih mnozhin topologiyi nazivayetsya bazoyu topologiyi yaksho kozhna vidkrita mnozhina ye ob yednannyam elementiv mnozhini B displaystyle B Napriklad mnozhina vidkritih vidrizkiv a b displaystyle a b dijsnoyi pryamoyi R displaystyle mathbb R ye bazoyu standartnoyi topologiyi Koli govoryat pro vidkriti ta zamkneni pidmnozhini dijsnoyi pryamoyi yak pravilo mayut na uvazi cyu topologiyu Prikladi RedaguvatiBud yakij evklidiv prostir R n displaystyle mathbb R n ye topologichnim prostorom Bazoyu topologiyi dlya nih mozhna obrati mnozhinu vidkritih kul abo vidkritih kubiv Vzagali kazhuchi bud yakij metrichnij prostir ye topologichnim prostorom bazoyu topologiyi yakogo ye mnozhina vidkritih kul U funkcionalnomu analizi takimi ye neskinchennovimirni prostori funkcij Yaksho vzyati mnozhinu vidrizkiv viglyadu a displaystyle a infty na dijsnij pryamij R displaystyle mathbb R to mi otrimayemo topologiyu strilki Neperervni funkciyi RedaguvatiFunkciya f X1 X2 de X1 G1 ta X2 G2 topologichni prostori nazivayetsya neperervnoyu yaksho proobrazom bud yakoyi vidkritoyi mnozhini v X2 G2 ye vidkrita mnozhina v X1 G1 Mozhna dovesti sho u vipadku metrichnih prostoriv take oznachennya zbigayetsya z oznachennyam neperevnosti funkciyi v terminah ϵ d displaystyle epsilon delta Intuyitivno ce mozhna predstaviti yak vidsutnist dirok rizkih kolivan funkciyi Gomeomorfizmom nazivayut neperevne biyektivne vidobrazhennya obernene do yakogo vidobrazhennya takozh ye neperevnim Dva prostori nazivayutsya gomeomorfnimi yaksho mizh nimi isnuye gomeomorfmizm Z tochki zoru topologiyi gomeomorfni prostori ye identichnimi za vlastivostyami Indukovana topologiya RedaguvatiDokladnishe Indukovana topologiyaYaksho H G ye topologichnim prostorom i A bud yaka pidmnozhina H mozhna zrobiti z A topologichnij prostir oznachayuchi topologiyu L displaystyle Lambda na A yaka skladayetsya z vsih pidmnozhin A yaki mozhut buti virazheni yak peretin elementiv G z A L U U A O O G displaystyle Lambda big U U A cap O O in Gamma big L displaystyle Lambda nazivayetsya indukovanoyu vidnosnoyu topologiyeyu Topologiya dobutku RedaguvatiYaksho X1 G1 i X2 G2 topologichni prostori to mozhna zrobiti dobutok X 1 X 2 x 1 x 2 x 1 X 1 x 2 X 2 displaystyle X 1 times X 2 x 1 x 2 x 1 in X 1 x 2 in X 2 topologichnim prostorom oznachayuchi topologiyu G na nomu yak taku sho mistit vsi pidmnozhini H1 H2 yaki mozhut buti virazheni u formi ob yedannya mnozhin formi O 1 O 2 O 1 G 1 O 2 G 2 displaystyle O 1 times O 2 O 1 in Gamma 1 O 2 in Gamma 2 G nazivayut topologiyeyu dobutku Vikoristovuyuchi standartnu topologiyu dlya R displaystyle mathbb R mozhna z dopomogoyu cogo oznachennya pobuduvati topologiyi na R n displaystyle mathbb R n prichomu mi otrimayemo taku zh topologiyu yak i pri oznachenni cherez ob yedannya vidkritih kul Div takozh RedaguvatiKompaktno vidkrita topologiya Skinchennij topologichnij prostirDzherela RedaguvatiBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Aleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros V G Boltyanskij V A Efremovich Naglyadnaya topologiya vipusk 21 seriyi Bibliotechka kvant M Nauka 1982 O Ya Viro O A Ivanov V M Harlamov i N Yu Necvetaev Zadachnyj uchebnik po topologii Ya Styuart Topologiya Kvant 7 1992 V V Prasolov Naglyadnaya topologiya Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Topologichnij prostir amp oldid 36724245