Алгебричне розширення — розширення поля , кожен елемент якого є алгебричним над , тобто існує многочлен з коефіцієнтами з для якого є (коренем).
Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.
Властивості
- Всі (скінченні розширення) алгебричні.
- Для всіх трансцендентних елементів елементи є (лінійно незалежними). Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.
- Для (вежі полів) , розширення — алгебричне, (тоді й лише тоді) коли та є алгебричними.
- Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a1…an з L. Оскільки всі ці ai алгебричні над K, то розширення K(a1,…an) є (скінченним) над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a1,…an) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.
- Якщо α і β алгебричні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебричне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебричні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K* ⊆ L, — алгебричні елементи над К утворюють поле. Якщо L є (алгебраїчно замкнутим), то і K* алгебрично замкнуте. Якщо узяти за K поле (раціональних чисел) , а за L алгебрично замкнуте поле комплексних чисел , то одержимо поле (алгебраїчних чисел) A.
- Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.
Приклади
- Розширення , тобто поле дійсних чисел як розширення (раціональних чисел) є трансцендентним. Дійсно множина алгебричних чисел є зліченною, а (потужність множини) дійсних чисел — (континуум).
- Розширення є алгебричним розширенням.
Див. також
- (Степінь трансцендентності)
Література
- (Ван дер Варден Б. Л.) Алгебра. — Москва : (Наука), 1975. — 623 с. — .(рос.)
- (Зарисский О.), Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- (Ленг С.) Алгебра. — Москва : (Мир), 1968. — 564 с. — .(рос.)
- J.M. Howie, Fields and Galois Theory, London: , 2006, .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет