www.wikidata.uk-ua.nina.az

Диференціал математика Диференціал в математиці головна лінійна відносно приросту аргументу частина приросту функції або

Диференціал (математика)

Диференціал в математиці — головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина приросту функції або відображення. В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x — змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Приріст та лінійна частина приросту функції однієї змінної

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов'язаний з dx формулою:

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.

  1. Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.
  2. Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.

Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.

Історія і використання Редагувати

Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. Архімед використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескінченно малими величинами можуть бути точні. Бхаскара II розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін. Шараф аль-Дін аль-Тусі використовував їх для обчислення похідної кубічного рівняння. Ісаак Ньютон називав їх похідними. Проте Лейбніц був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер.

В позначенні Лейбніца, якщо x — змінне число тоді dx позначає нескінченно малий приріст змінної x. Таким чином, якщо y функція від x, тоді похідна y по змінній x часто позначається , що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) чи . Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції y(x) дорівнює нахилу функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити границю відношення приросту y в залежності від приросту x, якщо приріст x прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад dx маю таку саму розмірність як і змінна x.

Сума Рімана є певного виду наближенням інтегралу за допомогою скінченної суми. Вона названа на честь німецького математика із дев'ятнадцятого століття Бернгарда Рімана. Його одним із самих загальних застосувань є апроксимація площі, що обмежують графіки функцій або криві, а також довжини кривих і інші наближення.

Диференціал використовують в позначенні інтеграла, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під графіком функції обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі

знак інтеграла (витягнуте s) означає нескінченну суму, f(x) позначає 'висоту' тонкої стрічки, а диференціал dx позначає нескінченно тонку ширину.

Формальні означення Редагувати

Об'єм куба - функція від довжини його сторони, За рахунок лінійного термічного розширення сторони куба збільшуються, а тому збільшується і його об'єм. Якщо довжина сторони куба мала значення і збільшилася на то вона прийме значення і об'єм куба стане рівним Величина, на яку збільшиться його об'єм, буде складати Цю різницю називають прирощенням об'єму куба, а число , яке показує, на скільки збільшилася довжина сторони куба, називається прирощенням його довжини. У математиці прирощення якої-небудь величини позначається де - велика грецька літера "дельта", яка нагадує про латинське слово differentia - "різниця".

Якщо функція зростає на відрізку то на цьому відрізку знаки та співпадають - при збільшенні збільшується й а при зменшенні зменшується й (графік ліворуч на малюнку). Якщо ж функція спадає на цьому відрізку, то у будь-якій його точці знаки та протилежні.

Якщо - деяка функція й прирощується, то змінюється й значення функції, в результаті чого вона отримує деяке прирощення Щоб обчислити це прирощення, необхідно:

  • знайти значення функції при початковому значенні аргумента, тобто ;
  • знайти нове значення аргумента, тобто ;
  • знайти нове значення функції, тобто ;
  • з нового значення функції відняти початкове її значення,тобто


Наприклад, прирощення функції має вигляд це прирощення можна записати наступним чином: Воно складається з двох доданків та Перший доданок пропорційний прирощенню аргументу Другий доданок складніший, залежить від Але за малих він набагато менший, ніж тому що є добутком на вираз який прямує до нуля за

0,1 0,331 0,3 0,031
0,01 0,030301 0,03 0,000301
0,001 0,003003001 0,003 0,000003001

Таким чином, доданок , який є пропорційним , за малих значень є головною частиною прирощення функції. Такий доданок називається диференціалом й позначається Він залежить не лише від , але й від Наприклад, для функції при та він дорівнює У випадку та диференціал

Диференціал функції

Прирощення функції має вигляд Доданком, пропорційним є Цей доданок і є диференціалом заданої функції: Формула для диференціалу має простий геометричний сенс. Оскільки - площина квадрата, сторона якого має довжину то - площина фігури, на яку її площа збільшується. Зрозуміло, що за малих головну частину цієї площини складає площина двох прямокутників, яка дорівнює тобто диференціалу функції Вираз - площина квадратика, яка нескінченно мала у порівнянні із

Випадок однієї змінної Редагувати

Нехай в околі точки задана функція .

