www.wikidata.uk-ua.nina.az

Правильний трикутник Тип Правильний багатокутникВластивості Опуклий рівностороннійЕлементи 3 ребра3 вершиниПозначенняСим

Правильний трикутник

Правильний трикутник
Тип Правильний багатокутник
Властивості Опуклий, рівносторонній
Елементи 3 ребра
3 вершини
Позначення
Символ Шлефлі {3}
Діаграма Коксетера-Динкіна

або (x3o)

Група симетрії D3, порядок 6 (Діедральна група)
Двоїстий Самодвоїстий

Правильний трикутник (тригон від грец. τρεῖς - три та γωνία -кут) — трикутник, у якого всі сторони і кути рівні. Тому його також називають рівностороннім трикутником.

Також, правильний трикутник — геометрична фігура, правильний багатокутник з трьома сторонами.

Усі внутрішні кути правильного трикутника дорівнюють 60° (або 3 радіан).

Правильний трикутник має три ліній дзеркальної симетрії, що проходять через його висоти, і обертову симетрію 3-го порядку навколо центра О (на кути 60°, 120° і 360°), тобто група рухів (самосуміщень) площини для правильного трикутника складається з 6 елементів.

Формули Редагувати

Нехай сторона правильного трикутника дорівнює . Тоді:

Периметр: ;

Висота трикутника ‒ відстань від вершини до протилежної сторони: ;

Апофема ‒ відстань від центру до сторони:

Радіус вписаного кола (дотикається до всіх його сторін):

;

Радіус описаного кола ‒ проходить через всі його вершини:

Радіус зовнівписаного кола ‒ дотикається до сторони та продовження двох інших сторін:

Площа правильного трикутника:

Усі ці формули можна вивести з теореми Піфагора.

Властивості Редагувати

Паркет з рівносторонніх трикутників
  • Правильними трикутниками можна замостити площину без проміжків та накладень. Також в усіх напівправильних мозаїках[en] присутній рівносторонній трикутник .
  • Правильний трикутник є першим в нескінченній родині правильних багатокутників, та третім в нескінченному сімействі n- симплексів, при n = 2.

Теореми, пов'язані з правильним трикутником Редагувати

У будь-якому рівносторонньому трикутнику ABC сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки трикутника до його сторін дорівнює висоті трикутника.

Точки перетину суміжних трисектрис кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника.

Якщо на кожній стороні трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.

Для довільного рівностороннього трикутника та довільної точки в його площині відрізки , та є сторонами трикутника (можливо, виродженого).

  • Теореми Тебо 2 и 3
  • Для будь-якого трикутника три медіани ділять трикутник на шість менших трикутників.
    1. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли будь-які три менших трикутника мають однаковий периметр або однаковий радіус.:Теорема 1
    2. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли центри описаного кола будь-яких трьох менших трикутників знаходяться на однаковій відстані від центроїда.:Наслідок7
  • На плошині дано трикутник і довільну точку P.

, , ‒ відстані від точки P до сторін трикутника; , , ‒ відстані від точки P до вершин трикутника.

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли для кожної точки P площини виконується нерівність: :стор.178,#235.4

Геометрична побудова Редагувати

Креслення рівнобічного трикутника за допомогою циркуля та лінійки.

Рівносторонній трикутник можна накреслити за допомогою циркуля та лінійки. Для цього необхідно виконати такі дії:

  1. Провести пряму та поставити на неї циркуль гострим кінцем;
  2. Провести коло;
  3. Поставити циркуль в одну із точок перетину кола та прямої, провести ще одне коло такого ж радіусу;
  4. З'єднати прямими центри кіл та точку перетину цих кіл.

Альтернативний спосіб:

  1. Накреслити коло довільного радіусу;
  2. Поставити циркуль на це коло і накреслити ще одне коло такого ж радіусу;
  3. Ці два кола перетинаються в двох точках, кожна з точок перетину разом із центрами кіл утворюють правильні трикутники.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Yiu, Paul (1998). Notes on Euclidean Geometry. Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences (Course Notes). 
  2. Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Complex Numbers from A to...Z. Boston, MA: Birkhäuser. с. 70, 113–115. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. doi:10.1007/0-8176-4449-0. 
  3. Grünbaum Branko; Shepard Geoffrey (November 1977). Tilings by Regular Polygons. Mathematics Magazine (Taylor & Francis, Ltd.) 50 (5): 231–234. JSTOR 2689529. MR 1567647. Zbl 0385.51006. doi:10.2307/2689529. 
  4. H. S. M. Coxeter (1948). Regular Polytopes. London: Methuen & Co. LTD. с. 120–121. OCLC 4766401. Zbl 0031.06502. 
  5. ↑ Cerin, Zvonko (2004). The vertex-midpoint-centroid triangles. Forum Geometricorum 4: 97–109. 
  6. Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum". 

