www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гомеоморфізм Щодо гомеоморфізму в теорії графів див теорія графів Класичний приклад гомеоморфізму кухоль і бублик тополо

Гомеоморфізм

Щодо гомеоморфізму в теорії графів див. Гомеоморфізм (теорія графів).

Класичний приклад гомеоморфізму: кухоль і бублик топологічно еквівалентні
Трилисник топологічно гомеоморфний тору. На перший погляд це здається нелогічним, але в чотиривимірному просторі вони неперервно деформуються один в другий

Не плутати з гомоморфізмом.

Топологічна еквівалентність перенаправляється сюди.

Для топологічної еквівалентності в динамічних системах, див. Топологічна спряженість.

У математичній частині топології гомеоморфізм, топологічний ізоморфізм або неперервна в обох напрямках функція — це неперервна функція між топологічними просторами, яка має неперервну обернену функцію. Гомеоморфізми є ізоморфізмами в, тобто відображення, що зберігають усі топологічні властивості[en] заданого простору. Два простори з гомеоморфізмом між ними називаються гомеоморфними, і з топологічної точки зору вони однакові. Слово гомеоморфізм походить від грецьких слів homoios (подібний) і morphe (форма) і було введено у математику в 1895 році Анрі Пуанкаре.

Грубо кажучи, топологічний простір — це геометричний об'єкт, а гомеоморфізм — це неперервне розтягування і вигинання об'єкта в нову форму. Таким чином, квадрат і коло гомеоморфні один одному, а сфера і тор — ні. Однак цей опис може бути хибним. Деякі неперервні деформації не є гомеоморфізмами, наприклад, деформація прямої в точку. Деякі гомеоморфізми не є неперервними деформаціями, наприклад, гомеоморфізм між вузлом трилисника і колом. Часто повторюваний математичний жарт полягає в тому, що топологи не можуть відрізнити чашку кави від пончика, оскільки досить пластичному пончику можна надати форму чашки для кави, створивши ямку та поступово збільшуючи її, зберігаючи при цьому отвір для пончика в ручці чашки.

Означення

Нехай і  — два топологічні простори.

Функція називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також і неперервні.

Простори та у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.

Гомеоморфізм іноді називають взаємно неперервною функцією. Якщо така функція існує, то простори та є гомеоморфними. Автогомеоморфізм — це гомеоморфізм з топологічного простору на себе. Бути гомеоморфним — це відношення еквівалентності на топологічних просторах. Такі класи еквівалентності називаються гомеоморфними класами.

Властивості

  • Два гомеоморфні простори мають однакові топологічні властивості[en]. Наприклад, якщо один з них компактний, то і другий також компактний; якщо один з них зв'язний, то й другий також зв'язний; якщо один з них хаусдорфів, то й інший також хаусдорфів; їхні гомотопічні та гомологічні групи співпадають. Варто зауважити, що це не поширюється на властивості, які визначені за допомогою метрики; існують метричні простори, які є гомеоморфними, хоча один з них є повним, а інший — ні.
  • Гомеоморфізм є одночасно відкритим[en] і закритим[en] відображенням; тобто він відображає відкриті множини у відкриті множини і замкнені множини у замкнені множини.
  • Будь-який автогомеоморфізм на можна розширити до автогомеоморфізму на усьому диску Трюк Александра[en].

Приклади

  • Довільний відкритий інтервал гомеоморфний всій числовій прямій . Гомеоморфізм задається, наприклад, формулою
  • Одиничний двовимірний диск[en] і одиничний квадрат в є гомеоморфними, оскільки одиничний диск можна деформувати в одиничний квадрат. Прикладом взаємно неперервного відображення квадрату в диск в полярних координатах є
  • Два гомеоморфних простори мають однакові топологічні властивості.
  • Наприклад, якщо один компактний, інший компактний теж; якщо один є зв'язним, зв'язним буде і другий; якщо один є гаусдорфовим, інший буде теж; їхні гомологічні групи[en] збігатимуться.
  • Але це не поширюється на властивості, похідні від метрики; з двох метричних гомеоморфних просторів один може бути повним, в той час як другий — ні.

