www.wikidata.uk-ua.nina.az

Периметр Пери метр дав гр περίμετρον окружність дав гр περιμετρέο вимірюю навколо сумарна довжина границь які обмежують

Периметр

Пери́метр (дав.-гр. περίμετρον — окружність, дав.-гр. περιμετρέο — вимірюю навколо)  — сумарна довжина границь, які обмежують геометричну фігуру на площині. «Периметр» вживають як для позначення довжини границь фігури, так і для самих границь. Найчастіше позначається латинською літерою .

Периметр — довжина контуру замкнутої плоскої фігури, довжина межі.

Обчислення периметра має практичне значення. Наприклад, для обчислення довжини огорожі навколо саду чи ділянки. Периметр колеса (кола) визначає, наскільки далеко воно просунеться при повному оберті. Таким само, довжина нитки, намотаної на котушку, тісно пов'язана з периметром котушки.

Периметри найпростіших фігур Редагувати

фігура формула змінні
коло де  — радіус кола, а  — діаметр.
трикутник де , і  — довжини сторін трикутника
правильний трикутник де  — довжина сторони
квадрат / ромб де  — довжина сторони
прямокутник, паралелограм де і  — довжини двох суміжних сторін
рівносторонній багатокутник де  — число сторін,  — довжина сторони
правильний многокутник де  — число сторін, а  — відстань від центра многокутника до однієї з вершин многокутника
довільний многокутник де  — довжина -й (1, 2, 3 … n) сторони n-кутника

Периметр круга Редагувати

Периметр круга P = d·π (тут d=1)

Оскільки границя круга — коло, то периметром круга є довжина кола, що його обмежує. Тобто периметр круга дорівнює

Многокутники Редагувати

Многокутники є основними фігурами для визначення периметрів, і не тільки тому, що вони є найпростішими фігурами, але й тому, що периметри багатьох фігур обчислюються апроксимацією їх послідовністю багатокутників. Першим відомим математиком, який використав цей підхід, був Архімед, який апроксимував периметр кола, описуючи навколо нього правильні многокутники.

Формула периметра прямокутника.

Периметр многокутника дорівнює сумі довжин його сторін. Зокрема, периметр прямокутника, що має ширину та довжину , дорівнює (див. рисунок).

Рівносторонній многокутник — це многокутник, що має рівні довжини сторін (наприклад, ромб — це рівносторонній мнгокутник з 4 сторонами). Щоб вирахувати периметр рівностороннього многокутника, потрібно помножити число сторін на довжину сторони.

Периметр правильного многокутника можна обчислити за кількістю сторін та його радіусом, тобто відстанню від центра до вершин. Довжину сторони можна вирахувати, використовуючи тригонометрію. Якщо R — радіус багатокутника, а n — число сторін, периметр дорівнює

Для обчислення периметра кола знання радіуса або діаметра та числа π достатньо. Проблема полягає в тому, що π не є раціональним (його не можна виразити у вигляді дробу двох цілих чисел) і навіть не є алгебричним (воно не є коренем жодного поліноміального рівняння з раціональними коефіцієнтами). Таким чином, отримання точного наближення до π важливе для обчислень. Знаходження знаків π належить до багатьох галузей, таких як математичний аналіз та теорія алгоритмів.

Осмислення периметра Редагувати

Чим дрібніша структура фігури, тим менша площа і тим більший периметр. Опукла оболонка залишається незмінною.
Периметр фортеці Неф-Бризак складний. Найкоротший шлях для обходу фортеці — по межі опуклої оболонки.

Периметр і площа є двома основними вимірами геометричних фігур, їх часто плутають. Нерідко також вважають, що збільшення однієї із цих величин призводить до збільшення іншої. Справді, збільшення (або зменшення) розміру фігури призводить до збільшення (або зменшення) її площі, як і її периметра. Так, наприклад, якщо намалювати карту поля в масштабі 1:10 000, дійсні розміри периметра можна обчислити простим множенням на 10 000. Дійсна ж площа буде в 10 0002 разів більша за площу фігури на карті.

Тим не менш, немає жодного зв'язку між площею та периметром фігур. Наприклад, периметр прямокутника шириною 0,001 і довжиною 1000 трохи більше 2000, тоді як периметр прямокутника шириною 0,5 і довжиною 2 дорівнює 5. Площі обох фігур дорівнюють 1.

Прокл (V-е століття) писав, що грецькі селяни ділили поля, спираючись на периметри, проте врожай з поля пропорційний площі, а не периметру, і багато наївних селян отримували поля з великим периметром, але малою площею.

Якщо видалити частину фігури, її площа зменшиться, а ось периметр може не зменшитися. Слід також розрізняти периметр і опуклу оболонку. Опуклу оболонку візуально можна уявити як гумку, натягнуту навколо фігури. На малюнку зліва всі фігури мають одну опуклу оболонку (шестикутник).

