www.wikidata.uk-ua.nina.az

Піраміда геометрія Пірамі да від грец πυραμίς род відм πῡρᾰμῐ δος багатогранник який складається з плоского багатокутник

Піраміда (геометрія)

Пірамі́да (від грец. πυραμίς, род. відм. πῡρᾰμῐ́δος) — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Неправильна шестигранна піраміда.
Елементи піраміди.
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Піраміда.

Пряма піраміда це піраміда із вершиною, яка розміщена прямо над центром її основи. Не правильні піраміди називають похиленими пірамідами. Правильна піраміда має в основі правильний многокутник.

Опис Редагувати

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими многогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Формули Редагувати

  • Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:
    ,
    де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро,  — кут при вершині піраміди
  • Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:

Особливі випадки піраміди Редагувати

Правильна піраміда Редагувати

Піраміда називається правильною, якщо основою її є правильний багатокутник, а вершина проєктується в центр основи. Тоді вона має такі властивості:

  • Бічні ребра правильної піраміди рівні;
  • В правильній піраміді всі бічні грані — конгруентні трикутники;
  • В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
  • Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює , а кожен з них відповідно , де  — кількість сторін багатокутника основи;
  • Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему.
  • Тілесний кут при вершині правильної n-кутної піраміди

Прямокутна піраміда Редагувати

Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

Тетраедр Редагувати

Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «правильний тетраедр». Правильна трикутна піраміда — це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.

Властивості Редагувати

Такі три твердження є еквівалентними:

  1. Бічні ребра піраміди рівні;
  2. Бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;
  3. Проєкція вершини піраміди на площину її основи збігається з центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

  1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
  2. Двогранні кути при основі піраміди рівні;
  3. Вершина піраміди проєктується до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

Див. також Редагувати

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Піраміда (геометрія)

Примітки Редагувати

  1. William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p.46
  2. Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers [ 2018-02-25 у Wayback Machine.]
  3. Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу [ 22 січня 2012 у Wayback Machine.] // Квант. — 1998. — № 4.
  4. Harish Chandra Rajpoot, 2015.

Джерела Редагувати

  • Погорєлов О. В. : підруч. для 10—11 кл. серед. шк. — 6-те вид. — К. : Освіта, 2001.— 128 с. — ISBN 966-04-0334-8.
  • Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / О. М. Афанасьєва [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга — Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8.
  • Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін. Нарисна геометрія: підручник для вузів. — К. : Вища школа,1993. — 134 с.
  • Mr Harish Chandra Rajpoot. Mathematical Analysis of Regular Spherical Polygons (Spherical Geometry by HCR) // M.M.M. University of Technology. — Gorakhpur-273010 (UP) India, 2015. — Jan. — С. 4-5.