Також для будь-яких лівий зсув , правий зсув , і внутрішній автоморфізм є гомеоморфізмами.

Приклади відсутності гомеоморфізму

  • і не є гомоморфізмом при .
  • Евклідова дійсна пряма негомеоморфна одиничному колу як підпростору , оскільки одиничне коло є компактом як підпростір евклідового простору , а дійсна пряма лінія не є компактом.
  • Одновимірні інтервали і не є гомеоморфними, оскільки неможливо побудувати неперервну бієкцію.

Теорема про гомеоморфізм

Нехай  — інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).

Нехай  — бієкція.

Тоді є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли є строго монотонна і неперервна на .

Зауваження

Третя умова щодо неперервності відображення є суттєвою. Розглянемо, наприклад, функцію ( — одиничне коло в ) визначену як . Ця функція є бієктивною і неперервною, але не є гомеоморфізмом компактом, а  — ні). Функція не є неперервною в точці тому, що хоча відображає в , але будь-який окіл цієї точки також включає точки, які функція відображає в точки близькі до . При цьому точки, які вона відображає у числа між ними, лежать за межами цього околу.

Гомеоморфізми — це ізоморфізм в. Таким чином, композиція двох гомеоморфізмів знову є гомеоморфізмом, і множина всіх автогомеоморфізмів утворює групу, яку називають групою гомеоморфізмів[en] топологічного простору , яку часто позначають . На цій групі можна задати топологію, наприклад, компактно-відкриту топологію, яка за певних припущень робить її топологічною групою.

Для деяких цілей гомоморфічна група виявляється занадто великою, але за допомогою ізотопічного співвідношення можна звести цю групу до групи класів відображень[en]. Аналогічно, як зазвичай в теорії категорій, для заданих двох гомеоморфних просторів простір гомеоморфізмів між ними є торсором[en] для груп гомеоморфізмів і і, враховуючи певний гомеоморфізм між і , всі три множини є ідентифікованими.

Неформальна дискусія

Інтуїтивний критерій розтягування, згинання, розрізання та зворотнього склеювання вимагає певної практики для правильного застосування, з опису вище — може бути неочевидним, наприклад, що деформація відрізка прямої до точки неприпустима. Тому важливо розуміти, що це має наведене вище формальне означення. У цьому випадку, наприклад, відрізок прямої має нескінченну кількість точок, і тому для нього не можна побудувати бієкцію з множиною, що містить лише скінченну кількість точок, зокрема і одну точку.

Така характеристика гомеоморфізму часто призводить до плутанини з поняттям гомотопії, яка насправді визначається, як неперервна деформація, але від однієї функції до іншої, а не від одного простору до іншого. У випадку гомеоморфізму уявлення про неперервну деформацію — це розумовий інструмент для відстеження того, які точки простору відповідають яким точкам простору  — потрібно лише слідкувати за ними по мірі деформації простору . У випадку гомотопії неперервна деформація від одного відображення до іншого має істотне значення, і воно також менш обмежувальне, оскільки жодне із залучених відображень не повинне бути один-до-одного або на. Гомотопія дійсно призводить до відношення на просторах: гомотопічна еквівалентність.

Існує назва для виду деформації, пов'язаної з візуалізацією гомеоморфізму. Це (за винятком випадків, коли потрібні розрізати та повторно склеювати) ізотопія між тотожним відображенням на та гомеоморфізмом з в .

