www.wikidata.uk-ua.nina.az

Об єм Об є м місткість геометричного тіла тобто частини простору обмеженої однією або декількома замкнутими поверхнями в

Об'єм

Об'є́м — місткість геометричного тіла, тобто частини простору, обмеженої однією або декількома замкнутими поверхнями. Об'єм виражається числом кубічних одиниць, що поміщаються в певній ємкості.

Об'єм
Мірна чашка може бути використана для вимірювання об'єму рідин
Символи: V
Одиниці вимірювання
SI м3
СГС см3
У базових величинах SI: м3
Розмірність: L3
Інші величини: літр, галон, барель, бушель
 Об'єм у Вікісховищі

Об'єм це величина, що визначає кількість тривимірного простору в середині замкнутої поверхні, наприклад, це простір, який заповнює або містить в собі речовина (тверде тіло, рідина, газ, або плазма) або фігура.

Кількість тривимірного простору в середині замкнутої поверхні, наприклад, це простір, який заповнює або містить у собі речовина (тверде тіло, рідина, газ, або плазма) або фігура. Прийняті одиниці вимірювання  в системі SI та частинні від неї — кубічний метр, кубічний сантиметр, літр (кубічний дециметр) тощо. Позасистемні — галон, барель, бушель.

Тривимірні математичні фігури також мають об'єм. Об'єми деяких простих фігур, як-от правильні прямолінійні або округлі можна легко розрахувати за допомогою арифметичних формул. Об'єми складних форм можуть розраховуватися за допомогою інтегрального числення, при умові що існує формула для визначення межі, що обмежує фігуру. Там, де існують варіацій у формі й об'ємі, як, наприклад, різниця у відмінності людського тіла, об'єм може розраховуватися за допомогою методів у тривимірному просторі, як-от індекс об'єму тіла[en]. Одновимірні фігури (як-от прямі) і двовимірні фігури (як-от квадрати) мають нульове значення об'єму в тривимірному просторі.

Об'єм твердого тіла (правильної форми чи довільної) можна визначити кількістю витісненої рідини. Цей підхід також можна використовувати для визначення об'єму газу. Загальний об'єм двох поєднаних між собою речовин, як правило є більший за об'єм однієї з речовин. Однак, іноді одна з речовин розчиняється в іншій і їх загальний об'єм не є адитивним.

  • Слово «об'єм» також використовують в переносному значенні для позначення загальної кількості або поточної величини. Наприклад, «об'єм попиту».
  • В образотворчому мистецтві об'ємом називається ілюзорна передача просторових характеристик предмета, що зображується, художніми методами.


Одиниці вимірювання

Будь-яка міра довжини утворює відповідну міру об'єму: об'єм кубу сторони якого мають задану довжину. Наприклад, кубічний сантиметр (см3) це об'єм куба, довжина сторін якого становить один сантиметр (1 см).

У Міжнародній системі одиниць (SI) одиницею вимірювання об'єму є кубічний метр (м3). Метрична система також містить таку одиницю як літр (л) для вимірювання об'єму, що дорівнює об'єму 10-сантиметрового куба. Таким чином

Невелику кількість рідини часто вимірюють в мілілітрах, де

Об'єм у теорії числення

У теорії числення об'єм області D в просторі R3 задається потрійним інтегралом константної функції і зазвичай записується наступним чином:

Об'ємний інтеграл в циліндричній системі координат буде наступним

а об'ємний інтеграл в сферичних координатах (що використовує позначення для кутів в якості азимуту і , що відміряється від полярної осі;) має форму