Посилання Редагувати

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pirami da vid grec pyramis rod vidm pῡrᾰmῐ dos bagatogrannik yakij skladayetsya z ploskogo bagatokutnika i tochki yaka ne lezhit u ploshini osnovi ta vsih vidrizkiv sho spoluchayut vershinu piramidi z tochkami osnovi Vidrizki sho spoluchayut vershinu piramidi z vershinami osnovi nazivayutsya bichnimi rebrami Nepravilna shestigranna piramida Elementi piramidi U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Piramida Pryama piramida ce piramida iz vershinoyu yaka rozmishena pryamo nad centrom yiyi osnovi Ne pravilni piramidi nazivayut pohilenimi piramidami Pravilna piramida maye v osnovi pravilnij mnogokutnik 1 2 Zmist 1 Opis 2 Formuli 3 Osoblivi vipadki piramidi 3 1 Pravilna piramida 3 2 Pryamokutna piramida 3 3 Tetraedr 4 Vlastivosti 5 Div takozh 6 Primitki 7 Dzherela 8 PosilannyaOpis RedaguvatiPoverhnya piramidi skladayetsya z osnovi i bichnih granej Kozhna bichna gran trikutnik Odniyeyu z jogo vershin ye vershina piramidi a protilezhnoyu storonoyu storona osnovi piramidi Visotoyu piramidi ye perpendikulyar opushenij z vershini piramidi na ploshinu osnovi Piramida nazivayetsya n kutnoyu yaksho yiyi osnovoyu ye n kutnik Dlya trikutnoyi piramidi isnuye vlasna nazva chotirigrannik Nadali rozglyadatimemo lishe piramidi z opuklim bagatokutnikom v osnovi Taki piramidi nazivayutsya opuklimi mnogogrannikami Pravilna piramida dovershena yaksho yiyi osnovoyu ye pravilnij bagatokutnik centr yakogo zbigayetsya z osnovoyu visoti piramidi Bichna poverhnya pravilnoyi piramidi dorivnyuye dobutku pivperimetra osnovi na apofemu Vis pravilnoyi piramidi pryama yaka mistit yiyi visotu U pravilnij piramidi bichni rebra rivni mizh soboyu a bichni grani rivni rivnobedreni trikutniki Visota bichnoyi grani pravilnoyi piramidi provedena z yiyi vershini nazivayetsya apofemoyu Bichnoyu poverhneyu piramidi nazivayetsya suma plosh yiyi bichnih granej Formuli RedaguvatiPlosha bichnoyi poverhni pravilnoyi piramidi dorivnyuye dobutku polovini perimetra pivperimetru osnovi na apofemu S b 1 2 p l n 2 b 2 sin a displaystyle S b frac 1 2 pl frac n 2 b 2 sin alpha nbsp de P perimetr l apofema n chislo storin osnovi b bichne rebro a displaystyle alpha nbsp kut pri vershini piramidi Ob yem piramidi dorivnyuye odnij tretij dobutku ploshi yiyi osnovi S na visotu h V 1 3 S h displaystyle V frac 1 3 Sh nbsp Osoblivi vipadki piramidi RedaguvatiPravilna piramida Redaguvati Piramida nazivayetsya pravilnoyu yaksho osnovoyu yiyi ye pravilnij bagatokutnik a vershina proyektuyetsya v centr osnovi Todi vona maye taki vlastivosti Bichni rebra pravilnoyi piramidi rivni V pravilnij piramidi vsi bichni grani kongruentni trikutniki V bud yaku pravilnu piramidu mozhna yak vpisati tak i opisati navkolo neyi sferu Yaksho centri vpisanoyi i opisanoyi sferi zbigayutsya to suma ploskih kutiv pri vershini piramidi dorivnyuye p displaystyle pi nbsp a kozhen z nih vidpovidno p n displaystyle frac pi n nbsp de n displaystyle n nbsp kilkist storin bagatokutnika osnovi 3 Plosha bichnoyi poverhni pravilnoyi piramidi dorivnyuye polovini dobutku perimetra osnovi na apofemu Tilesnij kut pri vershini pravilnoyi n kutnoyi piramidi 4 W 2 p 2 n arcsin 2 H sin p n 4 H 2 a 2 cot p n 2 displaystyle Omega 2 pi 2n cdot arcsin left frac 2H cdot sin left frac pi n right 4H 2 a 2 cdot left cot left frac pi n right right 2 right nbsp Pryamokutna piramida Redaguvati Piramida nazivayetsya pryamokutnoyu yaksho odne z bichnih reber piramidi perpendikulyarne osnovi V danomu vipadku ce rebro i ye visotoyu piramidi Tetraedr Redaguvati Tetraedrom nazivayetsya trikutna piramida U tetraedra kozhna z granej mozhe buti prijnyata za osnovu piramidi Krim togo isnuye velika riznicya mizh ponyattyami pravilna trikutna piramida i pravilnij tetraedr Pravilna trikutna piramida ce piramida z pravilnim trikutnikom v osnovi mezhi zh povinni buti rivnobokimi trikutnikami Pravilnim tetraedrom ye tetraedr u yakogo vsi grani ye rivnostoronnimi trikutnikami Vlastivosti RedaguvatiTaki tri tverdzhennya ye ekvivalentnimi Bichni rebra piramidi rivni Bichni rebra piramidi nahileni do ploshini yiyi osnovi pid rivnimi kutami Proyekciya vershini piramidi na ploshinu yiyi osnovi zbigayetsya z centrom kola opisanogo navkolo osnovi Taki tri tverdzhennya takozh ye ekvivalentnimi Vershina piramidi rivnoviddalena vid usih storin yiyi osnovi Dvogranni kuti pri osnovi piramidi rivni Vershina piramidi proyektuyetsya do centru kola vpisanogo v yiyi osnovu Zrizana piramida utvorena piramidoyu ta ploshinoyu yaka paralelna do osnovi piramidi ta peretinaye yiyi vidtinayuchi podibnu piramidu Div takozh RedaguvatiVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Piramida geometriya Bagatogrannij konus Zrizana piramidaPrimitki Redaguvati William F Kern James R Bland Solid Mensuration with proofs 1938 p 46 Civil Engineers Pocket Book A Reference book for Engineers Arhivovano 2018 02 25 u Wayback Machine Gotman E Svojstva pravilnoj piramidy vpisannoj v sferu Arhivovano 22 sichnya 2012 u Wayback Machine Kvant 1998 4 Harish Chandra Rajpoot 2015 Dzherela RedaguvatiPogoryelov O V Geometriya Stereometriya pidruch dlya 10 11 kl sered shk 6 te vid K Osvita 2001 128 s ISBN 966 04 0334 8 Geometriya 10 11 klasi Tekst probnij pidruchnik O M Afanasyeva ta in Ternopil Navchalna kniga Bogdan 2003 264 s ISBN 966 692 161 8 Mihajlenko V Ye Kovalov S M ta in Narisna geometriya pidruchnik dlya vuziv K Visha shkola 1993 134 s Mr Harish Chandra Rajpoot Mathematical Analysis of Regular Spherical Polygons Spherical Geometry by HCR M M M University of Technology Gorakhpur 273010 UP India 2015 Jan S 4 5 Posilannya RedaguvatiPiramida Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 151 ISBN 978 966 7407 83 4 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Piramida geometriya amp oldid 39935427