Алгебраїчні числа також алгебричні числа підмножина комплексних чисел кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена пе

Алгебраїчні числа, також алгебричні числа, — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число є алгебраїчним, якщо існує многочлен

де і .

У цьому визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Приклади Редагувати

Всі раціональні числа є алгебраїчними: число є, наприклад, коренем рівняння .
Уявна одиниця, число є алгебраїчним, як корінь рівняння .
Числа e, π, e^π є трансцендентними. Статус числа π^e невідомий.
Якщо — алгебраїчні числа, тоді — трансцендентне число.
Числа і є алгебраїчними (кути в градусах).

Мінімальний многочлен Редагувати

Якщо — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним . Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа .

Степінь мінімального многочлена називається степенем алгебраїчного числа .
Інші корені мінімального многочлена називаються спряженими до .
Висотою алгебраїчного числа називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого є коренем.

Мінімальний многолен числа має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли — ціле алгебраїчне число.

Приклади Редагувати

Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
Уявна одиниця так само як є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно та .
При будь-якому натуральному , є алгебраїчним числом -го степеня.

Поле алгебраїчних чисел Редагувати

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо і — алгебраїчні числа то їх обернені елементи і , а також сума і добуток також є алгебраїчними числами.

Доведення Редагувати

Спершу доведемо алгебраїчність . Якщо — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого є коренем, то буде коренем многочлена . Тобто — алгебраїчне число.

Якщо — корінь многочлена , то є коренем многочлена , отже теж є алгебраїчним числом.

Доведемо тепер алгебраїчність . Припустимо α є коренем многочлена і є коренем многочлена . Нехай — всі корені (враховуючи їх кратність, так що степінь рівний ) і нехай — всі корені . Розглянемо многочлен:

Алгебраїчність числа доводиться аналогічно до випадку , розглядаючи многочлен:

Властивості Редагувати

Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
Для довільного алгебраїчного числа існує таке натуральне , що — ціле алгебраїчне число.
Алгебраїчне число степеня має різних спряжених чисел (включаючи саме число ).
і спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля , що переводить у .
В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
- Теорема Ліувіля: якщо є коренем многочлена степінь якого рівний , тоді існує число залежне від , що

- Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо є алгебраїчним числом, тоді для довільного існує лише скінченна кількість пар цілих чисел де для яких:

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

Нестеренко Ю.В. Лекции об алгебраических числах^{[недоступне посилання з лютого 2019]} // Конспект курсу лекцій.
M. Filaseta

Література Редагувати

Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X