www.wikidata.uk-ua.nina.az

Часткова похідна частинна похідна функції кількох змінних це похідна по одній із змінних причому інші змінні приймаються

Часткова похідна

Часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції від змінної може мати різні позначення:

Іноді, для функції часткові похідні по позначають як Оскільки часткова похідна взагалі має ті ж самі аргументи, що і початкова функція, то її функціональна залежність має явне позначення, таке як:

Символ, яким позначають часткову похідну, — ∂. Це заокруглена форма літери d, що використовується для запису повної похідної. Перше використання цього символу приписують Марі Кондорсе — він використав цей символ для позначення часткових похідних у 1770 році. Сучасне позначення часткових похідних було запропоноване Лежандром у 1786 році, хоча згодом він відмовився від нього. Повторно використання символу запровадив у своїх працях Карл Якобі починаючи з 1841 року.

Означення Редагувати

Графік функції z = x2 + xy + y2. Для часткової похідної в (1, 1) при якій y приймають як сталу, буде отримана відповідна дотична пряма, що є паралельною площині xz.
Розріз вищенаведеного графіку показує більш детально функцію в площині xz при y = 1. Зверніть увагу, що дві осі показані із різним масштабом. Кутовий коефіцієнт дотичної лінії дорівнює 3.

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція fx, котра є функцією від одного дійсного аргументу. Тобто,

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x, y) визначає функцію fa, залежну тільки від y: a² + ay + y²:

В цьому виразі, a — константа, а не змінна, отже fa — функція від одного дійсного аргументу — y. Відповідно до означення похідної функції одного аргументу:

Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x1,…,xn) за змінною xi в точці (a1,…,an) записують так:

У цьому різницевому відношенні усі змінні, крім xi, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індексу a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f(x1,…xn) в евклідовому просторі Rn (наприклад, R² або R³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂f/∂xj по кожній змінній xj. У точці a ці часткові похідні визначають вектор

Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функція ∇f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі.

Приклади Редагувати

Рівняння, що містять часткові похідні, називають рівняннями в часткових похідних, і вони часто використовуються у фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

Геометрія Редагувати

Об'єм конуса залежить від висоти та радіусу.

Об'єм конуса V залежить від висоти h та радіусу r за формулою

Часткова похідна об'єму V за радіусом r буде

Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті.

Часткова похідна за висотою h

показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти, коли радіус є сталим.

Тепер для порівняння знайдемо повні похідні V за змінними r та h. Вони, відповідно, мають вигляд

та

Бачимо, що різниця між повною та частковою похідними полягає у виключенні непрямих залежностей між змінними в останній.

Тепер припустимо, що з певних причин пропорції конуса мають залишитись сталими, і відношення між висотою та радіусом буде сталим числом k:

Це дає повну похідну:

яка спрощується до:

Аналогічно, повна похідна по h буде:

Повна похідна відносно обох змінних r та h від об'єму, як від скалярної функції цих двох змінних, задається вектором градієнта

Термодинаміка і математична фізика Редагувати

Часткові похідні застосовуються в рівняннях термодинаміки, таких як рівняння Гіббса-Дюгема[en], а також в інших рівняннях математичної фізики.

Масштабування зображення Редагувати

Часткові похідні є одним із ключовим елементів в алгоритмах масштабування зображень до бажаного розміру. Широко відомий алгоритм, який називається англ. seam carving[en], потребує аби кожному пікселю зображення було приписане деяке числове значення 'енергії', яке описує їх відмінність від ортогонально суміжних пікселів. Алгоритм поступово убирає рядки або стовпці з найменшою енергією. Формула, що обирається для визначення енергії пікселя (величина градієнта в пікселі) здебільшого використовує для побудови часткові похідні.

Нотація Редагувати

Нехай надалі f — функція, залежна від x, y та z.

Часткові похідні першого порядку мають вигляд:

Часткові похідні другого порядку:

Мішані похідні другого порядку:

Часткові та мішані похідні вищих порядків:

Коли йдеться про функції багатьох змінних, варто звернути увагу на те, що деякі з них можуть залежати від інших, і може виникнути потреба в уточненні змінних, котрі є сталими. У таких дисциплінах, як статистична механіка, часткова похідна функції f за змінною x, при зафіксованих y та z, часто записується так:

Формальне означення та властивості Редагувати

Як і звичайні похідні, часткова похідна позначається як границя. Нехай U — відкрита підмножина функції Rn та f: U → R. Частковою похідною функції f в точці a = (a1, …, an) ∈ U за i-ю змінною xi є

Навіть якщо всі часткові похідні ∂f/∂xi(a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, то f є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C1. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f : U → Rm), по компонентам вибираючи аргумент.

Часткову похідну можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C2; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

Джерела Редагувати

  1. Cajori, Florian (1952). A History of Mathematical Notations (англ.) 2 (вид. 3). с. 396. 
  2. Miller, Jeff (14 червня 2009). . Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Архів оригіналу за 1 травня 2015. Процитовано 20 лютого 2009. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Chastkova pohidna chastinna pohidna funkciyi kilkoh zminnih ce pohidna po odnij iz zminnih prichomu inshi zminni prijmayutsya yak konstanti Chastkovi pohidni vikoristovuyutsya u vektornomu chislenni ta diferencijnij geometriyi Chastkova pohidna funkciyi f x y displaystyle f x y dots vid zminnoyi x displaystyle x mozhe mati rizni poznachennya f x f x x f D x f D 1 f x f abo f x displaystyle f x f x partial x f D x f D 1 f frac partial partial x f text abo frac partial f partial x Inodi dlya funkciyi z f x y displaystyle z f x y ldots chastkovi pohidni z displaystyle z po x displaystyle x poznachayut yak z x displaystyle tfrac partial z partial x Oskilki chastkova pohidna vzagali maye ti zh sami argumenti sho i pochatkova funkciya to yiyi funkcionalna zalezhnist maye yavne poznachennya take yak f x x y f x x y displaystyle f x x y ldots frac partial f partial x x y ldots Simvol yakim poznachayut chastkovu pohidnu Ce zaokruglena forma literi d sho vikoristovuyetsya dlya zapisu povnoyi pohidnoyi Pershe vikoristannya cogo simvolu pripisuyut Mari Kondorse vin vikoristav cej simvol dlya poznachennya chastkovih pohidnih u 1770 roci 1 Suchasne poznachennya chastkovih pohidnih bulo zaproponovane Lezhandrom u 1786 roci hocha zgodom vin vidmovivsya vid nogo Povtorno vikoristannya simvolu zaprovadiv u svoyih pracyah Karl Yakobi pochinayuchi z 1841 roku 2 Zmist 1 Oznachennya 2 Prikladi 2 1 Geometriya 2 2 Termodinamika i matematichna fizika 2 3 Masshtabuvannya zobrazhennya 3 Notaciya 4 Formalne oznachennya ta vlastivosti 5 DzherelaOznachennya Redaguvati nbsp Grafik funkciyi z x2 xy y2 Dlya chastkovoyi pohidnoyi v 1 1 pri yakij y prijmayut yak stalu bude otrimana vidpovidna dotichna pryama sho ye paralelnoyu ploshini xz nbsp Rozriz vishenavedenogo grafiku pokazuye bilsh detalno funkciyu v ploshini xz pri y 1 Zvernit uvagu sho dvi osi pokazani iz riznim masshtabom Kutovij koeficiyent dotichnoyi liniyi dorivnyuye 3 Nehaj f funkciya sho zalezhit bilsh nizh vid odniyeyi zminnoyi Napriklad f x y x 2 x y y 2 displaystyle f x y x 2 xy y 2 nbsp Tut f mozhna interpretuvati yak rodinu funkcij vid odniyeyi zminnoyi pri zaindeksovanij inshij f x y f x y x 2 x y y 2 displaystyle f x y f x y x 2 xy y 2 nbsp Inshimi slovami pri vibori novogo znachennya x utvoryuyetsya nova funkciya fx kotra ye funkciyeyu vid odnogo dijsnogo argumentu Tobto x f x displaystyle x mapsto f x nbsp f x y x 2 x y y 2 displaystyle f x y x 2 xy y 2 nbsp Pripustimo sho znachennya x vibrano poklademo jogo a todi f x y viznachaye funkciyu fa zalezhnu tilki vid y a ay y f a y a 2 a y y 2 displaystyle f a y a 2 ay y 2 nbsp V comu virazi a konstanta a ne zminna otzhe fa funkciya vid odnogo dijsnogo argumentu y Vidpovidno do oznachennya pohidnoyi funkciyi odnogo argumentu f a y a 2 y displaystyle f a y a 2y nbsp Navedenu proceduru mozhna zdijsniti dlya dovilnogo viboru a Uzagalnivshi vsyu sim yu funkcij otrimayemo pohidnu funkciyi f po zminnij y f y x y x 2 y displaystyle frac partial f partial y x y x 2y nbsp Tut vikoristovuyetsya simvol