Джерела Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pravilnij trikutnikTip Pravilnij bagatokutnikVlastivosti Opuklij rivnostoronnijElementi 3 rebra3 vershiniPoznachennyaSimvol Shlefli 3 Diagrama Koksetera Dinkina abo x3o Grupa simetriyi D3 poryadok 6 Diedralna grupa Dvoyistij SamodvoyistijPravilnij trikutnik trigon vid grec treῖs tri ta gwnia kut trikutnik u yakogo vsi storoni i kuti rivni Tomu jogo takozh nazivayut rivnostoronnim trikutnikom Takozh pravilnij trikutnik geometrichna figura pravilnij bagatokutnik z troma storonami Usi vnutrishni kuti pravilnogo trikutnika dorivnyuyut 60 abo p displaystyle pi 3 radian Pravilnij trikutnik maye tri linij dzerkalnoyi simetriyi sho prohodyat cherez jogo visoti i obertovu simetriyu 3 go poryadku navkolo centra O na kuti 60 120 i 360 tobto grupa ruhiv samosumishen ploshini dlya pravilnogo trikutnika skladayetsya z 6 elementiv Zmist 1 Formuli 2 Vlastivosti 2 1 Teoremi pov yazani z pravilnim trikutnikom 3 Geometrichna pobudova 4 Div takozh 5 Primitki 6 Dzherela 7 PosilannyaFormuli Redaguvati nbsp Nehaj storona pravilnogo trikutnika dorivnyuye a displaystyle a nbsp Todi Perimetr P 3 a displaystyle P 3a nbsp Visota trikutnika vidstan vid vershini do protilezhnoyi storoni h 3 2 a 3 r 3 2 R displaystyle h frac sqrt 3 2 cdot a 3 cdot r frac 3 2 cdot R nbsp h r R displaystyle h r R nbsp Apofema vidstan vid centru do storoni a p r 1 3 h displaystyle a p r frac 1 3 cdot h nbsp Radius vpisanogo kola dotikayetsya do vsih jogo storin r 3 6 a 1 2 R 1 3 h displaystyle r frac sqrt 3 6 cdot a frac 1 2 cdot R frac 1 3 cdot h nbsp Radius opisanogo kola prohodit cherez vsi jogo vershini R 3 3 a 2 r 2 3 h displaystyle R frac sqrt 3 3 cdot a 2 cdot r frac 2 3 cdot h nbsp Radius zovnivpisanogo kola dotikayetsya do storoni ta prodovzhennya dvoh inshih storin r a 3 2 a 3 r 3 2 R h displaystyle r a frac sqrt 3 2 cdot a 3 cdot r frac 3 2 cdot R h nbsp Plosha pravilnogo trikutnika S 3 4 a 2 3 3 r 2 3 3 4 R 2 3 3 h 2 displaystyle S frac sqrt 3 4 cdot a 2 3 sqrt 3 cdot r 2 frac 3 sqrt 3 4 cdot R 2 frac sqrt 3 3 cdot h 2 nbsp Usi ci formuli mozhna vivesti z teoremi Pifagora Vlastivosti RedaguvatiPravilnij trikutnik maye vsi vlastivosti pritamanni pravilnomu bagatokutniku ta trikutniku Pravilnij trikutnik ye odnochasno i rivnostoronnim i rivnokutnim za viznachennyam V pravilnomu trikutniku jogo visoti spivpadayut z jogo medianami ta bisektrisami kutiv Visoti mediani ta bisektrisi peretinayutsya v odnij tochci centri pravilnogo trikutnika yaka lezhit na jogo visoti na vidstani 1 3 h vid osnovi tobto tochkoyu peretinu dilyatsya u vidnoshenni 1 2 displaystyle 1 2 nbsp vid osnovi Centri vpisanogo ta opisanogo kola spivpadayut i lezhat v centri pravilnogo trikutnika V pravilnomu trikutniku vsi chudovi tochki trikutnika znahodyatsya v jogo geometrichnomu centri Ce oznachaye sho rivnostoronnij trikutnik ye yedinim trikutnikom u yakogo nemaye liniyi Ejlera Trikutnik ye rivnostoronnim yaksho spivpadayut bud yaki dva z jogo centriv centr opisanogo kola incentr centr vpisanogo kola centroyid abo ortocentr 1 stor 37 Vin takozh ye rivnostoronnim yaksho jogo centr opisanogo kola zbigayetsya z tochkoyu Nagelya abo yaksho jogo centr vpisanogo kola zbigayetsya z centrom kola dev yati tochok 2 V pravilnomu trikutniku kolo dev yati tochok zbigayetsya z vpisanim kolom Pravilni trikutniki ye granyami dlya 8 opuklih bagatogrannikiv troh til Platona pravilnogo tetraedra oktaedra ta ikosaedra a takozh p yati til Dzhonsona Bagatogranniki vsi grani yakih pravilni trikutniki nazivayutsya deltaedrami Takozh pravilnij trikutnik ye grannyu dlya odnogo tila Keplera Puanso a same velikogo ikosaedra Pravilnij trikutnik odin iz dvoh pravilnih bagatokutnikiv sho ne maye zirchastoyi formi inshij kvadrat nbsp Parket z rivnostoronnih trikutnikivPravilnimi trikutnikami mozhna zamostiti ploshinu bez promizhkiv