www.wikidata.uk-ua.nina.az

Правильний многокутник Правильний багатокутникПравильний дванадцятикутник приклад Тип БагатокутникВластивості Опуклий рі

Правильний многокутник

Правильний багатокутник

Правильний дванадцятикутник (приклад)

Тип Багатокутник
Властивості Опуклий, рівносторонній, ізогональний (вершинно-транзитивний), ізотоксальний (реберно-транзитивний), конциклічний (вписаний в коло)
Елементи n ребер
n вершин
Позначення
Символ Шлефлі {n}
Діаграма Коксетера-Динкіна

або (x n o)

Група симетрії Dn , порядок 2n (Діедральна група)
Двоїстий Самодвоїстий

В евклідовій геометрії пра́вильний багатоку́тник (многоку́тник, n-ку́тник, поліго́н) — многокутник, у якого всі кути рівні і всі сторони рівні (мають однакову довжину).

Правильні багатокутники можуть бути опуклими, зірчатими або просторовими.

Якщо n прямує до нескінченності, правильний багатокутник наближається за формою до кола, якщо зробити сталим значення периметру, чи площі, або до апейрогона (пряма лінія), якщо зробити сталою довжину сторони.

Опуклий правильний багатокутник

Всі опуклі правильні багатокутники є простими багатокутниками. Всі правильні n-кутники подібні між собою.

Центром правильного багатокутника називається точка, рівновіддалена від усіх його вершин та всіх його сторін.

Відрізок (а також його довжина) перпендикуляра, проведеного з центру правильного багатокутника до його сторони, називається апотемою правильного багатокутника. Апотема дорівнює радіусу вписаного в даний багатокутник кола.

Кути

Центральним кутом правильного n-кутника (кут α) називається кут, під яким сторону n-кутника видно з його центру.

Сума центральних кутів: рад.

Внутрішній кут правильного n-кутника — кут між сусідніми сторонами:

Сума внутрішніх кутів: .

Зовнівнішній кут — кут, суміжний з внутрішнім кутом.

Сума зовнішніх кутів багатокутника, взятих по одному біля кожної вершини, дорівнює 360⁰

Сторона правильного n-кутника
n через радіус описаного кола R

через радіус вписаного кола r

3 ≈ 1.7320508∙R ≈ 3.4641016∙r
4 ≈ 1.4142136∙R = 2∙r
5 ≈ 1.1755705∙R ≈ 1.4530851∙r
6 = 1∙R ≈ 1.1547005∙r
7 ≈ 0.8677674∙R ≈ 0.9631492∙r
8 ≈ 0.7653669∙R ≈ 0.8284271∙r
9 ≈ 0.6840403∙R ≈ 0.7279405∙r
10 ≈ 0.6180339∙R ≈ 0.6498393∙r
11 ≈ 0.5634651∙R ≈ 0.5872529∙r
12 ≈ 0.5176381∙R ≈ 0.5358984∙r

Формули

Нехай  ‒ сторона правильного n-кутника,
R ‒ радіус описаного кола,
r ‒ радіус вписаного кола,
P ‒ периметр,
‒ апотема правильного n-кутника.

Довжина сторони та периметр

Довжина сторони правильного n-кутника дорівнює:

Периметр ‒ сума всіх довжин сторін правильного n-кутника:

Периметри двох правильних n-кутників відносяться як їх відповідні лінійні елементи (сторони, радіуси вписаних чи описаних кіл).


Площа кільця, обмеженого вписаним та описаним колами багатокутника

Вписане та описане коло

Навколо кожного правильного n-кутника можна описати коло, і в кожен правильний n-кутник можна вписати коло. Тобто правильний багатокутник є біцентричним. Центри вписаного і опиваного кіл співпадають і знаходяться в центрі правильного n-кутника.

Радіус вписаного кола правильного n-кутника (дорівнює апофемі правильного n-кутника) ‒ дотикається до всіх його ребер:

Радіус описаного кола правильного n-кутника ‒ проходить через всі його вершини:

Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони:

Площа

Площу правильного многокутника з числом сторін можна обчислити за формулами:




де P , p ‒ периметр та півпериметр правильного n-кутника;
‒ апотема правильного n-кутника;
r , R - радіуси вписаного та описаного кіл/ апофема.

Правильний n-кутник можна розбит на n рівних рівнобічних трикутників з вершинами в центрі багатокутника. У кожного із цих трикутників основа дорівнює стороні многокутника, а висота — його апотемі. Застосовуємо формулу площі трикутника:

де S — площа, b — основа, h — висота. Отримуємо формулу для обчислення площі правильного многокутника :

де a — сторона правильного n-кутника, — апофема, , P — периметр.

Площі двох правильних n-кутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних елементів (сторін, радіусів вписаних чи описаних кіл, діагоналей).:стор. 203

Формули для правильного багатокутника з подвоєним числом сторін

Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний n-кутник зі стороною An , периметром Pn і площею Sn, і в це ж коло вписано правильний n-кутник зі стороною an , периметром pn і площею sn . Тоді:стор. 87 , :стор. 332:

Для вписаного (в це ж коло) 2n-кутника з подвоєною кількістю сторін: Для описаного (навколо цього ж кола) 2n-кутника з подвоєною кількістю сторін: У коло радіуса R вписано правильний 2n-кутник зі стороною і площею .
Сторона:

Сторона:

Сторона правильного n-кутника, вписаного в це ж коло:

Периметр:

,

Периметр:

,

Площа:

Площа:

Площа правильного n-кутника:

Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний n-кутник зі стороною An , і в це ж коло вписано правильний n-кутник зі стороною an . Тоді:

Діагоналі

Діагоналлю багатокутника називають відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника. Діагоналі, що виходять з однієї вершини опуклого n–кутника, ділять його на n – 2 трикутники.