Див. також

Література

  1. . serge.mehl.free.fr. Архів оригіналу за 11 червня 2016. Процитовано 29 квітня 2018. 
  2. Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). . Courier. с. 67. Архів оригіналу за 18 травня 2022. Процитовано 18 травня 2022. 
  3. Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). . Texts in Applied Mathematics 18. Springer. с. 204. ISBN 978-0-387-94377-0. Архів оригіналу за 27 лютого 2020. Процитовано 18 травня 2022. 
  4. Continuous bijection from (0,1) to [0,1]. Mathematics Stack Exchange. 1 червня 2011. Процитовано 2 квітня 2019. 
  5. Väisälä, Jussi: Topologia I, Limes RY 1999, p. 63. ISBN 951-745-184-9.
  6. Dijkstra, Jan J. (1 грудня 2005). On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology. The American Mathematical Monthly 112 (10): 910. doi:10.2307/30037630. оригіналу за 16 вересня 2016. 

Зовнішні лінки

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Shodo gomeomorfizmu v teoriyi grafiv div Gomeomorfizm teoriya grafiv Klasichnij priklad gomeomorfizmu kuhol i bublik topologichno ekvivalentniTrilisnik topologichno gomeomorfnij toru Na pershij poglyad ce zdayetsya nelogichnim ale v chotirivimirnomu prostori voni neperervno deformuyutsya odin v drugijNe plutati z gomomorfizmom Topologichna ekvivalentnist perenapravlyayetsya syudi Dlya topologichnoyi ekvivalentnosti v dinamichnih sistemah div Topologichna spryazhenist U matematichnij chastini topologiyi gomeomorfizm topologichnij izomorfizm abo neperervna v oboh napryamkah funkciya ce neperervna funkciya mizh topologichnimi prostorami yaka maye neperervnu obernenu funkciyu Gomeomorfizmi ye izomorfizmami v tobto vidobrazhennya sho zberigayut usi topologichni vlastivosti en zadanogo prostoru Dva prostori z gomeomorfizmom mizh nimi nazivayutsya gomeomorfnimi i z topologichnoyi tochki zoru voni odnakovi Slovo gomeomorfizm pohodit vid greckih sliv homoios podibnij i morphe forma i bulo vvedeno u matematiku v 1895 roci Anri Puankare 1 2 Grubo kazhuchi topologichnij prostir ce geometrichnij ob yekt a gomeomorfizm ce neperervne roztyaguvannya i viginannya ob yekta v novu formu Takim chinom kvadrat i kolo gomeomorfni odin odnomu a sfera i tor ni Odnak cej opis mozhe buti hibnim Deyaki neperervni deformaciyi ne ye gomeomorfizmami napriklad deformaciya pryamoyi v tochku Deyaki gomeomorfizmi ne ye neperervnimi deformaciyami napriklad gomeomorfizm mizh vuzlom trilisnika i kolom Chasto povtoryuvanij matematichnij zhart polyagaye v tomu sho topologi ne mozhut vidrizniti chashku kavi vid ponchika 3 oskilki dosit plastichnomu ponchiku mozhna nadati formu chashki dlya kavi stvorivshi yamku ta postupovo zbilshuyuchi yiyi zberigayuchi pri comu otvir dlya ponchika v ruchci chashki Zmist 1 Oznachennya 2 Vlastivosti 3 Prikladi 3 1 Prikladi vidsutnosti gomeomorfizmu 4 Teorema pro gomeomorfizm 5 Zauvazhennya 6 Neformalna diskusiya 7 Div takozh 8 Literatura 9 Zovnishni linkiOznachennya RedaguvatiNehaj X T X displaystyle X mathcal T X i Y T Y displaystyle Y mathcal T Y dva topologichni prostori Funkciya f X Y displaystyle f colon X to Y nazivayetsya gomeomorfizmom yaksho vona