нехай існує таке , що при .

Позначимо .

Тоді функція називається диференціалом функції в точці .

Випадок багатьох змінних Редагувати

Приклад 1. Нехай в околі точки задана функція багатьох змінних .

Нехай існує такий вектор , що при , де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначимо .

Тоді функція називатиметься диференціалом функції в точці .


Приклад 2. Тепер нехай приріст функції Неперервність частинних похідних є умовою, достатньою для існування диференціалу. У цьому випадку

де нескінченно мале у порівнянні із Вираз є диференціалом функції багатьох змінних.

Відображення між евклідовими просторами Редагувати

Диференціал відображення - головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина відображеня, яка задається деякою матрицею. Також поняття диференціала можна ввести для відображення між евклідовими просторами ƒ Rn → Rm. Нехай x,Δx ∈ Rn — два вектори в просторі Rn. Зміна значення функції ƒ при зміні аргументу на Δx рівна:

Якщо існує m × n матриця A для якої

де вектор ε → 0 при Δx → 0, тоді ƒ називається диференційовною в точці x. Матриця A називається матрицею Якобі, а лінійне перетворення, що ставить у відповідності вектору Δx ∈ Rn вектор AΔx ∈ Rm називається диференціалом dƒ(x) відображення ƒ в точці x.

Відображення між многовидами Редагувати

Диференціал в точці гладкого відображення із гладкого многовиду в многовид визначається як лінійне відображення між дотичними просторами в точках і тобто таке що для довільної гладкої в точці F(x) функції виконується рівність:

Джерела Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46800-0. 
  2. Eisenbud, David; Harris, Joe (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5. 
  3. Boyer, Carl B. (1991). Archimedes of Syracuse. A History of Mathematics (вид. 2nd). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0471543977. 
  4. George G. Joseph (2000), The Crest of the Peacock, pp. 298–300, Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
  5. J. L. Berggren (1990), «Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat», Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304-9
  6. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi в архіві MacTutor (англ.)