Кількість діагоналей правильного n–кутника:

Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять із однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять із цієї вершини):

При парному n , діагоналей правильного багатокутника, що мають найбільшу довжину, перетинаються в одній точці – в центрі правильного багатокутника;

При непарному n, діагоналей, що мають найбільшу довжину, при перетині, утворюють всередині n–кутника такий же n–кутник меншого розміру.

Довжини діагоналей правильного n–кутника можна обчислити за формулою:

Всі діагоналі правильного n-кутника при перетині ділять його на 1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 220, 375, 444... частин (відповідно для n = 3, 4, 5, ...)  A007678.

Кількість точок перетину діагоналей усередині правильного багатокутника: 0, 1, 5, 13, 35, 49, 126, 161, 330, 301,... (відповідно для n = 3, 4, 5, ...)  A006561.

  • Найбільша кількість діагоналей правильного -кутника, що перетинаються в одній точці, яка не є його вершиною або центром, дорівнює:
    • 2, якщо n непарне;
    • 3, якщо n парне, але не ділиться на 6;
    • 5, якщо n ділиться на 6, але не ділиться на 30;
    • 7, якщо n ділиться на 30

Нехай існує наступна функція . Тоді:

  • Кількість точок перетину діагоналей правильного n-кутника дорівнює
  • Кількість частин, на які діагоналі при перетині ділять правильный n-кутник дорівнює:

Для правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса, добуток відстаней від даної вершини до всіх інших вершин (включно із суміжними вершинами та вершинами, з’єднані діагоналями) дорівнює n.[1]

Координати вершин

Нехай та  — координати центра, а  — радіус описаного навколо правильного многокутника кола,  — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

де .

Симетрія

Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Групою симетрії правильного n-кутника є діедральна група Dn (порядку 2n): D2, D3, D4, ... Вона складається з n обертових симетрій і n осьових симетрій.

Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, що проходять через дві протилежні вершини, а інша половина через середини протилежних сторін.

Якщо n непарне, то всі осі проходять через вершину та середину протилежної сторони.

Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями.

Властивості

  1. Всі бісектриси кутів між сторонами рівні і проходять через центр правильного многокутника.
  2. Всі серединні перпендикуляри проходять через центр правильного многокутника. Щоб знайти центр правильного n-кутника, достатньо знайти точку перетину двох серединних перпендикулярів, проведених до сусідніх сторін.
  3. Центр мас правильного n-кутника лежить у його геометричному центрі
  4. Правильний n-кутник можна побудувати за допомогою циркуля й лінійки тоді і тільки тоді, коли , де — різні прості числа Ферма.
    • Зокрема, правильний n-кутник є таким, що будується, якщо n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, ... послідовність  A003401
  5. Правильними n-кутниками можна замостити площину без проміжків та накладень тільки при n = 3, 4 та 6 , тобто тільки правильними трикутниками, квадратами та правильними шестикутниками.
Теорема Вівіані для правильного семикутника

Теорема Вівіані для правильного n-кутника

У своєму виданні п’ятої книги «Конічні перетини» Аполлонія Вівіані надає таку теорему:

У правильному опуклому n-кутнику сума відстаней від будь-якої точки всередині багатокутника до його сторін (або їх продовжень) постійна і не залежить від розташування точки.

Зокрема, якщо ‒ відстані від деякої точки Р, що лежить всередині правильного n-кутника, до його сторін,

‒ апотема цього n-кутника, то виконується рівність :стор. 72

Ілюстрація теорем, пов'язаних з описаним колом правильного багатокутника

Сума довжин перпендикулярів, опущених з вершин правильного n-кутника на будь-яку пряму, дотичну до описаного кола, дорівнює радіусу описаного кола, помноженому на n: :стор. 73

Сума квадратів відстаней від вершин правильного n-кутника до будь-якої точки на описаному колі дорівнює, :стор.73

де R — радіус описаного кола.

Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного n-кутника до будь-якої точки описаного кола дорівнює :стор. 73

де — довжина сторони правильного n-кутника

Якщо — відстані від вершин правильного -кутника до будь-якої точки на описаному колі, то:

Точка в площині правильного n-кутника

Нехай — відстані від довільної точки площини до вершин правильного n-кутника, а R — радіус описаного кола. Тоді виконується рівність:

Існують формули для більших показників степеня відстаней . Якщо:

то:

а також

де — додатне ціле число менше ніж .

Якщо — відстань від довільної точки на площині до центра правильного n-кутника з радіусом описаного кола , то:

де = 1, 2, …, .


Застосування

Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.

Давньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа . Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.

Історія

Побудова правильного многокутника (n-кутника) за допомогою циркуля та лінійки залишалась проблемою для математиків до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

Евклід у своїх «Началах» описав побудову правильних многокутників у Книзі IV і вирішив задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Він визначив певний критерій можливості побудувати многокутник, хоча цей критерій і не було описано в «Началах». Давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник із кількістю сторін 2m — 1: поділом дуги на дві частини. Таким чином із двох півкіл можна побудувати квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в тій же книзі Евклід вказав і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, де r та s — взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник із r × s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна дійти висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число,  — числа 3 та 5, а приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась у цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли кількість сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, належать 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, із цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо кількість його сторін дорівнює , де  — ціле невід'ємне число, набувають значення 0 або 1, а  — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але й необхідною, але вперше це довів П'єр Лоран Ванцель 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставила побудова правильних 17-, 257- та 65537-кутників. Першу винайшов Йоханес Ерхінгер 1825 року, другу — Фрідріх Юліус Рішело 1832 року, третю — Іоган Густав Гермес 1894 року.

Відтоді проблема вважається повністю вирішеною.

Розбиття

Гарольд Коксетер стверджує, що кожен зоногон (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на

паралелограмів. Ці мозаїки містяться як підмножини вершин, ребер і граней в ортогональних проекціях m-кубів.