vzayemno odnoznachna a takozh f displaystyle f i f 1 displaystyle f 1 neperervni Prostori X displaystyle X ta Y displaystyle Y u comu vipadku nazivayutsya gomeomorfnimi abo topologichno ekvivalentnimi Gomeomorfizm inodi nazivayut vzayemno neperervnoyu funkciyeyu Yaksho taka funkciya isnuye to prostori X displaystyle X ta Y displaystyle Y ye gomeomorfnimi Avtogomeomorfizm ce gomeomorfizm z topologichnogo prostoru na sebe Buti gomeomorfnim ce vidnoshennya ekvivalentnosti na topologichnih prostorah Taki klasi ekvivalentnosti nazivayutsya gomeomorfnimi klasami Vlastivosti RedaguvatiDva gomeomorfni prostori mayut odnakovi topologichni vlastivosti en Napriklad yaksho odin z nih kompaktnij to i drugij takozh kompaktnij yaksho odin z nih zv yaznij to j drugij takozh zv yaznij yaksho odin z nih hausdorfiv to j inshij takozh hausdorfiv yihni gomotopichni ta gomologichni grupi spivpadayut Varto zauvazhiti sho ce ne poshiryuyetsya na vlastivosti yaki viznacheni za dopomogoyu metriki isnuyut metrichni prostori yaki ye gomeomorfnimi hocha odin z nih ye povnim a inshij ni Gomeomorfizm ye odnochasno vidkritim en i zakritim en vidobrazhennyam tobto vin vidobrazhaye vidkriti mnozhini u vidkriti mnozhini i zamkneni mnozhini u zamkneni mnozhini Bud yakij avtogomeomorfizm na S 1 displaystyle S 1 mozhna rozshiriti do avtogomeomorfizmu na usomu disku D 2 displaystyle D 2 Tryuk Aleksandra en Prikladi RedaguvatiDovilnij vidkritij interval a b R displaystyle a b subset mathbb R gomeomorfnij vsij chislovij pryamij R displaystyle mathbb R Gomeomorfizm f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R zadayetsya napriklad formuloyuf x c t g p x a b a displaystyle f x mathrm ctg left pi frac x a b a right Odinichnij dvovimirnij disk en D 2 displaystyle D 2 i odinichnij kvadrat v R 2 displaystyle mathbb R 2 ye gomeomorfnimi oskilki odinichnij disk mozhna deformuvati v odinichnij kvadrat Prikladom vzayemno neperervnogo vidobrazhennya kvadratu v disk v polyarnih koordinatah ye r 8 r max cos 8 sin 8 8 displaystyle rho theta mapsto left frac rho max cos theta sin theta theta right Grafik diferencijovanoyi funkciyi gomeomorfnij oblasti viznachennya ciyeyi funkciyi Dva gomeomorfnih prostori mayut odnakovi topologichni vlastivosti Napriklad yaksho odin kompaktnij inshij kompaktnij tezh yaksho odin ye zv yaznim zv yaznim bude i drugij yaksho odin ye gausdorfovim inshij bude tezh yihni gomologichni grupi en zbigatimutsya Ale ce ne poshiryuyetsya na vlastivosti pohidni vid metriki z dvoh metrichnih gomeomorfnih prostoriv odin mozhe buti povnim v toj chas yak drugij ni Gomeomorfizm vidobrazhaye vidkriti mnozhini na vidkriti i zamkneni mnozhini na zamkneni Stereografichna proyekciya ce gomeomorfizm mizh odinichnoyu sferoyu v R 3 displaystyle mathbb R 3 z viluchenoyu tochkoyu i sukupnistyu vsih tochok dvovimirnoyi ploshini R 2 displaystyle mathbb R 2 Yaksho G displaystyle G topologichna grupa to yiyi vidobrazhennya inversiyi x x 1 displaystyle x mapsto x 1 ye gomomorfizmom Takozh dlya bud yakih x G displaystyle x in G livij zsuv y x y displaystyle y mapsto xy pravij zsuv y y x displaystyle y