www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Морлі про трисектриси трикутника одна з найдивовижніших теорем геометрії трикутника Трикутник МорлеяТеорема стве

Теорема Морлі

Теорема Морлі про трисектриси трикутника — одна з найдивовижніших теорем геометрії трикутника.

Трикутник Морлея

Теорема стверджує:

Точки перетину суміжних трисектрис внутрішніх кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника.

На кресленні праворуч три різнокольорових кута при кожній вершині великого трикутника рівні між собою. Теорема стверджує, що незалежно від вибору великого трикутника, маленький фіолетовий трикутник буде рівностороннім.

Теорема Морлі не виконується в сферичній і гіперболічній геометрії.

Терема Морлі для трисектрис зовнішніх кутів трикутника Редагувати

Теорема Морлі для трисектрис зовнішніх кутів трикутника

Теорема також справедлива для зовнішніх кутів трикутника: :стор.155

Точки перетину суміжних трисектрис зовнішніх кутів довільного трикутника є вершинами рівносторонніх трикутників.

Крім того продовження трисектрис внутрішніх кутів також перетинаються з суміжними трисектрисами зовнішніх кутів у вершинах цих трикутників.

Історія Редагувати

Теорема була відкрита в 1904 Франком Морлі (Frank Morley). Тоді він розповів про неї друзям з Кембриджського університету , а опублікував її в 1924 році, коли він був у Японії. . За цей час вона була незалежно опублікована як задача в часописі «Educational Times».


Доведення Редагувати

Доведення теореми Морлі

Існує багато способів доведення теореми Морлі, деякі з яких дуже технічні.

Кілька ранніх доказів ґрунтувалися на тригонометричних розрахунках. До останніх доказів теореми належать алгебраїчний доказ Алена Конна (1998, 2004), який поширює теорему на загальні поля, окрім тих що мають характеристику три, і елементарний геометричний доказ Джона Конвея . Останній починається з рівностороннього трикутника і показує, що навколо нього можна побудувати трикутник, подібний до будь-якого обраного трикутника.

Трикутники Морлі Редагувати

Теорема Морлі містить 18 спеціальних трикутників (рівносторонніх і різносторонніх), які виникають при перетині трисектрис трикутника.

Правильний трикутник, описаний вище в теоремі про трисектриси внутрішніх кутів, називається першим трикутником Морлі, і має довжину сторони:

та площу:

де R - радіус описаного кола початкового трикутника, а A, B та C - його внутрішні кути.

З першим трикутником Морлі також пов'язані дві чудові точки трикутника - перша та друга точки Морлі[en], які в Енциклопедії центрів трикутника ETC Кларка Кімберлінга мають номери X(356) та X(357).

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Morley's Theorem in Spherical Geometry.
  2. A. Wells, D., 1991, с. 155.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. Morley's Theorem. MathWorld (англ.). 
  4. Alfred S. Posamentier (2003). Math Wonders to Inspire Teachers and Students. (англ.). Alexandria, Virginia USA: Association for Supervision and Curriculum Development. с. 146. ISBN 0-87120-775-3. 
  5. Alexander Bogomolny. Morley's Miracle. — Cut-the-knot.
  6. Alexander Bogomolny. J. Conway's proof. — Cut-the-knot.
  7. Conway John. The Power of Mathematics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 36–50. — ISBN 978-0-521-82377-7.
  8. ↑ Weisstein, Eric W. First Morley Triangle. MathWorld (англ). 
  9. Weisstein, Eric W. Second Morley Triangle. MathWorld (англ). 
  10. Weisstein, Eric W. Third Morley Triangle. MathWorld (англ.). 
  11. Clark Kimberling. ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS. faculty.evansville.edu (англ.). 
  12. Kimberling, Clark. 1st and 2nd Morley centers. 