Зокрема, це справедливо для будь-якого правильного багатокутника з парною кількістю сторін, у цьому випадку всі паралелограми є ромбами.

Послідовність  A006245 містить кількість ромбів у розбитті правильного 2m-кутника.

Приклади розбиття на ромби правильних 2m-кутників
2m 6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 40 50
Зображення
Ромби 3 6 10 15 21 28 36 45 66 105 190 300

Див. також

Примітки

  1. Істер О.С., 2017.
  2. Harris, John W.; Stöcker, Horst (23 липня 1998). Handbook of Mathematics and Computational Science (англ.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94746-4. 
  3. Zwillinger, Daniel (2003). CRC Standard Mathematical Tables (англ.) (вид. 31th ed.). Boca Raton, FL: CRC Press LLC. с. 840: стор. 332. 
  4. ↑ Bjorn Poonen and Michael Rubinstein. "The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon" (англ). doi:10.48550/arXiv.math/9508209. 
  5. Apolonio de Pérgamo; Vincenzo, Viviani (1659). De maximis et minimis geometrica… (італ.). Appendice. с. 146. 
  6. Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). The converse of Viviani's theorem. The College Mathematics Journal 37 (5): 390–391. JSTOR 27646392. doi:10.2307/27646392. 
  7. ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (ориг. 1929).
  8. ↑ Meskhishvili, Mamuka Meskhishvili, Mamuka (2020). Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids. Communications in Mathematics and Applications 11: 335–355. 
  9. Park, Poo-Sung (2016). "Regular polytope distances". Forum Geometricorum 16: 227–232. 
  10. Жуков А. В. Про число . — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.
  11. Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, стор.141

Література

  • Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — Харків : Гімназія, 1966. — С. 240 : стор. 51-61. — ISBN 978-966-474-295-2.
  • Істер О.С. Геометрія: 9 клас. — Київ : Генеза, 2017. — С. 243 : стор. 203. — ISBN 978-966-11-0844-7.