Формули для обчислення об'єму

Загальні формули об'ємів:
Тіло Формула Величини
Куб s = ребро куба
Прямокутна призма l = довжина, w = ширина, h = висота
Трикутна призма b = довжина основи трикутника, h = висота трикутника, l = висота призми або відстань між основами трикутника
Циліндр r = радіус основи циліндра, h = висота
Будь-яка призма, що має постійну площу перетину поперек всієї висоти: A = площа основи, h = висота
Куля r = радіус кулі
Еліпсоїд a, b, c = півосі еліпсоїда
Тор r = менший радіус (радіус труби), R = більший радіус (відстань від центра труби до центра тору)
Піраміда з прямокутною основою l = довжина, w = ширина, h = висота
Конус r = радіус кола основи, h = висота
Паралелепіпед

a, b, і c довжини ребер паралелепіпеда, а α, β, і γ це внутрішні кути між ребрами
Довільне тіло (з використанням інтегрального числення) Тут h — значення координати в довільному напрямку всередині фігури, A(h) = площа перпендикулярного до вибраного напряму перетину при значенні координати h

Величини об'єму, звісно, залежать від використаних величин довжини — якщо довжини виміряні в метрах, об'єм вимірюватиметься кубічними метрами тощо.

Співвідношення об'ємів конуса, кулі й циліндра однакового радіусу і висоти

Конус, кулі і циліндр радіусу r і з висотою h

Вищенаведені формули можна використати для того, щоб показати що об'єми конуса, кулі і циліндра з однаковими радіусами і висотами мають пропорцію 1 : 2 : 3, відповідно.

Нехай радіус дорівнює r, а висота — h (що є 2r для кулі), тоді об'єм конуса становить

об'єм кулі становить

де об'єм циліндра —це

Вперше співвідношення об'ємів кулі і циліндра становить 2 : 3 вважають було здійснено Архімедом.

Доведення формул

Куля

Об'єм кулі це інтеграл нескінченного числа нескінченно малих круглих дисків або кругів з товщиною dx. Розрахуємо об'єм кулі із центром 0 і радіусом r наступним чином.

Площа поверхні круга становить .

Радіус кругів, визначено таким чином, що x-вісь проходить через них перпендикулярно, і

або

де y або z можуть бути прийняті для задавання радіусу кругу при конкретному значенні x.

Приймемо y за радіус диску, тоді об'єм кулі можна розрахувати наступним чином

Тепер

При поєднанні отримаємо

Цю формулу можна вивести ще швидше використовуючи формулу для площі поверхні сфери, що дорівнює . Об'єм кулі заповнюється нескінченно тонкими поверхнями сфер різних радіусів, і тоді об'єм кулі становитиме.

Конус

Конус є фігурою пірамідальної форми.

Об'єм конуса це інтеграл нескінченної кількості тонких кругів з товщиною dx. Розрахунок об'єму конуса з висотою h, основа якого знаходиться в центрі координат (0, 0, 0) і має радіус r, є наступним.

Радіус плаского круга дорівнює r якщо x = 0 і 0 якщо x = h, і змінюється лінійно між цими значеннями,

Площа поверхні круга тоді становить

Об'єм конуса тоді можна розрахувати так

а після винесення констант

Після інтегрування отримаємо

Див. також

Засоби для вимірювання об'єму:

Примітки

  1. Один літр цукру (приблизно 970 грамів) може розчинитися в 0.6 літрах гарячої води, утворюючи в результаті об'єм менший за один літр. Solubility. Процитовано 1 травня 2010. «Up to 1800 grams of sucrose can dissolve in a liter of water.» 
  2. Rorres, Chris. Tomb of Archimedes: Sources. Courant Institute of Mathematical Sciences. Процитовано 2 січня 2007. 