Ізопериметрична задача Редагувати

Ізопериметрична задача — це задача знаходження фігури з найбільшою площею серед фігур, що мають заданий периметр. Рішення інтуїтивне — це коло . Зокрема, тому краплі жиру в бульйоні мають форму кружечків.

Задача видається простою, але строге математичне доведення складне. Ізопериметричну задачу іноді спрощують — знайти чотирикутник, трикутник або іншу певну фігуру з найбільшою площею серед тих, що мають заданий периметр. Розв'язання ізопериметричної задачі для чотирикутників — квадрат, для трикутників — правильний трикутник. У загальному випадку, многокутник з n сторонами має найбільшу площу при заданому периметрі, якщо він є правильним, тобто ближчим до кола, порівняно з неправильними многокутниками. Перше доведення провів М. В. Остроградський[джерело?].

Варіації та узагальнення Редагувати

  • Півпериметр — половина периметра. Використовується переважно в геометрії трикутника.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Heath, 1981, с. 206.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Peri metr dav gr perimetron okruzhnist dav gr perimetreo vimiryuyu navkolo sumarna dovzhina granic yaki obmezhuyut geometrichnu figuru na ploshini Perimetr vzhivayut yak dlya poznachennya dovzhini granic figuri tak i dlya samih granic Najchastishe poznachayetsya latinskoyu literoyu P displaystyle P Perimetr dovzhina konturu zamknutoyi ploskoyi figuri dovzhina mezhi Obchislennya perimetra maye praktichne znachennya Napriklad dlya obchislennya dovzhini ogorozhi navkolo sadu chi dilyanki Perimetr kolesa kola viznachaye naskilki daleko vono prosunetsya pri povnomu oberti Takim samo dovzhina nitki namotanoyi na kotushku tisno pov yazana z perimetrom kotushki Zmist 1 Perimetri najprostishih figur 2 Perimetr kruga 3 Mnogokutniki 4 Osmislennya perimetra 5 Izoperimetrichna zadacha 6 Variaciyi ta uzagalnennya 7 Div takozh 8 PrimitkiPerimetri najprostishih figur Redaguvatifigura formula zminnikolo P 2 p r p d displaystyle P 2 pi r pi d nbsp de r displaystyle r nbsp radius kola a d displaystyle d nbsp diametr trikutnik P a b c displaystyle P a b c nbsp de a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp i c displaystyle c nbsp dovzhini storin trikutnikapravilnij trikutnik P 3 a displaystyle P 3a nbsp de a displaystyle a nbsp dovzhina storonikvadrat romb P 4 a displaystyle P 4a nbsp de a displaystyle a nbsp dovzhina storonipryamokutnik paralelogram P 2 l w displaystyle P 2 l w nbsp de l displaystyle l nbsp i w displaystyle w nbsp dovzhini dvoh sumizhnih storinrivnostoronnij bagatokutnik P n a displaystyle P na nbsp de n displaystyle n nbsp chislo storin a displaystyle a nbsp dovzhina storonipravilnij mnogokutnik P 2 n b sin p n displaystyle P 2nb sin left frac pi n right nbsp de n displaystyle n nbsp chislo storin a b displaystyle b nbsp vidstan vid centra mnogokutnika do odniyeyi z vershin mnogokutnikadovilnij mnogokutnik P a 1 a 2 a 3 a n i 1 n a i displaystyle P a 1 a 2 a 3 cdots a n sum i 1 n a i nbsp de a i displaystyle a i nbsp dovzhina i displaystyle i nbsp j 1 2 3 n storoni n kutnikaPerimetr kruga Redaguvati nbsp Perimetr kruga P d p tut d 1 Oskilki granicya kruga kolo to perimetrom kruga ye dovzhina kola sho jogo obmezhuye Tobto perimetr kruga dorivnyuye P 2 p r p d displaystyle P circ 2 pi r pi d nbsp abo P 6 28 r 3 14 d displaystyle P circ approx 6 28r approx 3 14d nbsp Mnogokutniki RedaguvatiMnogokutniki ye osnovnimi figurami dlya viznachennya perimetriv i ne tilki tomu sho voni ye najprostishimi figurami ale j tomu sho perimetri bagatoh figur obchislyuyutsya aproksimaciyeyu yih poslidovnistyu bagatokutnikiv Pershim vidomim matematikom yakij vikoristav cej pidhid buv Arhimed yakij aproksimuvav perimetr kola opisuyuchi navkolo nogo pravilni mnogokutniki nbsp Formula perimetra pryamokutnika Perimetr mnogokutnika dorivnyuye sumi dovzhin jogo storin