Посилання

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pravilnij bagatokutnikPravilnij dvanadcyatikutnik priklad Tip BagatokutnikVlastivosti Opuklij rivnostoronnij izogonalnij vershinno tranzitivnij izotoksalnij reberno tranzitivnij konciklichnij vpisanij v kolo Elementi n rebern vershinPoznachennyaSimvol Shlefli n Diagrama Koksetera Dinkina abo x n o Grupa simetriyi Dn poryadok 2n Diedralna grupa Dvoyistij SamodvoyistijV evklidovij geometriyi pra vilnij bagatoku tnik mnogoku tnik n ku tnik poligo n mnogokutnik u yakogo vsi kuti rivni i vsi storoni rivni mayut odnakovu dovzhinu Pravilni bagatokutniki mozhut buti opuklimi zirchatimi abo prostorovimi Yaksho n pryamuye do neskinchennosti pravilnij bagatokutnik nablizhayetsya za formoyu do kola yaksho zrobiti stalim znachennya perimetru chi ploshi abo do apejrogona pryama liniya yaksho zrobiti staloyu dovzhinu storoni Zmist 1 Opuklij pravilnij bagatokutnik 1 1 Kuti 1 2 Formuli 1 2 1 Dovzhina storoni ta perimetr 1 2 2 Vpisane ta opisane kolo 1 2 3 Plosha 1 2 4 Formuli dlya pravilnogo bagatokutnika z podvoyenim chislom storin 1 3 Diagonali 1 4 Koordinati vershin 1 5 Simetriya 2 Vlastivosti 3 Zastosuvannya 4 Istoriya 5 Rozbittya 6 Div takozh 7 Primitki 8 Literatura 9 PosilannyaOpuklij pravilnij bagatokutnik RedaguvatiVsi opukli pravilni bagatokutniki ye prostimi bagatokutnikami Vsi pravilni n kutniki podibni mizh soboyu Centrom pravilnogo bagatokutnika nazivayetsya tochka rivnoviddalena vid usih jogo vershin ta vsih jogo storin Vidrizok a takozh jogo dovzhina perpendikulyara provedenogo z centru pravilnogo bagatokutnika do jogo storoni nazivayetsya apotemoyu pravilnogo bagatokutnika Apotema dorivnyuye radiusu vpisanogo v danij bagatokutnik kola Kuti Redaguvati Centralnim kutom pravilnogo n kutnika kut a nazivayetsya kut pid yakim storonu n kutnika vidno z jogo centru a 360 0 n displaystyle alpha frac 360 0 n gradusiv 2 p n displaystyle frac 2 pi n radian Suma centralnih kutiv a 360 0 2 p displaystyle sum alpha 360 0 2 pi rad Vnutrishnij kut pravilnogo n kutnika kut mizh susidnimi storonami b 180 0 n 2 n displaystyle beta frac 180 0 n 2 n gradusiv n 2 p n displaystyle frac n 2 cdot pi n radian Suma vnutrishnih kutiv b 180 0 n 2 displaystyle sum beta 180 0 n 2 Zovnivnishnij kut kut sumizhnij z vnutrishnim kutom g 180 0 b a displaystyle gamma 180 0 beta alpha g 360 0 n displaystyle gamma frac 360 0 n gradusiv 2 p n displaystyle frac 2 pi n radian Suma zovnishnih kutiv bagatokutnika vzyatih po odnomu bilya kozhnoyi vershini dorivnyuye 360 Storona pravilnogo n kutnika n cherez radius opisanogo kola R a 2 sin p n R displaystyle a 2 cdot sin left frac pi n right cdot R cherez radius vpisanogo kola r a 2 t g p n r displaystyle a 2 cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 3 3 R displaystyle sqrt 3 cdot R 1 7320508 R 2 3 r displaystyle 2 sqrt 3 cdot r 3 4641016 r4 2 R displaystyle sqrt 2 cdot R 1 4142136 R 2 r displaystyle 2 cdot r 2 r5 5 5 2 R displaystyle sqrt frac 5 sqrt 5 2 cdot R 1 1755705 R 2 5 2 5 r displaystyle 2 sqrt 5 2 sqrt 5 cdot r 1 4530851 r6 R displaystyle R 1 R 2 3 3 r displaystyle frac 2 sqrt 3 3 cdot r 1 1547005 r7 0 8677674 R 0 9631492 r8 2 2 R displaystyle sqrt 2 sqrt 2 cdot R 0 7653669 R 2 2 1 r displaystyle 2 sqrt 2 1 cdot r 0 8284271 r9 0 6840403 R 0 7279405 r10 5 1 2 R displaystyle frac sqrt 5 1 2 cdot R 0 6180339 R 2 5 2 5 5 r displaystyle 2 sqrt frac 5 2 sqrt 5 5 cdot r 0 6498393 r11 0 5634651 R 0 5872529 r12 2 3 R displaystyle sqrt 2 sqrt 3 cdot R 0 5176381 R 2 2 3 r displaystyle 2 2 sqrt 3 cdot r 0 5358984 rFormuli Redaguvati Nehaj a displaystyle a storona pravilnogo n kutnika R radius opisanogo kola r radius vpisanogo kola P perimetr a p displaystyle a p apotema pravilnogo n kutnika Dovzhina storoni ta perimetr Redaguvati Dovzhina storoni pravilnogo n kutnika dorivnyuye a 2 sin p n R 2 t g p n r 2 R 2 r 2 displaystyle a 2 cdot sin left frac pi n right cdot R 2 cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2 cdot sqrt R 2 r 2 Perimetr suma vsih dovzhin storin pravilnogo n kutnika P n a 2 n sin p n R 2 n t g p n r 2 n R 2 r 2 displaystyle P n cdot a 2n cdot sin left frac pi n right cdot R 2n cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2n cdot sqrt R 2 r 2 Perimetri dvoh pravilnih n kutnikiv vidnosyatsya yak yih vidpovidni linijni elementi storoni radiusi vpisanih chi opisanih kil P 1 P 2 a b r 1 r 2 R 2 R 2 displaystyle frac P 1 P 2 frac a b frac r 1 r 2 frac R 2 R 2 Plosha kilcya obmezhenogo vpisanim ta opisanim kolami bagatokutnikaVpisane ta opisane kolo Redaguvati Navkolo kozhnogo pravilnogo n kutnika mozhna opisati kolo i v kozhen pravilnij n kutnik mozhna vpisati kolo Tobto pravilnij bagatokutnik ye bicentrichnim Centri vpisanogo i opivanogo kil spivpadayut i znahodyatsya v centri pravilnogo n kutnika Radius vpisanogo kola pravilnogo n kutnika dorivnyuye apofemi pravilnogo n kutnika