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Diferencial v matematici golovna linijna vidnosno prirostu argumentu chastina prirostu funkciyi abo vidobrazhennya V matematichnomu analizi diferencial tradicijno vvazhayetsya neskinchenno malim prirostom zminnoyi Napriklad yaksho x zminna todi pririst znachennya x chasto poznachayetsya Dx chi dx yaksho cej pririst malij Diferencial dx takozh ye takim prirostom ale neskinchenno malim Varto zaznachiti sho take viznachennya ne ye matematichno strogim ale vono zruchne dlya rozuminnya takozh isnuye bagato sposobiv zrobiti viznachennya matematichno tochnishim Pririst ta linijna chastina prirostu funkciyi odniyeyi zminnoyiGolovna vlastivist diferencialu yaksho y funkciya vid x todi diferencial dy vid y pov yazanij z dx formuloyu d y d y d x d x displaystyle mathrm d y frac mathrm d y mathrm d x mathrm d x de dy dx poznachaye pohidnu vid y po zminnij x Cya formula pidsumovuye intuyitivne tverdzhennya sho pohidna y po zminnij x ce granicya vidnoshennya prirostiv Dy Dx de Dx pryamuye do nulya Diferencial yak linijne vidobrazhennya Cej pidhid ye osnovoyu viznachennya povnoyi pohidnoyi i zovnishnoyi pohidnoyi v diferencialnij geometriyi 1 Diferencial yak nilpotentnij element v komutativnih kilcyah Takij pidhid populyarnij v algebrayichnij geometriyi 2 Ci pidhodi duzhe rizni ale yih ob yednuye ideya kilkisnogo tobto vazhlivo skazati sho diferencial ne tilki neskinchenno malij a naskilki same vin malij Zmist 1 Istoriya i vikoristannya 2 Formalni oznachennya 2 1 Vipadok odniyeyi zminnoyi 2 2 Vipadok bagatoh zminnih 2 3 Vidobrazhennya mizh evklidovimi prostorami 2 4 Vidobrazhennya mizh mnogovidami 3 Dzherela 4 PrimitkiIstoriya i vikoristannya RedaguvatiNeskinchenno mali velichini grali znachnu rol v rozvitku matematichnogo analizu Arhimed vikoristovuvav yih hocha vin i ne viriv sho tverdzhennya z neskinchenno malimi velichinami mozhut buti tochni 3 Bhaskara II rozrobiv koncepciyu diferencialnogo vidobrazhennya neskinchenno malih zmin 4 Sharaf al Din al Tusi vikoristovuvav yih dlya obchislennya pohidnoyi kubichnogo rivnyannya 5 6 Isaak Nyuton nazivav yih pohidnimi Prote Lejbnic buv pershij hto zastosuvav termin diferencial do neskinchenno malih velichin a takozh pridumav poznachennya pohidnoyi yake vikoristovuyetsya doteper V poznachenni Lejbnica yaksho x zminne chislo todi dx poznachaye neskinchenno malij pririst zminnoyi x Takim chinom yaksho y funkciya vid x todi pohidna y po zminnij x chasto poznachayetsya d y d x displaystyle frac mathrm d y mathrm d x nbsp sho takozh mozhe buti zapisano poznachennya Nyutona chi Lagranzha y x displaystyle dot y x nbsp chi y x displaystyle y x nbsp Vikoristannya diferencialiv v takij formi sprovokuvalo bagato kritiki napriklad znamenitij pamflet The Analyst yepiskopa Berkli V bud yakomu razi take poznachennya zalishilos populyarnim tomu sho vono naochno vidobrazhaye princip sho pohidna funkciyi y x dorivnyuye nahilu funkciyi v tochci sho mozhna otrimati yaksho obchisliti granicyu vidnoshennya D y D x displaystyle frac Delta y Delta x nbsp prirostu y v zalezhnosti vid prirostu x yaksho pririst x pryamuye do nulya Diferenciali takozh zastosovuyut v analizi rozmirnosti de diferencial napriklad dx mayu taku samu rozmirnist yak i zminna x Suma Rimana ye pevnogo vidu nablizhennyam integralu za dopomogoyu skinchennoyi sumi Vona nazvana na chest nimeckogo matematika iz dev yatnadcyatogo stolittya Berngarda Rimana Jogo odnim iz samih