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ob ye m mistkist geometrichnogo tila tobto chastini prostoru obmezhenoyi odniyeyu abo dekilkoma zamknutimi poverhnyami Ob yem virazhayetsya chislom kubichnih odinic sho pomishayutsya v pevnij yemkosti Ob yemMirna chashka mozhe buti vikoristana dlya vimiryuvannya ob yemu ridinSimvoli VOdinici vimiryuvannyaSI m3SGS sm3U bazovih velichinah SI m3Rozmirnist L3Inshi velichini litr galon barel bushel Ob yem u VikishovishiOb yem ce velichina sho viznachaye kilkist trivimirnogo prostoru v seredini zamknutoyi poverhni napriklad ce prostir yakij zapovnyuye abo mistit v sobi rechovina tverde tilo ridina gaz abo plazma abo figura Kilkist trivimirnogo prostoru v seredini zamknutoyi poverhni napriklad ce prostir yakij zapovnyuye abo mistit u sobi rechovina tverde tilo ridina gaz abo plazma abo figura Prijnyati odinici vimiryuvannya v sistemi SI ta chastinni vid neyi kubichnij metr kubichnij santimetr litr kubichnij decimetr tosho Pozasistemni galon barel bushel Trivimirni matematichni figuri takozh mayut ob yem Ob yemi deyakih prostih figur yak ot pravilni pryamolinijni abo okrugli mozhna legko rozrahuvati za dopomogoyu arifmetichnih formul Ob yemi skladnih form mozhut rozrahovuvatisya za dopomogoyu integralnogo chislennya pri umovi sho isnuye formula dlya viznachennya mezhi sho obmezhuye figuru Tam de isnuyut variacij u formi j ob yemi yak napriklad riznicya u vidminnosti lyudskogo tila ob yem mozhe rozrahovuvatisya za dopomogoyu metodiv u trivimirnomu prostori yak ot indeks ob yemu tila en Odnovimirni figuri yak ot pryami i dvovimirni figuri yak ot kvadrati mayut nulove znachennya ob yemu v trivimirnomu prostori Ob yem tverdogo tila pravilnoyi formi chi dovilnoyi mozhna viznachiti kilkistyu vitisnenoyi ridini Cej pidhid takozh mozhna vikoristovuvati dlya viznachennya ob yemu gazu Zagalnij ob yem dvoh poyednanih mizh soboyu rechovin yak pravilo ye bilshij za ob yem odniyeyi z rechovin Odnak inodi odna z rechovin rozchinyayetsya v inshij i yih zagalnij ob yem ne ye aditivnim 1 Slovo ob yem takozh vikoristovuyut v perenosnomu znachenni dlya poznachennya zagalnoyi kilkosti abo potochnoyi velichini Napriklad ob yem popitu V obrazotvorchomu mistectvi ob yemom nazivayetsya ilyuzorna peredacha prostorovih harakteristik predmeta sho zobrazhuyetsya hudozhnimi metodami Zmist 1 Odinici vimiryuvannya 2 Ob yem u teoriyi chislennya 3 Formuli dlya obchislennya ob yemu 3 1 Spivvidnoshennya ob yemiv konusa kuli j cilindra odnakovogo radiusu i visoti 3 2 Dovedennya formul 3 2 1 Kulya 3 2 2 Konus 4 Div takozh 5 Primitki 6 PosilannyaOdinici vimiryuvannya RedaguvatiBud yaka mira dovzhini utvoryuye vidpovidnu miru ob yemu ob yem kubu storoni yakogo mayut zadanu dovzhinu Napriklad kubichnij santimetr sm3 ce ob yem kuba dovzhina storin yakogo stanovit odin santimetr 1 sm U Mizhnarodnij sistemi odinic SI odiniceyu vimiryuvannya ob yemu ye kubichnij metr m3 Metrichna sistema takozh mistit taku odinicyu yak litr l dlya vimiryuvannya ob yemu sho dorivnyuye ob yemu 10 santimetrovogo kuba Takim chinom 1 litr 10 sm 3 1000 kubichnih santimetriv 0 001 kubichnogo