dotikayetsya do vsih jogo reber r 1 2 c t g p n a cos p n R R 2 a 2 4 displaystyle r frac 1 2 mathop mathrm ctg left frac pi n right cdot a cos left frac pi n right cdot R sqrt R 2 frac a 2 4 Radius opisanogo kola pravilnogo n kutnika prohodit cherez vsi jogo vershini R 1 2 sin p n a sec p n r r 2 a 2 4 displaystyle R frac 1 2 cdot sin left frac pi n right cdot a sec left frac pi n right cdot r sqrt r 2 frac a 2 4 Plosha kilcya utvorenogo vpisanim ta opisanim kolom zalezhit tilki vid dovzhini storoni S p 4 a 2 displaystyle S frac pi 4 cdot a 2 Plosha Redaguvati Ploshu pravilnogo mnogokutnika z chislom storin n displaystyle n mozhna obchisliti za formulami S n 4 c t g p n a 2 displaystyle S frac n 4 mathop mathrm ctg left frac pi n right cdot a 2 S n 2 sin 2 p n R 2 displaystyle S frac n 2 sin left frac 2 pi n right cdot R 2 S n t g p n r 2 displaystyle S n cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2 S a n 2 R 2 a 2 4 a n r 2 1 2 P r p a p displaystyle S frac a cdot n 2 sqrt R 2 frac a 2 4 frac a cdot n cdot r 2 frac 1 2 P cdot r p cdot a p de P p perimetr ta pivperimetr pravilnogo n kutnika a p displaystyle a p apotema pravilnogo n kutnika r R radiusi vpisanogo ta opisanogo kil apofema Pravilnij n kutnik mozhna rozbit na n rivnih rivnobichnih trikutnikiv z vershinami v centri bagatokutnika U kozhnogo iz cih trikutnikiv osnova dorivnyuye storoni mnogokutnika a visota jogo apotemi Zastosovuyemo formulu ploshi trikutnika S 1 2 b h displaystyle S frac 1 2 bh de S plosha b osnova h visota Otrimuyemo formulu dlya obchislennya ploshi pravilnogo mnogokutnika S 1 2 a a p n 1 2 P a p displaystyle S frac 1 2 a cdot a p cdot n frac 1 2 P cdot a p de a storona pravilnogo n kutnika a p displaystyle a p apofema P perimetr Ploshi dvoh pravilnih n kutnikiv vidnosyatsya yak kvadrati yih vidpovidnih linijnih elementiv storin radiusiv vpisanih chi opisanih kil diagonalej 1 stor 203 S 1 S 2 a 2 b 2 r 1 2 r 2 2 R 1 2 R 2 2 displaystyle frac S 1 S 2 frac a 2 b 2 frac r 1 2 r 2 2 frac R 1 2 R 2 2 Formuli dlya pravilnogo bagatokutnika z podvoyenim chislom storin Redaguvati Nehaj navkolo danogo kola radiusa R opisano pravilnij n kutnik zi storonoyu An perimetrom Pn i plosheyu Sn i v ce zh kolo vpisano pravilnij n kutnik zi storonoyu an perimetrom pn i plosheyu sn Todi 2 stor 87 3 stor 332 Dlya vpisanogo v ce zh kolo 2n kutnika z podvoyenoyu kilkistyu storin Dlya opisanogo navkolo cogo zh kola 2n kutnika z podvoyenoyu kilkistyu storin U kolo radiusa R vpisano pravilnij 2n kutnik zi storonoyu a 2 n displaystyle a 2n i plosheyu s 2 n displaystyle s 2n Storona a 2 n R 2 2 1 a n 2 R 2 displaystyle a 2n R cdot sqrt 2 2 cdot sqrt 1 left frac a n 2 cdot R right 2 a 2 n 2 R 2 R 4 R 2 a n 2 a n A 2 n 2 displaystyle a 2n sqrt 2R 2 R cdot sqrt 4R 2 a n 2 sqrt frac a n cdot A 2n 2 Storona A 2 n 2 R A n 2 R 4 R 2 A n 2 a n A n a n A n displaystyle A 2n frac 2R cdot A n 2R sqrt 4R 2 A n 2 frac a n cdot A n a n A n Storona pravilnogo n kutnika vpisanogo v ce zh kolo a n a 2 n 4 a 2 n R 2 displaystyle a n a 2n cdot sqrt 4 left frac a 2n R right 2 Perimetr p 2 n p n P 2 n displaystyle p 2n sqrt p n cdot P 2n p 2 n gt p n displaystyle p 2n gt p n Perimetr P 2 n 2 p n P n p n P n displaystyle P 2n frac 2p n cdot P n p n P n P n gt P 2 n displaystyle P n gt P 2n Plosha s 2 n n R 2 2 1 1 2 s n n R 2 2 displaystyle s 2n frac n cdot R 2 sqrt 2 cdot sqrt 1 sqrt 1 left frac 2s n n cdot R 2 right 2 Plosha S 2 n 2 s 2 n S n s 2 n S n displaystyle S 2n frac 2s 2n cdot S n s 2n S n Plosha pravilnogo n kutnika s n s 2 n 1 s 2 n n R 2 2 displaystyle s n s 2n cdot sqrt 1 left frac s 2n n cdot R 2 right 2 Nehaj navkolo danogo kola radiusa R opisano pravilnij n kutnik zi storonoyu An i v ce zh kolo vpisano pravilnij n kutnik zi storonoyu an Todi a n 2 R A n 4 R 2 A n 2 displaystyle a n frac 2R cdot A n sqrt 4R 2 A n 2 A n 2 R a n 4 R 2 a n 2 displaystyle A n frac 2R cdot a n sqrt 4R 2 a n 2 Diagonali Redaguvati Diagonallyu bagatokutnika nazivayut vidrizok sho z yednuye dvi nesusidni vershini bagatokutnika Diagonali sho vihodyat z odniyeyi vershini opuklogo n kutnika dilyat jogo na n 2 trikutniki Kilkist diagonalej pravilnogo n kutnika n n 3 2 displaystyle frac n cdot n 3 2 Kut mizh bud yakimi susidnimi diagonalyami sho vihodyat iz odniyeyi vershini vklyuchno zi storonami sho vihodyat iz ciyeyi vershini f p n displaystyle varphi frac pi n Pri parnomu n n 2 displaystyle frac n 2 diagonalej pravilnogo bagatokutnika sho mayut najbilshu dovzhinu peretinayutsya v odnij tochci v centri pravilnogo bagatokutnika Pri neparnomu n n displaystyle n diagonalej sho mayut najbilshu dovzhinu pri peretini utvoryuyut vseredini n kutnika takij zhe n kutnik menshogo rozmiru Dovzhini diagonalej pravilnogo n kutnika mozhna obchisliti za formuloyu d k sin k 1 p n sin p n a displaystyle d k frac sin left frac k 1 cdot pi n right sin left frac pi n right cdot a pri k 1 2 3 