zagalnih zastosuvan ye aproksimaciya ploshi sho obmezhuyut grafiki funkcij abo krivi a takozh dovzhini krivih i inshi nablizhennya Diferencial vikoristovuyut v poznachenni integrala tomu sho integral mozhna vvazhati neskinchennoyu sumoyu neskinchenno malih velichin plosha pid grafikom funkciyi obchislyuyetsya yak suma plosh neskinchenno tonkih strichok U virazi f x d x displaystyle int f x mathrm d x nbsp znak integrala vityagnute s oznachaye neskinchennu sumu f x poznachaye visotu tonkoyi strichki a diferencial dx poznachaye neskinchenno tonku shirinu Formalni oznachennya RedaguvatiOb yem kuba funkciya vid dovzhini jogo storoni V x 3 displaystyle V x 3 nbsp Za rahunok linijnogo termichnogo rozshirennya storoni kuba zbilshuyutsya a tomu zbilshuyetsya i jogo ob yem Yaksho dovzhina storoni kuba mala znachennya x displaystyle x nbsp i zbilshilasya na h displaystyle h nbsp to vona prijme znachennya x h displaystyle x h nbsp i ob yem kuba stane rivnim x h 3 displaystyle x h 3 nbsp Velichina na yaku zbilshitsya jogo ob yem bude skladati x h 3 x 3 displaystyle x h 3 x 3 nbsp Cyu riznicyu nazivayut priroshennyam ob yemu kuba a chislo h displaystyle h nbsp yake pokazuye na skilki zbilshilasya dovzhina storoni kuba nazivayetsya priroshennyam jogo dovzhini U matematici priroshennya yakoyi nebud velichini poznachayetsya D x displaystyle Delta x nbsp de D displaystyle Delta nbsp velika grecka litera delta yaka nagaduye pro latinske slovo differentia riznicya nbsp Yaksho funkciya y f x displaystyle y f x nbsp zrostaye na vidrizku a b displaystyle a b nbsp to na comu vidrizku znaki D y displaystyle Delta y nbsp ta D x displaystyle Delta x nbsp spivpadayut pri zbilshenni x displaystyle x nbsp zbilshuyetsya j y displaystyle y nbsp a pri zmenshenni x displaystyle x nbsp zmenshuyetsya j y displaystyle y nbsp grafik livoruch na malyunku Yaksho zh funkciya y f x displaystyle y f x nbsp spadaye na comu vidrizku to u bud yakij jogo tochci znaki D x displaystyle Delta x nbsp ta D y displaystyle Delta y nbsp protilezhni Yaksho y f x displaystyle y f x nbsp deyaka funkciya j x displaystyle x nbsp priroshuyetsya D x displaystyle Delta x nbsp to zminyuyetsya j znachennya funkciyi v rezultati chogo vona otrimuye deyake priroshennya D y displaystyle Delta y nbsp Shob obchisliti ce priroshennya neobhidno znajti znachennya funkciyi pri pochatkovomu znachenni argumenta tobto y f x displaystyle y f x nbsp znajti nove znachennya argumenta tobto x D x displaystyle x Delta x nbsp znajti nove znachennya funkciyi tobto f x D x displaystyle f x Delta x nbsp z novogo znachennya funkciyi vidnyati pochatkove yiyi znachennya tobto D y f x D x f x displaystyle Delta y f x Delta x f x nbsp Napriklad priroshennya funkciyi y x 3 displaystyle y x 3 nbsp maye viglyad D y 3 x 2 D x 3 x D x 2 D x 3 displaystyle Delta y 3x 2 Delta x 3x Delta x 2 Delta x 3 nbsp ce priroshennya mozhna zapisati nastupnim chinom D y 3 x 2 D x 3 x D x D x 2 D x displaystyle Delta y 3x 2 Delta x 3x Delta x Delta x 2 Delta x nbsp Vono skladayetsya z dvoh dodankiv 3 x 2 D x displaystyle 3x 2 Delta x nbsp ta 3 x D x D x 2 D x displaystyle 3x Delta x Delta x 2 Delta x nbsp Pershij dodanok proporcijnij priroshennyu argumentu D x displaystyle Delta x nbsp Drugij dodanok skladnishij zalezhit vid D x displaystyle Delta x nbsp Ale za malih D x displaystyle Delta x nbsp vin nabagato menshij nizh 3 x 2 D x displaystyle 3x 2 Delta x nbsp tomu sho ye dobutkom D x displaystyle Delta x nbsp