Funkciya odniyeyi chi kilkoh dijsnih zminnih nazivayetsya diferencijovnoyu v tochci yaksho v deyakomu okoli ciyeyi tochki vona v pevnomu sensi dosit dobre nablizhayetsya deyakoyu linijnoyu funkciyeyu vidobrazhennyam Dane linijne vidobrazhennya nazivayetsya diferencialom funkciyi v cij tochci Priklad diferencijovnoyi funkciyiYaksho funkciya ye diferencijovnoyu v kozhnij tochci deyakoyi mnozhini to vona nazivayetsya diferencijovnoyu na cij mnozhini U vipadku funkcij odniyeyi zminnoyi umova diferencijovnosti ekvivalentna umovi isnuvannya pohidnoyi Zmist 1 Funkciyi odniyeyi zminnoyi 1 1 Vlastivosti 2 Funkciyi bagatoh zminnih 2 1 Zv yazok mizh diferencijovnistyu i chastkovimi pohidnimi 3 Div takozh 4 DzherelaFunkciyi odniyeyi zminnoyi RedaguvatiNehaj funkciya y f x displaystyle y f x nbsp viznachena v deyakomu okoli tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp i nehaj D x x x 0 displaystyle Delta x x x 0 nbsp Funkciya f displaystyle f nbsp nazivayetsya diferencijovnoyu v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp angl differentiable yaksho pririst D y f x 0 D x f x 0 displaystyle Delta y f x 0 Delta x f x 0 nbsp mozhna predstaviti u viglyadi D y A D x a D x displaystyle Delta y A Delta x alpha Delta x nbsp de A displaystyle A nbsp stala Pri fiksovanij x 0 displaystyle x 0 nbsp A ne zalezhit vid D x displaystyle Delta x nbsp ale koli vidbuvayetsya zmina x 0 displaystyle x 0 nbsp A zminyuyetsya takozh a D x o D x displaystyle alpha Delta x o Delta x nbsp pri x 0 displaystyle x to 0 nbsp Linijna funkciya A D x displaystyle A Delta x nbsp vid D x displaystyle Delta x nbsp nazivayetsya diferencialom funkciyi v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp i poznachayetsya d f x 0 displaystyle df x 0 nbsp abo korotshe d y displaystyle dy nbsp Takim chinom D y d y o D x displaystyle Delta y dy o Delta x nbsp pri D x 0 displaystyle Delta x to 0 nbsp d y A D x displaystyle dy A Delta x nbsp Vlastivosti Redaguvati Dlya togo abi funkciya f displaystyle f nbsp bula diferencijovna v deyakij tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp neobhidno i dostatno shob vona mala pohidnu v cij tochci pri chomu v comu vipadku d y f x 0 d x displaystyle dy f x 0 dx nbsp Yaksho funkciya diferencijovna v deyakij tochci to vona takozh ye neperervnoyu v cij tochci Funkciyi bagatoh zminnih RedaguvatiVidobrazhennya f M R n R m displaystyle f colon M subset mathbb R n to mathbb R m nbsp nazivayetsya diferencijovnim v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp yaksho isnuye linijne vidobrazhennya A R n R m displaystyle A colon mathbb R n to mathbb R m nbsp sho zalezhit vid tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp take shof x f x 0 A x x 0 o x x 0 x x 0 displaystyle f x f x 0 A x x 0 o x x 0 quad x to x 0 nbsp abo lim x x 0 f x f x 0 A x x 0 x x 0 0 displaystyle lim limits x to x 0 frac f x f x 0 A x x 0 x x 0 0 nbsp Linijne vidobrazhennya A R n R m displaystyle A colon mathbb R n to mathbb R m nbsp nazivayetsya diferencialom vidobrazhennya f x displaystyle f x nbsp v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp Yaksho vidobrazhennya f M R n R m displaystyle f colon M subset mathbb R n to mathbb R m nbsp zadano za dopomogoyu funkcij f i M R n R i 1 m displaystyle f i colon M subset mathbb R n to mathbb R quad i 1 ldots m nbsp to matricya diferenciala A displaystyle A nbsp ce matricya Yakobi elementi yakoyi rivni chastkovim pohidnim J i j f i x j displaystyle mathbf J ij frac partial f i partial x j nbsp Zv yazok mizh diferencijovnistyu i chastkovimi pohidnimi Redaguvati Na vidminu vid funkcij odniyeyi zminnoyi de diferencijovnist ekvivalentna isnuvannyu pohidnoyi u vipadku bagatoh zminnih zalezhnist z chastkovimi pohidnimi trohi skladnisha Spravedlivimi ye nastupni tverdzhennya Yaksho funkciya diferencijovna v tochci to vsi yiyi chastkovi pohidni i bilsh zagalno pohidni za napryamkom isnuyut v cij tochci Zvorotnye tverdzhennya nevirne Prikladom mozhe buti funkciyaf x y y 3 x 2 y 2 if x y 0 0 0 if x y 0 0 displaystyle f x y begin cases y 3 x 2 y 2 amp text if x y neq 0 0 0 amp text if x y 0 0 end cases nbsp dlya yakoyi v tochci 0 0 isnuyut pohidni za vsima napryamkami zokrema i chastkovi pohidni ale v cij tochci funkciya ne ye diferencijovnoyu Yaksho vsi chastkovi pohidni v tochci isnuyut i dodatkovo ye v nij neperervnimi to funkciya ye diferencijovnoyu Umova neperervnosti chastkovih pohidnih ne ye neobhidnoyu dlya diferencijovnosti Napriklad u funkciyi nizhche obi chastkovi pohidni ne ye neperervni v tochci 0 0 ale vona ye diferencijovnoyu v cij tochcif x y x 2 y 2 sin 1 x 2 y 2 if x y 0 0 0 if x y 0 0 displaystyle f x y begin cases x 2 y 2 sin left frac 1 sqrt x 2 y 2 right amp text if x y neq 0 0 0 amp text if x y 0 0 end cases nbsp Div takozh Redaguvati nbsp Portal Matematika Pohidna Integrovna funkciya Chastkova pohidna Pohidna za napryamkom Tochka zlamuDzherela RedaguvatiKudryavcev L D Matematicheskij analiz t 1 s 124 127 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diferencijovna funkciya amp oldid 33206417