ta nakladen Takozh v usih napivpravilnih mozayikah en prisutnij rivnostoronnij trikutnik 3 Pravilnij trikutnik ye pershim v neskinchennij rodini pravilnih bagatokutnikiv ta tretim v neskinchennomu simejstvi n simpleksiv pri n 2 4 Teoremi pov yazani z pravilnim trikutnikom Redaguvati Teorema Viviani U bud yakomu rivnostoronnomu trikutniku ABC suma vidstanej vid bud yakoyi vnutrishnoyi tochki trikutnika do jogo storin dorivnyuye visoti trikutnika Teorema Morli Tochki peretinu sumizhnih trisektris kutiv dovilnogo trikutnika ye vershinami rivnostoronnogo trikutnika Teorema Napoleona Yaksho na kozhnij storoni trikutnika pobuduvati rivnostoronnij trikutnik abo vsi tri nazovni abo vsi tri vseredinu to yihni centri budut vershinami inshogo rivnostoronnogo trikutnika Teorema Pompeyu Dlya dovilnogo rivnostoronnogo trikutnika A B C displaystyle scriptstyle ABC nbsp ta dovilnoyi tochki P displaystyle scriptstyle P nbsp v jogo ploshini vidrizki P A displaystyle scriptstyle PA nbsp P B displaystyle scriptstyle PB nbsp ta P C displaystyle scriptstyle PC nbsp ye storonami trikutnika mozhlivo virodzhenogo Teoremi Tebo 2 i 3 Dlya bud yakogo trikutnika tri mediani dilyat trikutnik na shist menshih trikutnikiv Trikutnik ye rivnostoronnim todi i tilki todi koli bud yaki tri menshih trikutnika mayut odnakovij perimetr abo odnakovij radius 5 Teorema 1 Trikutnik ye rivnostoronnim todi i tilki todi koli centri opisanogo kola bud yakih troh menshih trikutnikiv znahodyatsya na odnakovij vidstani vid centroyida 5 Naslidok7 Na ploshini dano trikutnik i dovilnu tochku P p displaystyle p nbsp q displaystyle q nbsp r displaystyle r nbsp vidstani vid tochki P do storin trikutnika x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp vidstani vid tochki P do vershin trikutnika Trikutnik ye rivnostoronnim todi i tilki todi koli dlya kozhnoyi tochki P ploshini vikonuyetsya nerivnist 6 stor 178 235 44 p 2 q 2 r 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle 4 left p 2 q 2 r 2 right geq x 2 y 2 z 2 nbsp Geometrichna pobudova Redaguvati nbsp Kreslennya rivnobichnogo trikutnika za dopomogoyu cirkulya ta linijki nbsp Rivnostoronnij trikutnik mozhna nakresliti za dopomogoyu cirkulya ta linijki Dlya cogo neobhidno vikonati taki diyi Provesti pryamu ta postaviti na neyi cirkul gostrim kincem Provesti kolo Postaviti cirkul v odnu iz tochok peretinu kola ta pryamoyi provesti she odne kolo takogo zh radiusu Z yednati pryamimi centri kil ta tochku peretinu cih kil Alternativnij sposib Nakresliti kolo dovilnogo radiusu Postaviti cirkul na ce kolo i nakresliti she odne kolo takogo zh radiusu Ci dva kola peretinayutsya v dvoh tochkah kozhna z tochok peretinu razom iz centrami kil utvoryuyut pravilni trikutniki Div takozh RedaguvatiZadacha pro golku Pravilnij mnogokutnik Trikutnik Trikutni chisla Trikutnij parketPrimitki Redaguvati Yiu Paul 1998 Notes on Euclidean Geometry Florida Atlantic University Department of Mathematical Sciences Course Notes Andreescu Titu Andrica Dorian 2006 Complex Numbers from A to Z Boston MA Birkhauser s 70 113 115 ISBN 978 0 8176 4449 9 OCLC 871539199 doi 10 1007 0 8176 4449 0 Grunbaum Branko Shepard Geoffrey November 1977 Tilings by Regular Polygons Mathematics Magazine Taylor amp Francis Ltd 50 5 231 234 JSTOR 2689529 MR 1567647 Zbl 0385 51006 doi 10 2307 2689529 H S M Coxeter 1948 Regular Polytopes London Methuen amp Co LTD s 120 121 OCLC 4766401 Zbl 0031 06502 a b Cerin Zvonko 2004 The vertex midpoint centroid triangles Forum Geometricorum 4 97 109 Inequalities proposed in Crux Mathematicorum Dzherela RedaguvatiBevz G P Geometriya trikutnika K Geneza 2005 120 s il ISBN 966 504491 1 Rivnostoronnij trikutnik oznachennya vlastivosti prikladiPosilannya RedaguvatiPolitope Wiki Triangle Weisstein Eric W Triangle MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pravilnij trikutnik amp oldid 40352263