na viraz 3 x D x D x 2 displaystyle 3x Delta x Delta x 2 nbsp yakij pryamuye do nulya za D x 0 displaystyle Delta x to 0 nbsp x 1 displaystyle x 1 nbsp D x displaystyle Delta x nbsp D y displaystyle Delta y nbsp 3 x 2 D x displaystyle 3x 2 Delta x nbsp 3 x D x D x 2 D x displaystyle 3x Delta x Delta x 2 Delta x nbsp 0 1 0 331 0 3 0 0310 01 0 030301 0 03 0 0003010 001 0 003003001 0 003 0 000003001Takim chinom dodanok 3 x 2 D x displaystyle 3x 2 Delta x nbsp yakij ye proporcijnim D x displaystyle Delta x nbsp za malih znachen D x displaystyle Delta x nbsp ye golovnoyu chastinoyu priroshennya funkciyi Takij dodanok nazivayetsya diferencialom j poznachayetsya d y 3 x 2 D x displaystyle dy 3x 2 Delta x nbsp Vin zalezhit ne lishe vid D x displaystyle Delta x nbsp ale j vid x displaystyle x nbsp Napriklad dlya funkciyi y x 3 displaystyle y x 3 nbsp pri x 1 displaystyle x 1 nbsp ta D x 0 1 displaystyle Delta x 0 1 nbsp vin dorivnyuye d y 1 2 displaystyle dy 1 2 nbsp U vipadku D x 0 01 displaystyle Delta x 0 01 nbsp ta x 1 displaystyle x 1 nbsp diferencial d y 0 03 displaystyle dy 0 03 nbsp nbsp Diferencial funkciyi S x 2 displaystyle S x 2 nbsp Priroshennya funkciyi y x 2 displaystyle y x 2 nbsp maye viglyad D y x D x 2 x 2 2 x D x D x 2 displaystyle Delta y x Delta x 2 x 2 2x Delta x Delta x 2 nbsp Dodankom proporcijnim D x displaystyle Delta x nbsp ye 2 x D x displaystyle 2x Delta x nbsp Cej dodanok i ye diferencialom zadanoyi funkciyi d y 2 x D x 2 x d x displaystyle dy 2x Delta x 2x dx nbsp Formula dlya diferencialu y x 2 displaystyle y x 2 nbsp maye prostij geometrichnij sens Oskilki S x 2 displaystyle S x 2 nbsp ploshina kvadrata storona yakogo maye dovzhinu x displaystyle x nbsp to D S displaystyle Delta S nbsp ploshina figuri na yaku yiyi plosha zbilshuyetsya Zrozumilo sho za malih D x displaystyle Delta x nbsp golovnu chastinu ciyeyi ploshini skladaye ploshina dvoh pryamokutnikiv yaka dorivnyuye 2 x D x displaystyle 2x Delta x nbsp tobto diferencialu funkciyi S x 2 displaystyle S x 2 nbsp Viraz D x 2 displaystyle Delta x 2 nbsp ploshina kvadratika yaka neskinchenno mala u porivnyanni iz D x displaystyle Delta x nbsp Vipadok odniyeyi zminnoyi Redaguvati Nehaj v okoli tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp zadana funkciya f x X Y displaystyle f x X rightarrow Y nbsp nehaj isnuye take A displaystyle A nbsp sho f x f x 0 A x x 0 o x x 0 displaystyle f x f x 0 A x x 0 o x x 0 nbsp pri x x 0 displaystyle x rightarrow x 0 nbsp Poznachimo x x 0 d x displaystyle x x 0 dx nbsp Todi funkciya d f A d x displaystyle df Adx nbsp nazivayetsya diferencialom funkciyi f x displaystyle f x nbsp v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp Vipadok bagatoh zminnih Redaguvati Priklad 1 Nehaj v okoli tochki x 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n displaystyle overrightarrow x 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n nbsp zadana funkciya bagatoh zminnih f x X Y displaystyle f overrightarrow x X rightarrow Y nbsp Nehaj isnuye takij vektor A A 1 A 2 A n displaystyle overrightarrow A A 1 A 2 A n nbsp sho f x f x 0 A x x 0 o x x 0 displaystyle f overrightarrow x f overrightarrow x 0 overrightarrow A overrightarrow x overrightarrow x 0 o overrightarrow x overrightarrow x 0 nbsp pri x x 0 displaystyle overrightarrow x rightarrow overrightarrow x 0 nbsp de dobutok vektoriv ye skalyarnim dobutkom Poznachimo x x 0 d x d x 1 d x 2 d x n displaystyle overrightarrow x overrightarrow