n 3 k N displaystyle k 1 2 3 n 3 k in mathbb N Vivid formuli Kuti n kutnika Vnutrishnij kut b n 2 p n p 2 p n displaystyle beta frac n 2 cdot pi n pi frac 2 pi n Kut d b f n 2 p n p n p 2 p n p n p 3 p n displaystyle delta beta varphi frac n 2 cdot pi n frac pi n pi frac 2 pi n frac pi n pi frac 3 pi n Kut ϵ b p d f p 2 p n p p 3 p n p n p 4 p n displaystyle epsilon beta left pi delta varphi right pi frac 2 pi n pi pi frac 3 pi n frac pi n pi frac 4 pi n i t d Diagonal d 1 displaystyle d 1 znahodimo zastosovuyuchi teoremu sinusiv a sin f d 1 sin b d 1 sin p 2 p n sin p n a sin 2 p n sin p n a displaystyle frac a sin varphi frac d 1 sin beta Longrightarrow d 1 frac sin left pi frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a Analogichno diagonal d 2 displaystyle d 2 a sin f d 2 sin d d 2 sin p 3 p n sin p n a sin 3 p n sin p n a displaystyle frac a sin varphi frac d 2 sin delta Longrightarrow d 2 frac sin left pi frac 3 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 3 pi n right sin left frac pi n right cdot a Ostannya diagonal d n 3 displaystyle d n 3 d n 3 sin p n 2 p n sin p n a sin n 2 p n sin p n a sin 2 p n sin p n a displaystyle d n 3 frac sin left pi frac n 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac n 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a Uzagalnyuyuchi znajdeni znachennya otrimayemo d k sin k 1 p n sin p n a displaystyle d k frac sin left frac k 1 cdot pi n right sin left frac pi n right cdot a pri k 1 2 3 n 3 displaystyle k 1 2 3 n 3 k in mathbb N Vsi diagonali pravilnogo n kutnika pri peretini dilyat jogo na 1 4 11 24 50 80 154 220 375 444 chastin vidpovidno dlya n 3 4 5 A007678 Kilkist tochok peretinu diagonalej useredini pravilnogo bagatokutnika 0 1 5 13 35 49 126 161 330 301 vidpovidno dlya n 3 4 5 A006561 Najbilsha kilkist diagonalej pravilnogo n displaystyle n kutnika sho peretinayutsya v odnij tochci yaka ne ye jogo vershinoyu abo centrom dorivnyuye 2 yaksho n neparne 3 yaksho n parne ale ne dilitsya na 6 5 yaksho n dilitsya na 6 ale ne dilitsya na 30 7 yaksho n dilitsya na 30Dlya cih znachen isnuye tri viklyuchennya cya kilkist 0 v trikutniku 2 v shestikutniku ta 4 v dvanadcyatikutniku 4 Nehaj isnuye nastupna funkciya d m n 1 yaksho n dilitsya na m 0 yaksho n ne dilitsya na m displaystyle delta m n begin cases 1 amp text yaksho n text dilitsya na m 0 amp text yaksho n text ne dilitsya na m end cases Todi Kilkist tochok peretinu diagonalej pravilnogo n kutnika dorivnyuye 4 C n 4 5 n 3 45 n 2 70 n 24 24 d 2 n 3 n 2 d 4 n 45 n 2 262 n 6 d 6 n 42 n d 12 n 60 n d 18 n 35 n d 24 n 38 n d 30 n 82 n d 42 n 330 n d 60 n 144 n d 84 n 96 n d 90 n 144 n d 120 n 96 n d 210 n displaystyle begin array l C n 4 frac 5n 3 45n 2 70n 24 24 cdot delta 2 n frac 3n 2 cdot delta 4 n frac 45n 2 262n 6 cdot delta 6 n 42n cdot delta 12 n 60n cdot delta 18 n 35n cdot delta 24 n 38n cdot delta 30 n 82n cdot delta 42 n 330n cdot delta 60 n 144n cdot delta 84 n 96n cdot delta 90 n 144n cdot delta 120 n 96n cdot delta 210 n end array De C n 4 displaystyle C n 4 chislo spoluk iz n displaystyle n po 4 displaystyle 4 Kilkist chastin na yaki diagonali pri peretini dilyat pravilnyj n kutnik dorivnyuye 4 n 4 6 n 3 23 n 2 42 n 24 24 5 n 3 42 n 2 40 n 48 48 d 2 n 3 n 4 d 4 n 53 n 2 310 n 12 d 6 n 49 n 2 d 12 n 32 n d 18 n 19 n d 24 n 36 n d 30 n 50 n d 42 n 190 n d 60 n 78 n d 84 n 48 n d 90 n 78 n d 120 n 48 n d 210 n displaystyle begin array l frac n 4 6n 3 23n 2 42n 24 24 frac 5n 3 42n 2 40n 48 48 cdot delta 2 n frac 3n 4 cdot delta 4 n frac 53n 2 310n 12 cdot delta 6 n frac 49n 2 cdot delta 12 n 32n cdot delta 18 n 19n cdot delta 24 n 36n cdot delta 30 n 50n cdot delta 42 n 190n cdot delta 60 n 78n cdot delta 84 n 48n cdot delta 90 n 78n cdot delta 120 n 48n cdot delta 210 n end array Dlya pravilnogo n kutnika vpisanogo v kolo odinichnogo radiusa dobutok vidstanej vid danoyi vershini do vsih inshih vershin vklyuchno iz sumizhnimi vershinami ta vershinami z yednani diagonalyami dorivnyuye n 1 Koordinati vershin Redaguvati Nehaj x 0 displaystyle x 0 ta y 0 displaystyle y 0 koordinati centra a R displaystyle R radius opisanogo navkolo pravilnogo mnogokutnika kola ϕ 0 displaystyle phi 0 kutova koordinata pershoyi vershini todi dekartovi koordinati vershin pravilnogo mnogokutnika viznachayutsya formulami x i x 0 R cos ϕ 0 2 p i n displaystyle x i x 0 R cos left phi 0 frac 2 pi i n right y i y 0 R sin ϕ 0 2 p i n displaystyle y i y 0 R sin left phi 0 frac 2 pi i n right de i 0 n 1 displaystyle i 0 dots n 1 Simetriya Redaguvati Shist osovih simetrij pravilnogo shestikutnikaGrupoyu simetriyi pravilnogo n kutnika ye diedralna grupa Dn poryadku 2n D2 D3 D4 Vona skladayetsya z n obertovih simetrij i n osovih simetrij Yaksho n parne todi isnuye n 2 osej simetrij sho prohodyat cherez dvi protilezhni vershini a insha polovina cherez seredini protilezhnih storin Yaksho n neparne to