Джерела Редагувати

  1. H. S. M. Coxeter, Samuel L.Greitzer. ""Morley's Theorem." §2.9 in Geometry Revisited.. — Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1967. — Т. 19. — С. 193: 47-50 (англ.).
  2. Wells, D. "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry". — London: Penguin, 1991. — С. 154-155. — ISBN 0-14-011813-6.
  3. Child, J. M. "Proof of Morley's Theorem.". — Math. Gaz., 1923. — № 11. — С. 171 (англ.).
  4. Taylor, F. G. and Marr, W. L. "The six trisectors of each of the angles of a triangle" // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1913–14. — № 33. — С. 119–131 (англ). — DOI:10.1017/S0013091500035100.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema Morli pro trisektrisi trikutnika odna z najdivovizhnishih teorem geometriyi trikutnika Trikutnik MorleyaTeorema stverdzhuye Tochki peretinu sumizhnih trisektris vnutrishnih kutiv dovilnogo trikutnika ye vershinami rivnostoronnogo trikutnika Na kreslenni pravoruch tri riznokolorovih kuta pri kozhnij vershini velikogo trikutnika rivni mizh soboyu Teorema stverdzhuye sho nezalezhno vid viboru velikogo trikutnika malenkij fioletovij trikutnik bude rivnostoronnim Teorema Morli ne vikonuyetsya v sferichnij 1 i giperbolichnij geometriyi Zmist 1 Terema Morli dlya trisektris zovnishnih kutiv trikutnika 2 Istoriya 3 Dovedennya 4 Trikutniki Morli 5 Div takozh 6 Primitki 7 Dzherela 8 PosilannyaTerema Morli dlya trisektris zovnishnih kutiv trikutnika Redaguvati nbsp Teorema Morli dlya trisektris zovnishnih kutiv trikutnikaTeorema takozh spravedliva dlya zovnishnih kutiv trikutnika 2 stor 155 3 Tochki peretinu sumizhnih trisektris zovnishnih kutiv dovilnogo trikutnika ye vershinami rivnostoronnih trikutnikiv Krim togo prodovzhennya trisektris vnutrishnih kutiv takozh peretinayutsya z sumizhnimi trisektrisami zovnishnih kutiv u vershinah cih trikutnikiv Istoriya RedaguvatiTeorema bula vidkrita v 1904 Frankom Morli Frank Morley Todi vin rozpoviv pro neyi druzyam z Kembridzhskogo universitetu a opublikuvav yiyi v 1924 roci koli vin buv u Yaponiyi 4 Za cej chas vona bula nezalezhno opublikovana yak zadacha v chasopisi Educational Times Dovedennya Redaguvati nbsp Dovedennya teoremi MorliIsnuye bagato sposobiv dovedennya teoremi Morli deyaki z yakih duzhe tehnichni 5 Kilka rannih dokaziv gruntuvalisya na trigonometrichnih rozrahunkah Do ostannih dokaziv teoremi nalezhat algebrayichnij dokaz Alena Konna 1998 2004 yakij poshiryuye teoremu na zagalni polya okrim tih sho mayut harakteristiku tri i elementarnij geometrichnij dokaz Dzhona Konveya 6 7 Ostannij pochinayetsya z rivnostoronnogo trikutnika i pokazuye sho navkolo nogo mozhna pobuduvati trikutnik podibnij do bud yakogo obranogo trikutnika dd Dovedennya Dlya dovedennya vikoristayemo trigonometrichnu totozhnist sin 3 f 4 sin f sin 60 f sin 120 f displaystyle sin 3 varphi 4 sin varphi cdot sin 60 circ varphi cdot sin 120 circ varphi nbsp 1 dd Tochki D E F displaystyle D E F nbsp pobudovani na storoni B C displaystyle BC nbsp yak pokazano na malyunku Suma vnutrishnih kutiv trikutnika 180o a znachit 3 a 3 b 3 g 180 displaystyle 3 alpha 3 beta 3 gamma 180 circ nbsp Otzhe a b g 60 displaystyle alpha beta gamma 60 circ nbsp Kuti trikutnika X E F displaystyle XEF nbsp dorivnyuyut a 60 b displaystyle alpha 60 circ beta nbsp ta 60 g displaystyle 60 circ gamma nbsp Z pryamokutnih trikutnikiv mayemo sin 60 b D X X E displaystyle sin 60 circ beta frac DX XE nbsp 2 dd a takozh sin 60 g D X X F displaystyle sin 60 circ gamma frac DX XF nbsp 3 dd Dali A Y C 180 a g 120 b displaystyle angle AYC 180 circ alpha gamma 120 circ beta nbsp dd analogichno i A Z B 120 g displaystyle angle AZB 120 circ gamma nbsp 4 dd Zastosovuyemo teoremu sinusiv dlya trikutnikiv A Y C displaystyle AYC nbsp ta A Z B displaystyle AZB nbsp sin 120 b A C A Y sin g displaystyle sin 120 circ beta frac AC AY sin gamma nbsp 5 dd sin 120 g A B A Z sin b displaystyle sin 120 circ gamma frac AB AZ sin beta nbsp 6 dd Visotu trikutnika A B C displaystyle ABC nbsp znahodimo dvoma sposobami h A B sin 3 b A B 4 sin b sin 60 b sin 120 b displaystyle h AB cdot sin 3 beta AB cdot 4 sin beta sin 60 circ beta sin 120 circ beta nbsp tah A C sin 3 g A C 4 sin g sin 60 g sin 120 g displaystyle h AC cdot sin 3 gamma AC