mapsto yx i vnutrishnij avtomorfizm y x y x 1 displaystyle y mapsto xyx 1 ye gomeomorfizmami Prikladi vidsutnosti gomeomorfizmu Redaguvati R m displaystyle mathbb R m i R n displaystyle mathbb R n ne ye gomomorfizmom pri m n displaystyle m neq n Evklidova dijsna pryama negomeomorfna odinichnomu kolu yak pidprostoru R 2 displaystyle mathbb R 2 oskilki odinichne kolo ye kompaktom yak pidprostir evklidovogo prostoru R 2 displaystyle mathbb R 2 a dijsna pryama liniya ne ye kompaktom Odnovimirni intervali 0 1 displaystyle 0 1 i 0 1 displaystyle 0 1 ne ye gomeomorfnimi oskilki nemozhlivo pobuduvati neperervnu biyekciyu 4 Teorema pro gomeomorfizm RedaguvatiNehaj a b R displaystyle a b subset mathbb R interval na chislovij pryamij vidkritij napivvidkritij abo zamknutij Nehaj f a b f a b R displaystyle f colon a b to f bigl a b bigr subset mathbb R biyekciya Todi f displaystyle f ye gomeomorfizmom todi i tilki todi koli f displaystyle f ye strogo monotonna i neperervna na a b displaystyle a b Zauvazhennya RedaguvatiTretya umova shodo neperervnosti vidobrazhennya f 1 displaystyle f 1 ye suttyevoyu Rozglyanemo napriklad funkciyu f 0 2 p S 1 displaystyle f colon 0 2 pi to S 1 S 1 displaystyle S 1 odinichne kolo v R 2 displaystyle mathbb R 2 viznachenu yak f ϕ cos ϕ sin ϕ displaystyle f phi cos phi sin phi Cya funkciya ye biyektivnoyu i neperervnoyu ale ne ye gomeomorfizmom kompaktom a 0 2 p displaystyle 0 2 pi ni Funkciya f 1 displaystyle f 1 ne ye neperervnoyu v tochci 1 0 displaystyle 1 0 tomu sho hocha f 1 displaystyle f 1 vidobrazhaye 1 0 displaystyle 1 0 v 0 displaystyle 0 ale bud yakij okil ciyeyi tochki takozh vklyuchaye tochki yaki funkciya vidobrazhaye v tochki blizki do 2 p displaystyle 2 pi Pri comu tochki yaki vona vidobrazhaye u chisla mizh nimi lezhat za mezhami cogo okolu 5 Gomeomorfizmi ce izomorfizm v Takim chinom kompoziciya dvoh gomeomorfizmiv znovu ye gomeomorfizmom i mnozhina vsih avtogomeomorfizmiv X X displaystyle X to X utvoryuye grupu yaku nazivayut grupoyu gomeomorfizmiv en topologichnogo prostoru X displaystyle X yaku chasto poznachayut Homeo X displaystyle operatorname Homeo X Na cij grupi mozhna zadati topologiyu napriklad kompaktno vidkritu topologiyu yaka za pevnih pripushen robit yiyi topologichnoyu grupoyu 6 Dlya deyakih cilej gomomorfichna grupa viyavlyayetsya zanadto velikoyu ale za dopomogoyu izotopichnogo spivvidnoshennya mozhna zvesti cyu grupu do grupi klasiv vidobrazhen en Analogichno yak zazvichaj v teoriyi kategorij dlya zadanih dvoh gomeomorfnih prostoriv prostir gomeomorfizmiv Homeo X Y displaystyle operatorname Homeo X Y mizh nimi ye torsorom en dlya grup gomeomorfizmiv Homeo X displaystyle operatorname Homeo X i Homeo Y displaystyle operatorname Homeo Y i vrahovuyuchi pevnij gomeomorfizm mizh X displaystyle X i Y displaystyle Y vsi tri mnozhini ye identifikovanimi Neformalna diskusiya RedaguvatiIntuyitivnij kriterij roztyaguvannya zginannya rozrizannya ta zvorotnogo skleyuvannya vimagaye pevnoyi praktiki dlya pravilnogo zastosuvannya z opisu vishe mozhe buti neochevidnim napriklad sho deformaciya vidrizka pryamoyi do tochki