vsi osi prohodyat cherez vershinu ta seredinu protilezhnoyi storoni Tak chi inakshe isnuye n osej simetriyi i 2n elementiv u grupi simetrij Vidbittya vidnosno odniyeyi z osej simetriyi iz nastupnim vidbittyam vidnosno inshoyi osi rivnocinno obertannyu na podvoyenij kut mizh osyami Vlastivosti RedaguvatiVsi bisektrisi kutiv mizh storonami rivni i prohodyat cherez centr pravilnogo mnogokutnika Vsi seredinni perpendikulyari prohodyat cherez centr pravilnogo mnogokutnika Shob znajti centr pravilnogo n kutnika dostatno znajti tochku peretinu dvoh seredinnih perpendikulyariv provedenih do susidnih storin Centr mas pravilnogo n kutnika lezhit u jogo geometrichnomu centri Pravilnij n kutnik mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya j linijki todi i tilki todi koli n 2 k p 1 p m displaystyle n 2 k cdot p 1 cdot ldots cdot p m de rizni prosti chisla Ferma Zokrema pravilnij n kutnik ye takim sho buduyetsya yaksho n 3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24 30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96 102 120 poslidovnist A003401 Pravilnimi n kutnikami mozhna zamostiti ploshinu bez promizhkiv ta nakladen tilki pri n 3 4 ta 6 tobto tilki pravilnimi trikutnikami kvadratami ta pravilnimi shestikutnikami Teorema Viviani dlya pravilnogo semikutnikaTeorema Viviani dlya pravilnogo n kutnikaU svoyemu vidanni p yatoyi knigi Konichni peretini Apolloniya 5 Viviani nadaye taku teoremu U pravilnomu opuklomu n kutniku suma vidstanej vid bud yakoyi tochki vseredini bagatokutnika do jogo storin abo yih prodovzhen postijna i ne zalezhit vid roztashuvannya tochki Zokrema yaksho h i displaystyle h i vidstani vid deyakoyi tochki R sho lezhit vseredini pravilnogo n kutnika do jogo storin a p displaystyle a p apotema cogo n kutnika to vikonuyetsya rivnist 6 7 stor 72 i 1 n h i a p n displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle h i a p cdot n Ilyustraciya teorem pov yazanih z opisanim kolom pravilnogo bagatokutnikaSuma dovzhin perpendikulyariv opushenih z vershin pravilnogo n kutnika na bud yaku pryamu dotichnu do opisanogo kola dorivnyuye radiusu opisanogo kola pomnozhenomu na n 7 stor 73 i 1 n ℓ i n R displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle ell i n cdot R Suma kvadrativ vidstanej vid vershin pravilnogo n kutnika do bud yakoyi tochki na opisanomu koli dorivnyuye 7 stor 73 i 1 n d i 2 2 n R 2 displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle d i 2 2n cdot R 2 de R radius opisanogo kola Suma kvadrativ vidstanej vid seredin storin pravilnogo n kutnika do bud yakoyi tochki opisanogo kola dorivnyuye 7 stor 73 i 1 n m i 2 2 n R 2 1 4 n a 2 displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle m i 2 2n cdot R 2 frac 1 4 n cdot a 2 de a displaystyle a dovzhina storoni pravilnogo n kutnikaYaksho d i displaystyle d i vidstani vid vershin pravilnogo n displaystyle n kutnika do bud yakoyi tochki na opisanomu koli to 8 3 i 1 n d i 2 2 2 n i 1 n d i 4 displaystyle 3 left sum i 1 n d i 2 right 2 2n sum i 1 n d i 4 Tochka v ploshini pravilnogo n kutnikaNehaj d i displaystyle d i vidstani vid dovilnoyi tochki ploshini do vershin pravilnogo n kutnika a R radius opisanogo kola Todi vikonuyetsya rivnist 9 1 n i 1 n d i 4 3 R 4 1 n i 1 n d i 2 R 2 2 displaystyle frac 1 n sum i 1 n d i 4 3R 4 left frac 1 n sum i 1 n d i 2 R 2 right 2 Isnuyut formuli dlya bilshih pokaznikiv stepenya vidstanej d i displaystyle d i Yaksho S n 2 m 1 n i 1 n d i 2 m displaystyle S n 2m frac 1 n sum i 1 n d i 2m to 8 S n 2 m S n 2 m k 1 m 2 m 2 k 2 k k R 2 k S n 2 R 2 k S n 2 m 2 k displaystyle S n 2m left S n 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor binom m 2k binom 2k k R 2k left S n 2 R 2 right k left S n 2 right m 2k a takozh S n 2 m S n 2 m k 1 m 2 1 2 k m 2 k 2 k k S n 4 S n 2 2 k S n 2 m 2 k displaystyle S n 2m left S n 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor frac 1 2 k binom m 2k binom 2k k left S n 4 left S n 2 right 2 right k left S n 2 right m 2k de m displaystyle m dodatne cile chislo menshe nizh n displaystyle n Yaksho L displaystyle L vidstan vid dovilnoyi tochki na ploshini do centra pravilnogo n kutnika z radiusom opisanogo kola R displaystyle R to 8 i 1 n d i 2 m n R 2 L 2 m k 1 m 2 m 2 k 2 k k R 2 k L 2 k R 2 L 2 m 2 k displaystyle sum i 1 n d i 2m n left left R 2 L 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor binom m 2k binom 2k k R 2k L 2k left R 2 L 2 right m 2k right de m displaystyle m 1 2 n 1 displaystyle n 1 Zastosuvannya RedaguvatiPravilnimi mnogokutnikami za viznachennyam ye grani pravilnih mnogogrannikiv Davnogrecki matematiki Antifon Brison Arhimed ta in vikoristovuvali pravilni mnogokutniki dlya obchislennya chisla p displaystyle pi Voni obchislyuvali ploshi vpisanih v kolo i opisanih navkolo nogo mnogokutnikiv postupovo zbilshuyuchi chislo yih storin i otrimuyuchi takim chinom ocinku ploshi kola 10 