cdot 4 sin gamma sin 60 circ gamma sin 120 circ gamma nbsp Pidstavlyayemo zamist sinusiv yih znachennya z rivnyan 2 ta 5 a takozh 3 ta 6 Otrimuyemo h 4 A B sin b D X X E A C A Y sin g displaystyle h 4AB cdot sin beta cdot frac DX XE cdot frac AC AY cdot sin gamma nbsp tah 4 A C sin g D X X F A B A Z sin b displaystyle h 4AC cdot sin gamma cdot frac DX XF cdot frac AB AZ cdot sin beta nbsp Oskilki chiselniki v oboh virazah rivni to X E A Y X F A Z displaystyle XE cdot AY XF cdot AZ nbsp abo X E X F A Z A Y displaystyle frac XE XF frac AZ AY nbsp Oskilki E X F Z A Y displaystyle measuredangle EXF measuredangle ZAY nbsp a storoni sho utvoryuyut ci kuti znahodyatsya v odnakovomu spivvidnoshenni to trikutniki X E F displaystyle XEF nbsp ta A Z Y displaystyle AZY nbsp podibni Vidpovidni kuti A Y Z displaystyle measuredangle AYZ nbsp ta X F E displaystyle measuredangle XFE nbsp rivnil 60 g displaystyle 60 circ gamma nbsp a kuti A Z Y displaystyle measuredangle AZY nbsp ta X E F displaystyle measuredangle XEF nbsp rivni 60 b displaystyle 60 circ beta nbsp Rivni takozh i vidpovidni kuti pri osnovi trikutnikiv B X Z displaystyle BXZ nbsp ta C Y X displaystyle CYX nbsp Zokrema B Z X 60 a displaystyle measuredangle BZX 60 circ alpha nbsp i z malyunka mozhemo bachiti sho A Z Y A Z B B Z X X Z Y 360 displaystyle angle AZY angle AZB angle BZX angle XZY 360 circ nbsp Pidstavlyayemo yih znachennya kut A Z B displaystyle AZB nbsp beremo z rivnyannya 4 60 b 120 g 60 a X Z Y 360 displaystyle 60 circ beta 120 circ gamma 60 circ alpha angle XZY 360 circ nbsp Zvidki otrimuyemo X Z Y 60 displaystyle angle XZY 60 circ nbsp Analogichno znahodimo sho i inshu kuti trikutnika X Y Z displaystyle XYZ nbsp rivni 60 displaystyle 60 circ nbsp Teoremu dovedeno Trikutniki Morli RedaguvatiTeorema Morli mistit 18 specialnih trikutnikiv rivnostoronnih i riznostoronnih yaki vinikayut pri peretini trisektris trikutnika 3 8 9 10 Pravilnij trikutnik opisanij vishe v teoremi pro trisektrisi vnutrishnih kutiv nazivayetsya pershim trikutnikom Morli 8 i maye dovzhinu storoni a 8 R sin A 3 sin B 3 sin C 3 displaystyle a prime 8R sin A 3 sin B 3 sin C 3 nbsp ta ploshu S 3 4 a 2 16 3 R 2 sin 2 A 3 sin 2 B 3 sin 2 C 3 displaystyle S tfrac sqrt 3 4 a 2 16 sqrt 3 R 2 sin 2 A 3 sin 2 B 3 sin 2 C 3 nbsp de R radius opisanogo kola pochatkovogo trikutnika a A B ta C jogo vnutrishni kuti Z pershim trikutnikom Morli takozh pov yazani dvi chudovi tochki trikutnika persha ta druga tochki Morli en yaki v Enciklopediyi centriv trikutnika ETC Klarka Kimberlinga mayut nomeri X 356 ta X 357 11 12 Div takozh RedaguvatiTrisekciya kuta zadacha pro pobudovu trisektris kuta za dopomogoyu cirkulya ta linijki TrisektrisaPrimitki Redaguvati Morley s Theorem in Spherical Geometry A Wells D 1991 s 155 a b Weisstein Eric W Morley s Theorem MathWorld angl Alfred S Posamentier 2003 Math Wonders to Inspire Teachers and Students angl Alexandria Virginia USA Association for Supervision and Curriculum Development s 146 ISBN 0 87120 775 3 Alexander Bogomolny Morley s Miracle Cut the knot Alexander Bogomolny J Conway s proof Cut the knot Conway John The Power of Mathematics Cambridge University Press 2006 S 36 50 ISBN 978 0 521 82377 7 a b Weisstein Eric W First Morley Triangle MathWorld angl Weisstein Eric W Second Morley Triangle MathWorld angl Weisstein Eric W Third Morley Triangle MathWorld angl Clark Kimberling ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS faculty evansville edu angl Kimberling Clark 1st and 2nd Morley centers Dzherela RedaguvatiH S M Coxeter Samuel L Greitzer Morley s Theorem 2 9 in Geometry Revisited Washington DC Math Assoc Amer 1967 T 19 S 193 47 50 angl Wells D The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry London Penguin 1991 S 154 155 ISBN 0 14 011813 6 Child J M Proof of Morley s Theorem Math Gaz 1923 11 S 171 angl Taylor F G and Marr W L The six trisectors of each of the angles of a triangle Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 1913 14 33 S 119 131 angl DOI 10 1017 S0013091500035100 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Morley s Theorem angl na sajti Wolfram MathWorld Morley s Trisection Theorem na MathPages Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Morli amp oldid 39967080