Чудові точки трикутника — точки, розташування яких однозначно визначається трикутником і не залежить від того, в якому порядку беруться сторони і вершини трикутника.
Зазвичай вони розташовані всередині трикутника, але це не обов'язково. Зокрема, точка перетину висот може лежати поза трикутником.
Енциклопедія чудових точок трикутника (англ. The Encyclopedia of Triangle Centers; ETC) містить понад 32 тис. (станом на 2019) «центрів трикутника» — точок, пов'язаних з геометрією трикутника.
Деякі приклади чудових точок трикутника Редагувати
Точки перетину:
- медіан — центроїд, центр ваги (мас);
- бісектрис — інцентр або центр вписаного кола;
- висот — ортоцентр;
- серединних перпендикулярів — центр описаного кола;
Якщо хоча б дві з цих чотирьох чудових точок трикутника збігаються, то трикутник є правильним.
Точки перетину:
- бісектрис зовнішніх кутів — центр зовнівписаного кола;
- антибісектрис — центр антибісектрис;
- симедіан — точка Лемуана;
- бісектрис серединного трикутника (його інцентра) — центр Шпікера;
- кліверів трикутника — також центр Шпікера;
- трьох (або навіть двох) кіл, побудованих, як на діаметрі, на відрізку, що з'єднує основи внутрішньої і зовнішньої бісектриси, випущених з одного кута, — дві точки Аполлонія;
Точки перетину відрізків, що з'єднують вершини трикутника:
- з точками дотику протилежних сторін і вписаного кола — точка Жергонна;
- з точками дотику протилежних сторін і зовнівписаних кіл — точка Наґеля;
- з відповідними вільними вершинами рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах трикутника (назовні) — перша точка Торрічеллі;
- з відповідними вільними вершинами правильних трикутників, побудованих всередину трикутника — друга точка Торрічеллі;
- з відповідними вільними вершинами трикутників, подібних до початкового трикутника і побудованих на його сторонах — точки Брокара.
Мінімаксні точки трикутника Редагувати
Мінімаксними (екстремальними) точками трикутника називаються точки, в яких досягається мінімум деякої функції, наприклад, суми степенів відстаней до сторін або вершин трикутника.
Мінімаксними точками трикутника є:
- точка перетину трьох медіан, що має найменшу суму квадратів відстаней до вершин трикутника (теорема Ляйбніца);
- точка перетину трьох медіан трикутника, єдина точка трикутника така, що проведені через неї три чевіани ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. При цьому добуток довжин трьох з цих шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний;
- перша точка Торрічеллі, що має найменшу суму відстаней до вершин трикутника з кутами не більше 120 градусів;
- точка Лемуана, що має найменшу суму квадратів відстаней до сторін трикутника;
- основи висот гострокутного трикутника утворюють ортотрикутник, який має найменший периметр з усіх трикутників, вписаних у даний трикутник.
Ізо-точки трикутника Редагувати
Ізо-точками є точки трикутника, що дають будь-які рівні параметри трьох трикутників, які утворюються при з'єднанні ізо-точки відрізками з трьома вершинами трикутника. В результаті утворюється фігура типу «око дракона» (див. рис.)
Ізо-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «око дракона»:
- ортоцентр (дає три трикутники з трьома рівними радіусами трьох описаних навколо них кіл),
- точка перетину медіан (дає три трикутники з трьома рівними площами)
- інцентр (дає три трикутники з трьома рівними висотами)
- центр описаного кола (дає три рівнобедрених трикутники з трьома рівними парами сторін),
- точка рівних периметрів або ізопериметрична точка (дає три трикутники з трьома рівними периметрами),
- точка Торрічеллі (перша) (дає три трикутники з трьома рівними тупими кутами в ).
- Точка розбиття трикутника на три трикутники з трьома однаковими радіусами вписаних кіл
- Центр Шпікера трикутника є радикальним центром трьох його зовнівписаних кіл (має три пари рівних дотичних відразу до трьох зовнівписаних кіл).
Ізо-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Трилистник (вузол)»:
- Центр Шпікера є точкою перетинів прямих , і , де , і подібні, рівнобедрені та однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника зовні, що мають один і той самий кут біля основи .
- Перша точка Наполеона , як і центр Шпікера, є точкою перетинів прямих , і , де , і подібні, рівнобедрені та однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника зовні, що мають один і той самий кут біля основи
- Тут треба було б перерахувати всі точки, що лежать на гіперболі Кіперта.
Із-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Квітка традесканції» наступні:
- точка перетину медіан утворює трьома малими відрізками чевіан три чотирикутники з рівними площами;
- точка перетину бісектрис утворює трьома перпендикулярами до трьох сторін трикутника три чотирикутники — дельтоїди з двома однаковими у всіх суміжними сторонами. Інша пара рівних суміжних сторін у загальному випадку у всіх різна. У всіх трьох дельтоїдів є пара рівних протилежних кутів . Вони — вписано-описані чотирикутники.
- Три кола, проведені всередині трикутника через точку Мікеля, перетинають сторони трикутника в трьох точках. Три хорди, проведені через точку Мікеля, і три точки перетину трьох кіл з трьома різними сторонами трикутника, утворюють рівні кути зі сторонами.
Примітки Редагувати
- Стариков В. Н. Исследования по геометрии. // Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург : сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). — СПб., 2016. — С. 97.
- Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 12, задача.
- Стариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки : сборник научных трудов. — Чебоксары : ЦДИП «INet», 2014. — 20 октября. — С. 37, левая колонка, последний абзац.
- (англ.). Архів оригіналу за 10 травня 2012. Процитовано 3 січня 2022.
- ↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
Література Редагувати
- Бевз Г. П. Геометрія трикутника. Навчально-методичний посібник для загальноосвітніх навчальних закладів. — К.:Генеза, 2005. — 120 с.: іл.
- Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962.
- Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика/Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл.
- Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М. : МЦНМО, 2002. з джерела 27 грудня 2021
- Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (20 жовтня). з джерела 14 листопада 2021. Процитовано 3 січня 2022.
Посилання Редагувати
- Енциклопедія центрів трикутника [ 19 квітня 2012 у Wayback Machine.](англ.)
- Енциклопедія центрів трикутника
В іншому мовному розділі є повніша стаття Замечательные точки треугольника(рос.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з російської.
|