www.wikidata.uk-ua.nina.az

Незвідний многочлен Для довільного поля F displaystyle mathbb F многочлен p x displaystyle p x з коефіцієнтами в F displ

Незвідний многочлен

Для довільного поля , многочлен з коефіцієнтами в (такі многочлени утворюють кільце ) називається незвідним у полі , якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з , що не є константами. Дана властивість залежить від поля ; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.

Кожен многочлен у може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в . Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля .

Прості приклади Редагувати

Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:

Над кільцем цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)

Над полем раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.

Над полем дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але є незвідним.

Над полем комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен над може бути розкладений на множники виду:

де — степінь многочлена, — старший коефіцієнт, — корені . Тому єдиними незвідними многочленами над є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Дійсні і комплексні числа Редагувати

Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена в полі дійсних чисел має вигляд Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.

Скінченні поля Редагувати

Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен є незвідним над але над полем з двох елементів може бути звідним. Наприклад у , ми маємо:

Незвідність многочлена над цілими числами пов'язана з незвідністю у полі з елементів (для простого числа ). А саме, якщо многочлен над з старшим коефіцієнтом є звідним у тоді він є звідним у для будь-якого простого числа . Зворотне твердження невірне.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Dlya dovilnogo polya F displaystyle mathbb F mnogochlen p x displaystyle p x z koeficiyentami v F displaystyle mathbb F taki mnogochleni utvoryuyut kilce F x displaystyle mathbb F x nazivayetsya nezvidnim u poli F displaystyle mathbb F yaksho vin ne rivnij konstanti i ne dorivnyuye dobutku dvoh abo bilshe mnogochleniv z F x displaystyle mathbb F x sho ne ye konstantami Dana vlastivist zalezhit vid polya F displaystyle mathbb F mnogochlen sho ye nezvidnim v odnomu poli mozhe rozkladatisya na dobutok v inshomu Kozhen mnogochlen p x displaystyle p x u F x displaystyle mathbb F x mozhe buti rozkladenij v dobutok mnogochleniv sho ye nezvidnimi v F displaystyle mathbb F Cej rozklad na mnozhniki ye odnoznachno viznachenim z tochnistyu do perestanovki mnozhnikiv i mnozhennya mnogochleniv u rozkladi na konstanti z polya F displaystyle mathbb F Zmist 1 Prosti prikladi 1 1 Dijsni i kompleksni chisla 1 2 Skinchenni polya 2 Div takozh 3 Literatura 4 PosilannyaProsti prikladi RedaguvatiNastupni p yat mnogochleniv demonstruyut deyaki elementarni vlastivosti nezvidnih mnogochleniv p 1 x x 2 4 x 4 x 2 x 2 displaystyle p 1 x x 2 4x 4 x 2 x 2 nbsp p 2 x x 2 4 x 2 x 2 displaystyle p 2 x x 2 4 x 2 x 2 nbsp p 3 x x 2 4 9 x 2 3 x 2 3 displaystyle p 3 x x 2 4 9 x 2 3 x 2 3 nbsp p 4 x x 2 2 x 2 x 2 displaystyle p 4 x x 2 2 x sqrt 2 x sqrt 2 nbsp p 5 x x 2 1 x i x i displaystyle p 5 x x 2 1 x i x i nbsp Nad kilcem Z displaystyle mathbb Z nbsp cilih chisel pershi dva mnogochleni ye zvidnimi ostanni dva ye nezvidnimi Tretij zvichajno ne ye mnogochlenom nad cilimi chislami Nad polem Q displaystyle mathbb Q nbsp racionalnih chisel pershi tri mnogochleni ye zvidnimi dvoye inshih nezvidni Nad polem R displaystyle mathbb R nbsp dijsnih chisel pershi chotiri mnogochleni zvidni ale p 5 x displaystyle p 5 x nbsp ye nezvidnim Nad polem C displaystyle mathbb C nbsp kompleksnih chisel vsi p yat mnogochleniv zvidni Faktichno kozhen vidminnij vid konstanti mnogochlen p x displaystyle p x nbsp nad C displaystyle mathbb C nbsp mozhe buti rozkladenij na mnozhniki vidu p x a x z 1 x z n displaystyle p x a x z 1 cdots x z n nbsp de n displaystyle n nbsp stepin mnogochlena a displaystyle a nbsp starshij koeficiyent z 1 z n displaystyle z 1 ldots z n nbsp koreni p x displaystyle p x nbsp Tomu yedinimi nezvidnimi mnogochlenami nad C displaystyle mathbb C nbsp ye linijni mnogochleni osnovna teorema algebri Dijsni i kompleksni chisla Redaguvati Yak pokazano vishe tilki linijni mnogochleni ye nezvidnimi v poli kompleksnih chisel V poli dijsnih chisel nezvidnimi ye linijni mnogochleni i kvadratichni mnogochleni bez dijsnih koreniv Napriklad rozklad mnogochlena x 4 1 displaystyle x 4 1 nbsp v poli dijsnih chisel maye viglyad x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 displaystyle x 2 sqrt 2 x 1 x 2 sqrt 2 x 1 nbsp Obidva mnozhniki v danomu rozkladi ye nezvidnimi mnogochlenami Skinchenni polya Redaguvati Mnogochleni z cilochiselnimi koeficiyentami yaki ye nezvidnimi nad polem Q displaystyle mathbb Q nbsp mozhut buti zvidnimi nad skinchennim polem Napriklad mnogochlen x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp ye nezvidnim nad Q displaystyle mathbb Q nbsp ale nad polem F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp z dvoh elementiv mozhe buti zvidnim Napriklad u F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp mi mayemo x 2 1 x 1 2 displaystyle x 2 1 x 1 2 nbsp Nezvidnist mnogochlena nad cilimi chislami Z displaystyle mathbb Z nbsp pov yazana z nezvidnistyu u poli F p displaystyle mathbb F p nbsp z p displaystyle p nbsp elementiv dlya prostogo chisla p displaystyle p nbsp A same yaksho mnogochlen p x displaystyle p x nbsp nad Z displaystyle mathbb Z nbsp z starshim koeficiyentom 1 displaystyle 1 nbsp ye zvidnim u Z displaystyle mathbb Z nbsp todi vin ye zvidnim u F p displaystyle mathbb F p nbsp dlya bud yakogo prostogo chisla p displaystyle p nbsp Zvorotne tverdzhennya nevirne Div takozh RedaguvatiNezvidnij element Kriterij Ejzenshtejna Kriterij Kona Osnovna teorema algebriLiteratura RedaguvatiVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Posilannya RedaguvatiNezvidnij mnogochlen na sajti PlanetMath Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Nezvidnij mnogochlen amp oldid 33049291