kotrij nazivayut simvolom chastkovoyi pohidnoyi V zagalnomu vipadku chastkovu pohidnu funkciyi f x1 xn za zminnoyu xi v tochci a1 an zapisuyut tak f x i a 1 a n lim h 0 f a 1 a i h a n f a 1 a n h displaystyle frac partial f partial x i a 1 ldots a n lim h to 0 frac f a 1 ldots a i h ldots a n f a 1 ldots a n h nbsp U comu riznicevomu vidnoshenni usi zminni krim xi zafiksovani Inshimi slovami riznij vibir indeksu a privodit do utvorennya rodini funkcij yak u navedenomu prikladi Cej priklad takozh pokazuye sho obchislennya chastkovoyi pohidnoyi v obchislyuvalnomu sensi prostishe nizh povnoyi pohidnoyi Vazhlivim prikladom funkciyi kilkoh zminnih ye vipadok skalyarnoyi funkciyi f x1 xn v evklidovomu prostori Rn napriklad R abo R V comu vipadku f maye chastkovu pohidnu f xj po kozhnij zminnij xj U tochci a ci chastkovi pohidni viznachayut vektor f a f x 1 a f x n a displaystyle nabla f a left frac partial f partial x 1 a ldots frac partial f partial x n a right nbsp Cej vektor nazivayut gradiyentom f v tochci a Yaksho f diferencijovna v kozhnij tochci pevnoyi oblasti to gradiyent vektorna funkciya f kotra v tochci a peretvoryuyetsya u vektor f a Vidpovidno gradiyent viznachenij u vektornomu poli Prikladi RedaguvatiRivnyannya sho mistyat chastkovi pohidni nazivayut rivnyannyami v chastkovih pohidnih i voni chasto vikoristovuyutsya u fizici inzheneriyi ta inshih naukah i prikladnih disciplinah Geometriya Redaguvati nbsp Ob yem konusa zalezhit vid visoti ta radiusu Ob yem konusa V zalezhit vid visoti h ta radiusu r za formuloyu V r h p r 2 h 3 displaystyle V r h frac pi r 2 h 3 nbsp Chastkova pohidna ob yemu V za radiusom r bude V r 2 p r h 3 displaystyle frac partial V partial r frac 2 pi rh 3 nbsp Vona opisuye yak zminyuyetsya ob yem konusa vid zmini radiusa pri stalij visoti Chastkova pohidna za visotoyu h V h p r 2 3 displaystyle frac partial V partial h frac pi r 2 3 nbsp pokazuye yak zminyuyetsya ob yem konusa pri zmini visoti koli radius ye stalim Teper dlya porivnyannya znajdemo povni pohidni V za zminnimi r ta h Voni vidpovidno mayut viglyad d V d r 2 p r h 3 V r p r 2 3 V h d h d r displaystyle frac dV dr overbrace frac 2 pi rh 3 frac partial V partial r overbrace frac pi r 2 3 frac partial V partial h frac dh dr nbsp ta d V d h p r 2 3 V h 2 p r h 3 V r d r d h displaystyle frac dV dh overbrace frac pi r 2 3 frac partial V partial h overbrace frac 2 pi rh 3 frac partial V partial r frac dr dh nbsp Bachimo sho riznicya mizh povnoyu ta chastkovoyu pohidnimi polyagaye u viklyuchenni nepryamih zalezhnostej mizh zminnimi v ostannij Teper pripustimo sho z pevnih prichin proporciyi konusa mayut zalishitis stalimi i vidnoshennya mizh visotoyu ta radiusom bude stalim chislom k k h r d h d r displaystyle k frac h r frac dh dr nbsp Ce daye povnu pohidnu d V d r 2 p r h 3 p r 2 3 k displaystyle frac dV dr frac 2 pi rh 3 frac pi r 2 3 k nbsp yaka sproshuyetsya do d V d r k p r 2 displaystyle frac dV dr k pi r 2 nbsp Analogichno povna pohidna po h bude d V d h p r 2 displaystyle frac dV dh pi r 2 nbsp Povna pohidna vidnosno oboh zminnih r ta h vid ob yemu yak vid skalyarnoyi funkciyi cih dvoh zminnih zadayetsya vektorom gradiyenta V V r V h 2 3 p r h 1 3 p r 2 displaystyle nabla V left frac partial V partial r frac partial V partial h right left frac 2 3 pi rh frac 1 3 pi r 2 right nbsp Termodinamika i matematichna fizika Redaguvati Chastkovi pohidni zastosovuyutsya v rivnyannyah termodinamiki takih yak rivnyannya Gibbsa Dyugema