nepripustima Tomu vazhlivo rozumiti sho ce maye navedene vishe formalne oznachennya U comu vipadku napriklad vidrizok pryamoyi maye neskinchennu kilkist tochok i tomu dlya nogo ne mozhna pobuduvati biyekciyu z mnozhinoyu sho mistit lishe skinchennu kilkist tochok zokrema i odnu tochku Taka harakteristika gomeomorfizmu chasto prizvodit do plutanini z ponyattyam gomotopiyi yaka naspravdi viznachayetsya yak neperervna deformaciya ale vid odniyeyi funkciyi do inshoyi a ne vid odnogo prostoru do inshogo U vipadku gomeomorfizmu uyavlennya pro neperervnu deformaciyu ce rozumovij instrument dlya vidstezhennya togo yaki tochki prostoru X displaystyle X vidpovidayut yakim tochkam prostoru Y displaystyle Y potribno lishe slidkuvati za nimi po miri deformaciyi prostoru X displaystyle X U vipadku gomotopiyi neperervna deformaciya vid odnogo vidobrazhennya do inshogo maye istotne znachennya i vono takozh mensh obmezhuvalne oskilki zhodne iz zaluchenih vidobrazhen ne povinne buti odin do odnogo abo na Gomotopiya dijsno prizvodit do vidnoshennya na prostorah gomotopichna ekvivalentnist Isnuye nazva dlya vidu deformaciyi pov yazanoyi z vizualizaciyeyu gomeomorfizmu Ce za vinyatkom vipadkiv koli potribni rozrizati ta povtorno skleyuvati izotopiya mizh totozhnim vidobrazhennyam na X displaystyle X ta gomeomorfizmom z X displaystyle X v Y displaystyle Y Div takozh RedaguvatiLokalnij gomeomorfizm Diffeomorfizm izomorfizm gladkih mnogovidiv gladka biyekciya z gladkoyu inversiyeyu Rivnomirnij izomorfizm rivnomirnij neperervnij gomeomorfizm ce izomorfizm mizh rivnomirnimi prostorami Izometrichnij izomorfizm ce izomorfizm mizh metrichnimi prostorami Grupa gomeomorfizmu en Skrut Dena en Gomeomorfizm teoriya grafiv ponyattya v teoriyi grafiv tisno pov yazane z podilom grafiv Gomotopiya izotopiya neperervna deformaciya mizh dvoma neperervnimi funkciyami Grupa klasiv vidobrazhen grupa izotopichnih klasiv grupi topologichnih avtomorfizmiv Gipoteza Puankare teorema geometrichnoyi topologiyi sformulovana Anri Puankare i dovedena Grigoriyem Perelmanom Universalnij gomeomorfizm en Literatura Redaguvati Analysis Situs selon Poincare 1895 serge mehl free fr Arhiv originalu za 11 chervnya 2016 Procitovano 29 kvitnya 2018 Gamelin T W Greene R E 1999 Introduction to Topology Courier s 67 Arhiv originalu za 18 travnya 2022 Procitovano 18 travnya 2022 Hubbard John H West Beverly H 1995 Differential Equations A Dynamical Systems Approach Part II Higher Dimensional Systems Texts in Applied Mathematics 18 Springer s 204 ISBN 978 0 387 94377 0 Arhiv originalu za 27 lyutogo 2020 Procitovano 18 travnya 2022 Continuous bijection from 0 1 to 0 1 Mathematics Stack Exchange 1 chervnya 2011 Procitovano 2 kvitnya 2019 Vaisala Jussi Topologia I Limes RY 1999 p 63 ISBN 951 745 184 9 Dijkstra Jan J 1 grudnya 2005 On Homeomorphism Groups and the Compact Open Topology The American Mathematical Monthly 112 10 910 doi 10 2307 30037630 Arhiv originalu za 16 veresnya 2016 Zovnishni linki RedaguvatiHazewinkel Michiel red 2001 Gomeomorfizm Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Gomeomorfizm amp oldid 39277404