x 0 overrightarrow dx dx 1 dx 2 dx n nbsp Todi funkciya d f A d x displaystyle df overrightarrow A overrightarrow dx nbsp nazivatimetsya diferencialom funkciyi f x displaystyle f overrightarrow x nbsp v tochci x 0 displaystyle overrightarrow x 0 nbsp Priklad 2 Teper nehaj D f f x 1 D x 1 x 2 D x 2 x n D x n f x 1 x 2 x n displaystyle Delta f f x 1 Delta x 1 x 2 Delta x 2 x n Delta x n f x 1 x 2 x n nbsp pririst funkciyi f x 1 x 2 x n displaystyle f x 1 x 2 x n nbsp Neperervnist chastinnih pohidnih f x i displaystyle frac partial f partial x i nbsp ye umovoyu dostatnoyu dlya isnuvannya diferencialu U comu vipadkuD f i 1 n f x i D x i R 1 displaystyle Delta f sum i 1 n frac partial f partial x i Delta x i R 1 nbsp de R displaystyle R nbsp neskinchenno male u porivnyanni iz D x 1 2 D x 2 2 D x n 2 displaystyle sqrt Delta x 1 2 Delta x 2 2 Delta x n 2 nbsp Viraz d f i 1 n f x i D x i displaystyle df sum i 1 n frac partial f partial x i Delta x i nbsp ye diferencialom funkciyi bagatoh zminnih Vidobrazhennya mizh evklidovimi prostorami Redaguvati Diferencial vidobrazhennya golovna linijna vidnosno prirostu argumentu chastina vidobrazhenya yaka zadayetsya deyakoyu matriceyu Takozh ponyattya diferenciala mozhna vvesti dlya vidobrazhennya mizh evklidovimi prostorami ƒ Rn Rm Nehaj x Dx Rn dva vektori v prostori Rn Zmina znachennya funkciyi ƒ pri zmini argumentu na Dx rivna D f f x D x f x displaystyle Delta f f mathbf x Delta mathbf x f mathbf x nbsp Yaksho isnuye m n matricya A dlya yakoyi D f A D x D x e displaystyle Delta f A Delta mathbf x Delta mathbf x boldsymbol varepsilon nbsp de vektor e 0 pri Dx 0 todi ƒ nazivayetsya diferencijovnoyu v tochci x Matricya A nazivayetsya matriceyu Yakobi a linijne peretvorennya sho stavit u vidpovidnosti vektoru Dx Rn vektor ADx Rm nazivayetsya diferencialom dƒ x vidobrazhennya ƒ v tochci x Vidobrazhennya mizh mnogovidami Redaguvati Diferencial v tochci x M displaystyle x in M nbsp gladkogo vidobrazhennya iz gladkogo mnogovidu v mnogovid F M N displaystyle F colon M to N nbsp viznachayetsya yak linijne vidobrazhennya mizh dotichnimi prostorami v tochkah x M displaystyle x in M nbsp i F x N displaystyle F x in N nbsp tobto d F T x M T F x N displaystyle dF colon T x M to T F x N nbsp take sho dlya dovilnoyi gladkoyi v tochci F x funkciyi g N R displaystyle g colon N to mathbb R nbsp vikonuyetsya rivnist d F X g X g F X T x M displaystyle dF X g X g circ F quad forall X in T x M nbsp Dzherela RedaguvatiZavalo S T 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola s 462 ukr Diferencial funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 266 594 s Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1100 s ukr Primitki Redaguvati Darling R W R 1994 Differential forms and connections Cambridge UK Cambridge University Press ISBN 0 521 46800 0 Eisenbud David Harris Joe 1998 The Geometry of Schemes Springer Verlag ISBN 0 387 98637 5 Boyer Carl B 1991 Archimedes of Syracuse A History of Mathematics vid 2nd John Wiley amp Sons Inc ISBN 0471543977 George G Joseph 2000 The Crest of the Peacock pp 298 300 Princeton University Press ISBN 0 691 00659 8 J L Berggren 1990 Innovation and Tradition in Sharaf al Din al Tusi s Muadalat Journal of the American Oriental Society 110 2 304 9 Dzhon Dzh O Konnor ta Edmund F Robertson Sharaf al Din al Muzaffar al Tusi v arhivi MacTutor angl nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diferencial matematika amp oldid 40287371