en a takozh v inshih rivnyannyah matematichnoyi fiziki Masshtabuvannya zobrazhennya Redaguvati Chastkovi pohidni ye odnim iz klyuchovim elementiv v algoritmah masshtabuvannya zobrazhen do bazhanogo rozmiru Shiroko vidomij algoritm yakij nazivayetsya angl seam carving en potrebuye abi kozhnomu pikselyu zobrazhennya bulo pripisane deyake chislove znachennya energiyi yake opisuye yih vidminnist vid ortogonalno sumizhnih pikseliv Algoritm postupovo ubiraye ryadki abo stovpci z najmenshoyu energiyeyu Formula sho obirayetsya dlya viznachennya energiyi pikselya velichina gradiyenta v pikseli zdebilshogo vikoristovuye dlya pobudovi chastkovi pohidni Notaciya RedaguvatiNehaj nadali f funkciya zalezhna vid x y ta z Chastkovi pohidni pershogo poryadku mayut viglyad f x f x x f displaystyle frac partial f partial x f x partial x f nbsp Chastkovi pohidni drugogo poryadku 2 f x 2 f x x x x f displaystyle frac partial 2 f partial x 2 f xx partial xx f nbsp Mishani pohidni drugogo poryadku 2 f y x f x y x y f displaystyle frac partial 2 f partial y partial x f xy partial xy f nbsp Chastkovi ta mishani pohidni vishih poryadkiv i j k f x i y j z k f i j k displaystyle frac partial i j k f partial x i partial y j partial z k f i j k nbsp Koli jdetsya pro funkciyi bagatoh zminnih varto zvernuti uvagu na te sho deyaki z nih mozhut zalezhati vid inshih i mozhe viniknuti potreba v utochnenni zminnih kotri ye stalimi U takih disciplinah yak statistichna mehanika chastkova pohidna funkciyi f za zminnoyu x pri zafiksovanih y ta z chasto zapisuyetsya tak f x y z displaystyle left frac partial f partial x right y z nbsp Formalne oznachennya ta vlastivosti RedaguvatiYak i zvichajni pohidni chastkova pohidna poznachayetsya yak granicya Nehaj U vidkrita pidmnozhina funkciyi Rn ta f U R Chastkovoyu pohidnoyu funkciyi f v tochci a a1 an U za i yu zminnoyu xi ye x i f a lim h 0 f a 1 a i 1 a i h a i 1 a n f a 1 a n h displaystyle frac partial partial x i f mathbf a lim h rightarrow 0 f a 1 dots a i 1 a i h a i 1 dots a n f a 1 dots a n over h nbsp Navit yaksho vsi chastkovi pohidni f xi a v tochci a isnuyut funkciya ne obov yazkovo ye v nij neperervnoyu Ta yaksho vsi chastkovi pohidni isnuyut v okoli tochki a i ye v nomu neperervnimi to f ye diferencijovnoyu v comu okoli i povna pohidna ye neperervnoyu V takomu razi kazhut sho f nalezhit prostoru funkcij C1 Cej fakt mozhna vikoristati dlya uzagalnennya v prostir vektornih funkcij f U Rm po komponentam vibirayuchi argument Chastkovu pohidnu f x displaystyle frac partial f partial x nbsp mozhna rozglyadati yak inshu funkciyu na oblasti U i chastkovo diferenciyuvati she raz Yaksho vsi mishani chastkovi pohidni drugogo poryadku neperervni v tochci chi promizhku kazhut sho f v tochci abo na promizhku nalezhit prostoru funkcij C2 za takih umov chastkova pohidna mozhe buti zaminena za teoremoyu Klero 2 f x i x j 2 f x j x i displaystyle frac partial 2 f partial x i partial x j frac partial 2 f partial x j partial x i nbsp Dzherela RedaguvatiGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1100 s ukr Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1966 T 3 656 s ros Cajori Florian 1952 A History of Mathematical Notations angl 2 vid 3 s 396 Miller Jeff 14 chervnya 2009 Earliest Uses of Symbols of Calculus Earliest Uses of Various Mathematical Symbols Arhiv originalu za 1 travnya 2015 Procitovano 20 lyutogo 2009 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Chastkova pohidna amp oldid 40291035