Zokrema perimetr pryamokutnika sho maye shirinu w displaystyle w nbsp ta dovzhinu ℓ displaystyle ell nbsp dorivnyuye 2 w 2 ℓ displaystyle 2w 2 ell nbsp div risunok Rivnostoronnij mnogokutnik ce mnogokutnik sho maye rivni dovzhini storin napriklad romb ce rivnostoronnij mngokutnik z 4 storonami Shob virahuvati perimetr rivnostoronnogo mnogokutnika potribno pomnozhiti chislo storin na dovzhinu storoni Perimetr pravilnogo mnogokutnika mozhna obchisliti za kilkistyu storin ta jogo radiusom tobto vidstannyu vid centra do vershin Dovzhinu storoni mozhna virahuvati vikoristovuyuchi trigonometriyu Yaksho R radius bagatokutnika a n chislo storin perimetr dorivnyuye 2 n R sin 180 n displaystyle 2nR sin left frac 180 circ n right nbsp Dlya obchislennya perimetra kola znannya radiusa abo diametra ta chisla p dostatno Problema polyagaye v tomu sho p ne ye racionalnim jogo ne mozhna viraziti u viglyadi drobu dvoh cilih chisel i navit ne ye algebrichnim vono ne ye korenem zhodnogo polinomialnogo rivnyannya z racionalnimi koeficiyentami Takim chinom otrimannya tochnogo nablizhennya do p vazhlive dlya obchislen Znahodzhennya znakiv p nalezhit do bagatoh galuzej takih yak matematichnij analiz ta teoriya algoritmiv Osmislennya perimetra Redaguvati nbsp Chim dribnisha struktura figuri tim mensha plosha i tim bilshij perimetr Opukla obolonka zalishayetsya nezminnoyu nbsp Perimetr forteci Nef Brizak skladnij Najkorotshij shlyah dlya obhodu forteci po mezhi opukloyi obolonki Perimetr i plosha ye dvoma osnovnimi vimirami geometrichnih figur yih chasto plutayut Neridko takozh vvazhayut sho zbilshennya odniyeyi iz cih velichin prizvodit do zbilshennya inshoyi Spravdi zbilshennya abo zmenshennya rozmiru figuri prizvodit do zbilshennya abo zmenshennya yiyi ploshi yak i yiyi perimetra Tak napriklad yaksho namalyuvati kartu polya v masshtabi 1 10 000 dijsni rozmiri perimetra mozhna obchisliti prostim mnozhennyam na 10 000 Dijsna zh plosha bude v 10 0002 raziv bilsha za ploshu figuri na karti Tim ne mensh nemaye zhodnogo zv yazku mizh plosheyu ta perimetrom figur Napriklad perimetr pryamokutnika shirinoyu 0 001 i dovzhinoyu 1000 trohi bilshe 2000 todi yak perimetr pryamokutnika shirinoyu 0 5 i dovzhinoyu 2 dorivnyuye 5 Ploshi oboh figur dorivnyuyut 1 Prokl V e stolittya pisav sho grecki selyani dilili polya spirayuchis na perimetri 1 prote vrozhaj z polya proporcijnij ploshi a ne perimetru i bagato nayivnih selyan otrimuvali polya z velikim perimetrom ale maloyu plosheyu Yaksho vidaliti chastinu figuri yiyi plosha zmenshitsya a os perimetr mozhe ne zmenshitisya Slid takozh rozriznyati perimetr i opuklu obolonku Opuklu obolonku vizualno mozhna uyaviti yak gumku natyagnutu navkolo figuri Na malyunku zliva vsi figuri mayut odnu opuklu obolonku shestikutnik Izoperimetrichna zadacha RedaguvatiIzoperimetrichna zadacha ce zadacha znahodzhennya figuri z najbilshoyu plosheyu sered figur sho mayut zadanij perimetr Rishennya intuyitivne ce kolo Zokrema tomu krapli zhiru v buljoni mayut formu kruzhechkiv Zadacha vidayetsya prostoyu ale stroge matematichne dovedennya skladne Izoperimetrichnu zadachu inodi sproshuyut znajti chotirikutnik trikutnik abo inshu pevnu figuru z najbilshoyu plosheyu sered tih sho mayut zadanij perimetr Rozv yazannya izoperimetrichnoyi zadachi dlya chotirikutnikiv kvadrat dlya trikutnikiv pravilnij trikutnik U zagalnomu vipadku mnogokutnik z n storonami maye najbilshu ploshu pri zadanomu perimetri yaksho vin ye pravilnim tobto blizhchim do kola porivnyano z nepravilnimi mnogokutnikami Pershe dovedennya proviv M V Ostrogradskij dzherelo Variaciyi ta uzagalnennya RedaguvatiPivperimetr polovina perimetra Vikoristovuyetsya perevazhno v geometriyi trikutnika Div takozh RedaguvatiPlosha Ob yemPrimitki Redaguvati Heath 1981 s 206 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Perimetr amp oldid 37086247