Istoriya RedaguvatiPobudova pravilnogo mnogokutnika n kutnika za dopomogoyu cirkulya ta linijki zalishalas problemoyu dlya matematikiv do XIX stolittya Taka pobudova identichna rozdilennyu kola na n rivnih chastin oskilki z yednavshi mizh soboyu tochki sho dilyat kolo na rivni chastini mozhna otrimati shukanij mnogokutnik Evklid u svoyih Nachalah opisav pobudovu pravilnih mnogokutnikiv u Knizi IV i virishiv zadachu dlya n 3 4 5 6 15 Vin viznachiv pevnij kriterij mozhlivosti pobuduvati mnogokutnik hocha cej kriterij i ne bulo opisano v Nachalah Davnogrecki matematiki vmili buduvati mnogokutnik z 2m storonami pri cilomu m gt 1 mayuchi vzhe pobudovanij mnogokutnik iz kilkistyu storin 2m 1 podilom dugi na dvi chastini Takim chinom iz dvoh pivkil mozhna pobuduvati kvadrat potim pravilnij vosmikutnik pravilnij shistnadcyatikutnik i tak dali Okrim cogo v tij zhe knizi Evklid vkazav i drugij kriterij yaksho vidomo yak buduvati mnogokutniki z r ta s storonami de r ta s vzayemno prosti chisla to mozhna pobuduvati i mnogokutnik iz r s storonami Sintezuyuchi ci dva sposobi mozhna dijti visnovku sho starodavni matematiki vmili buduvati pravilni mnogokutniki z 2 m p 1 k 1 p 2 k 2 displaystyle 2 m cdot p 1 k 1 cdot p 2 k 2 storonami de m cile nevid yemne chislo p 1 p 2 displaystyle p 1 p 2 chisla 3 ta 5 a k 1 k 2 displaystyle k 1 k 2 prijmayut znachennya 0 abo 1 Serednovichna matematika majzhe niyak ne prosunulas u comu pitanni Lishe 1796 roku Karlu Fridrihu Gausu vdalosya dovesti sho koli kilkist storin pravilnogo mnogokutnika dorivnyuye prostomu chislu Ferma do yakih krim 3 ta 5 nalezhat 17 257 i 65537 to jogo mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya ta linijki Yaksho brati vzagali iz cogo viplivaye sho pravilnij mnogokutnik mozhlivo pobuduvati yaksho kilkist jogo storin dorivnyuye 2 k 0 p 1 k 1 p 2 k 2 p s k s displaystyle 2 k 0 p 1 k 1 p 2 k 2 cdots p s k s de k 0 displaystyle k 0 cile nevid yemne chislo k 1 k 2 k s displaystyle k 1 k 2 cdots k s nabuvayut znachennya 0 abo 1 a p j displaystyle mathrm p j prosti chisla Ferma Gaus pidozryuvav sho cya umova ye ne tilki dostatnoyu ale j neobhidnoyu ale vpershe ce doviv P yer Loran Vancel 1836 roku Krapku v spravi pobudovi pravilnih mnogokutnikiv postavila pobudova pravilnih 17 257 ta 65537 kutnikiv Pershu vinajshov Johanes Erhinger 1825 roku drugu Fridrih Yulius Rishelo 1832 roku tretyu Iogan Gustav Germes 1894 roku Vidtodi problema vvazhayetsya povnistyu virishenoyu Rozbittya RedaguvatiGarold Kokseter stverdzhuye sho kozhen zonogon 2m kutnik protilezhni storoni yakogo paralelni j mayut odnakovu dovzhinu mozhna rozrizati na m 2 m m 1 2 displaystyle binom m 2 frac m cdot m 1 2 paralelogramiv Ci mozayiki mistyatsya yak pidmnozhini vershin reber i granej v ortogonalnih proekciyah m kubiv 11 Zokrema ce spravedlivo dlya bud yakogo pravilnogo bagatokutnika z parnoyu kilkistyu storin u comu vipadku vsi paralelogrami ye rombami Poslidovnist A006245 mistit kilkist rombiv u rozbitti pravilnogo 2m kutnika Prikladi rozbittya na rombi pravilnih 2m kutnikiv 2m 6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 40 50Zobrazhennya Rombi 3 6 10 15 21 28 36 45 66 105 190 300Div takozh RedaguvatiTeorema Gaussa Vancelya Najbilshij mnogokutnik odinichnogo diametra Figurni chislaPrimitki Redaguvati Ister O S 2017 Harris John W Stocker Horst 23 lipnya 1998 Handbook of Mathematics and Computational Science angl Springer Science amp Business Media ISBN 978 0 387 94746 4 Zwillinger Daniel 2003 CRC Standard Mathematical Tables angl vid 31th ed Boca Raton FL CRC Press LLC s 840 stor 332 a b v Bjorn Poonen and Michael Rubinstein The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon angl doi 10 48550 arXiv math 9508209 Apolonio de Pergamo Vincenzo Viviani 1659 De maximis et minimis geometrica ital Appendice s 146 Chen Zhibo Liang Tian 2006 The converse of Viviani s theorem The College Mathematics Journal 37 5 390 391 JSTOR 27646392 doi 10 2307 27646392 a b v g Johnson Roger A Advanced Euclidean Geometry Dover Publ 2007 orig 1929 a b v Meskhishvili Mamuka Meskhishvili Mamuka 2020 Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids Communications in Mathematics and Applications11 335 355 Park Poo Sung 2016 Regular polytope distances Forum Geometricorum 16 227 232 Zhukov A V Pro chislo p displaystyle pi M MCNMO 2002 ISBN 5 94057 030 5 Coxeter Mathematical recreations and Essays Thirteenth edition stor 141Literatura RedaguvatiMerzlyak A G Polonskij V B Yakir M S Geometriya pidruch dlya 9 kl zagalnoosvit navch zakladiv Harkiv Gimnaziya 1966 S 240 stor 51 61 ISBN 978 966 474 295 2 Ister O S Geometriya 9 klas Kiyiv Geneza 2017 S 243 stor 203 ISBN 978 966 11 0844 7 Posilannya RedaguvatiRegular Polygons and Other Two Dimensional Shapes Weisstein Eric W RegularPolygon From MathWorld Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pravilnij mnogokutnik amp oldid 40007975