metra a otzhe 1 kubichnij metr 1000 litriv Neveliku kilkist ridini chasto vimiryuyut v mililitrah de 1 mililitr 0 001 litriv 1 kubichnij santimetr Ob yem u teoriyi chislennya RedaguvatiU teoriyi chislennya ob yem oblasti D v prostori R3 zadayetsya potrijnim integralom konstantnoyi funkciyi f x y z 1 displaystyle f x y z 1 i zazvichaj zapisuyetsya nastupnim chinom D 1 d x d y d z displaystyle iiint limits D 1 dx dy dz Ob yemnij integral v cilindrichnij sistemi koordinat bude nastupnim D r d r d 8 d z displaystyle iiint limits D r dr d theta dz a ob yemnij integral v sferichnih koordinatah sho vikoristovuye poznachennya dlya kutiv 8 theta v yakosti azimutu i ϕ phi sho vidmiryayetsya vid polyarnoyi osi maye formu D r 2 sin ϕ d r d 8 d ϕ displaystyle iiint limits D rho 2 sin phi d rho d theta d phi Formuli dlya obchislennya ob yemu RedaguvatiZagalni formuli ob yemiv Tilo Formula VelichiniKub s 3 s s s displaystyle s 3 s cdot s cdot s s rebro kubaPryamokutna prizma l w h displaystyle l cdot w cdot h l dovzhina w shirina h visotaTrikutna prizma 1 2 b h l displaystyle frac 1 2 bhl b dovzhina osnovi trikutnika h visota trikutnika l visota prizmi abo vidstan mizh osnovami trikutnikaCilindr p r 2 h displaystyle pi r 2 cdot h r radius osnovi cilindra h visotaBud yaka prizma sho maye postijnu ploshu peretinu poperek vsiyeyi visoti A h displaystyle A cdot h A plosha osnovi h visotaKulya 4 3 p r 3 displaystyle frac 4 3 pi r 3 r radius kuliElipsoyid 4 3 p a b c displaystyle frac 4 3 pi abc a b c pivosi elipsoyidaTor p r 2 2 p R 2 p 2 R r 2 displaystyle left pi r 2 right left 2 pi R right 2 pi 2 Rr 2 r menshij radius radius trubi R bilshij radius vidstan vid centra trubi do centra toru Piramida z pryamokutnoyu osnovoyu 1 3 l w h displaystyle frac 1 3 lwh l dovzhina w shirina h visotaKonus 1 3 p r 2 h displaystyle frac 1 3 pi r 2 h r radius kola osnovi h visotaParalelepiped a b c K displaystyle abc sqrt K K 1 2 cos a cos b cos g cos 2 a cos 2 b cos 2 g displaystyle begin aligned K 1 amp 2 cos alpha cos beta cos gamma amp cos 2 alpha cos 2 beta cos 2 gamma end aligned a b i c dovzhini reber paralelepipeda a a b i g ce vnutrishni kuti mizh rebramiDovilne tilo z vikoristannyam integralnogo chislennya A h d h displaystyle int A h dh Tut h znachennya koordinati v dovilnomu napryamku vseredini figuri A h plosha perpendikulyarnogo do vibranogo napryamu peretinu pri znachenni koordinati hVelichini ob yemu zvisno zalezhat vid vikoristanih velichin dovzhini yaksho dovzhini vimiryani v metrah ob yem vimiryuvatimetsya kubichnimi metrami tosho Spivvidnoshennya ob yemiv konusa kuli j cilindra odnakovogo radiusu i visoti Redaguvati Konus kuli i cilindr radiusu r i z visotoyu hVishenavedeni formuli mozhna vikoristati dlya togo shob pokazati sho ob yemi konusa kuli i cilindra z odnakovimi radiusami i visotami mayut proporciyu 1 2 3 vidpovidno Nehaj radius dorivnyuye r a visota h sho ye 2r dlya kuli todi ob yem konusa stanovit 1 3 p r 2 h 1 3 p r 2 2 r 2 3 p r 3 1 displaystyle frac 1 3 pi r 2 h frac 1 3 pi r 2 left 2r right left frac 2 3 pi r 3 right times 1 ob yem kuli stanovit 4 3 p r 3 2 3 p r 3 2 displaystyle frac 4 3 pi r 3 left frac 2 3 pi r 3 right times 2 de ob yem cilindra ce p r 2 h p r 2 2 r 2 3 p r 3 3 displaystyle pi r 2 h pi r 2 2r left frac 2 3 pi r 3 right times 3 Vpershe spivvidnoshennya ob yemiv kuli i cilindra stanovit 2 3 vvazhayut bulo zdijsneno Arhimedom 2 Dovedennya formul Redaguvati Kulya Redaguvati Ob yem kuli ce integral neskinchennogo chisla neskinchenno malih kruglih diskiv abo krugiv z tovshinoyu dx Rozrahuyemo ob yem kuli iz centrom 0 i radiusom r nastupnim chinom Plosha poverhni kruga stanovit p r 2 displaystyle pi r 2 Radius krugiv viznacheno takim chinom sho x vis prohodit cherez nih perpendikulyarno i y r 2 x 2 displaystyle y sqrt r 2 x 2 abo z r 2 x 2 displaystyle z sqrt r 2 x 2 de y abo z mozhut buti prijnyati dlya zadavannya radiusu krugu pri konkretnomu znachenni x Prijmemo y za radius disku todi ob yem kuli mozhna rozrahuvati nastupnim chinom r r p y 2 d x r r p r 2 x 2 d x displaystyle int r r pi y 2 dx int r r pi left r 2 x 2 right dx Teper r r p r 2 d x r r p x 2 d x p r 3 r 3 p 3 r 3 r 3 2 p r 3 2 p r 3 3 displaystyle int r r pi r 2 dx int r r pi x 2 dx pi left r 3 r 3 right frac pi 3 left r 3 r 3 right 2 pi r 3 frac 2 pi r 3 3 Pri poyednanni otrimayemo V 4 3 p r 3 displaystyle V frac 4 3 pi r 3 Cyu formulu mozhna vivesti she shvidshe vikoristovuyuchi formulu dlya ploshi poverhni sferi sho dorivnyuye 4 p r 2 displaystyle 4 pi r 2 Ob yem kuli zapovnyuyetsya neskinchenno tonkimi poverhnyami sfer riznih radiusiv i todi ob yem kuli stanovitime 0 r 4 p r 2 d r 4 3 p r 3 displaystyle int 0 r 4 pi r 2 dr frac 4 3 pi r 3 Konus Redaguvati Konus ye figuroyu piramidalnoyi formi Ob yem konusa ce integral neskinchennoyi kilkosti tonkih krugiv z tovshinoyu dx Rozrahunok ob yemu konusa z visotoyu h osnova yakogo znahoditsya v centri koordinat 0 0 0 i maye radius r ye nastupnim Radius plaskogo kruga dorivnyuye r yaksho x 0 i 0 yaksho x h i zminyuyetsya linijno mizh cimi znachennyami r h x h displaystyle r frac h x h Plosha poverhni kruga todi stanovit p r h x h 2 p r 2 h x 2 h 2 displaystyle pi left r frac h x h right 2 pi r 2 frac h x 2 h 2 Ob yem konusa todi mozhna rozrahuvati tak 0 h p r 2 h x 2 h 2 d x displaystyle int 0 h pi r 2 frac h x 2 h 2 dx a pislya vinesennya konstant p r 2 h 2 0 h h x 2 d x displaystyle frac pi r 2 h 2 int 0 h h x 2 dx Pislya integruvannya otrimayemo p r 2 h 2 h 3 3 1 3 p r 2 h displaystyle frac pi r 2 h 2 left frac h 3 3 right frac 1 3 pi r 2 h Div takozh RedaguvatiZasobi dlya vimiryuvannya ob yemu Byuretka Pipetka Menzurka Element ob yemu en Primitki Redaguvati Odin litr cukru priblizno 970 gramiv mozhe rozchinitisya v 0 6 litrah garyachoyi vodi utvoryuyuchi v rezultati ob yem menshij za odin litr Solubility Procitovano 1 travnya 2010 Up to 1800 grams of sucrose can dissolve in a liter of water Rorres Chris Tomb of Archimedes Sources Courant Institute of Mathematical Sciences Procitovano 2 sichnya 2007 Posilannya RedaguvatiOb yem Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 136 ISBN 978 966 7407 83 4 Ob yem Ukrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ob 27yem amp oldid 39865548