www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дельтоїд В евклідовій геометрії дельтоїд плоский чотирикутник у якому дві пари суміжних сторін мають рівні довжини Опукл

Дельтоїд

В евклідовій геометрії дельтоїд — плоский чотирикутник, у якому дві пари суміжних сторін мають рівні довжини.

Дельтоїд
Опуклий та неопуклий дельтоїди
Вид Чотирикутник
Ребра і вершини 4
Група симетрії[en] D1[en] (*), порядок 2.
(Симетрія відбиття)
Дуальний багатокутник[en] Рівнобічна трапеція
Властивості Тангенціальний (Описується навколо кола), ортодіагональний.

Дельтоїд є чотирикутником з симетрією відбиття відносно однієї з його діагоналей. Оскільки дельтоїд має щонайменше одну вісь симетрії, що проходить через його діагональ, то він має щонайменше два рівних протилежних кути і дві пари рівних суміжних сторін.

Дельтоїд може бути опуклим, а також неопуклим чотирикутником. Неопуклий дельтоїд також має назву дарт (дротик).

Дельтоїди двох типів (опуклий і неопуклий) формують одну з плиток мозаїки Пенроуза.

Також дельтоїди є гранями кількох гранетранзитивних багатогранників, зокрема: дельтоїдального ікосотетраедра (його грані дельтоїди з трома рівними внутрішніми кутами), дельтоїдального гексеконтаедра та трапецоедрів.

Окремі випадки Редагувати

Окремими випадками дельтоїдів є:

  • ромб — опуклий дельтоїд, у якого всі сторони рівні, протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні; ромб також є окремим випадком паралелограма;
  • квадрат — опуклий дельтоїд, у якого всі сторони рівні, всі кути рівні і прямі; квадрат є окремим випадком ромба.
Рівнодіагональний дельтоїд, що вписується в трикутник Рело

Коли рівнодіагональний дельтоїд має довжину сторін, меншу або рівну його діагоналям (наприклад, як цей дельтоїд або квадрат), то він є одним із чотирикутників із найбільшим співвідношенням площі до діаметра.

Властивості Редагувати

Властивості дельтоїда
  • Дельтоїд, який не є ромбом, має одну вісь симетрії.
  • Кути між сторонами різної довжини рівні.
  • Прямі, що містять діагоналі дельтоїда перпендикулярні, тобто дельтоїди є ортодіагональними чотирикутниками.
  • Точка перетину діагоналей дельтоїда ділить одну з них навпіл. Друга діагональ (та, що є віссю симетрії) є бісектрисою протилежних кутів. У ромба обидві діагоналі точкою перетину діляться навпіл і є бісектрисами протилежних кутів.
  • Одна діагональ ділить дельтоїд на два рівні трикутники. Друга діагональ ділить дельтоїд на два рівнобедрених трикутники, якщо він опуклий, і добудовує його рівнобедреним трикутником до рівнобедреного трикутника, якщо він неопуклий.
Бімедіани дельтоїда (GE і HF) та хорди вписаного кола, що сполучають точки дотику (MQ і NR)
  • Паралелограм Вариньона дельтоїда, вершини якого збігаються із серединами сторін дельтоїда (EFGH на мал.), є прямокутником, сторони якого паралельні діагоналям дельтоїда. Зокрема, якщо цей прямокутник є квадратом, то діагоналі дельтоїда рівні, а відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін перпендикулярні між собою.
  • Точка перетину бімедіан дельтоїда (відрізки, що сполучають середини протилежних сторін) лежить на його діагоналі.
  • Чотирикутник, вершинами якого є точки дотику вписаного кола зі сторонами дельтоїда (MNQR на мал.), є рівнобедреною трапецією.
  • Хорди вписаного кола, що сполучають його точки дотику зі сторонами дельтоїда, перетинаються в точці перетину діагоналей дельтоїда. Також вони мають однакову довжину.
Дельтоїд є описаним та зовні-описаним чотирикутником
  • У будь-який опуклий дельтоїд можна вписати коло; крім цього, якщо дельтоїд не є ромбом, то існує коло, яке дотикається до продовжень всіх чотирьох сторін. Тобто будь-який опуклий дельтоїд (окрім ромба) є одночасно описаним та зовні-описаним чотирикутником. Центри вписаного та зовні-вписаного кіл лежать на прямій, що містить діагональ дельтоїда.

Для неопуклого дельтоїда можна побудувати коло, що дотикається до двох більших сторін і продовжень двох менших сторін і коло, що дотикається до двох менших сторін і продовжень двох більших сторін.

Прямокутний дельтоїд є біцентричним чотирикутником.

Формули Редагувати

Для дельтоїда справедливі наступні формули:

Формули для дельтоїда
Довжини сторін
Периметр
Площа

де r — радіус вписаного кола.
Довжини діагоналей
(за теоремою косинусів)
,
де
Радіус вписаного кола
Радіус зовні-вписаного кола
Внутрішні кути

(див. теорему косинусів)

Двоїстість Редагувати

Дельтоїд та двоїста до нього рівнобічна трапеція.

Дельтоїди та рівнобедрені трапеції є двоїстими один до одного чотирикутниками, що означає, що між ними існує відповідність, яка змінює елементи їх частин на протилежні, перетворюючи вершини на сторони, а сторони — на вершини.

У будь-якого дельтоїда вписане в нього коло дотикається до чотирьох його сторін у точках, що є вершинами рівнобедреної трапеції.

Для будь-якої рівнобедреної трапеції дотичні лінії до описаного кола в чотирьох вершинах утворюють чотири сторони дельтоїда. Цю відповідність також можна розглядати як приклад полярного перетворення, загального методу для відповідності точок лініям і навпаки, якщо задано фіксоване коло. Чотири вершини дельтоїда в цьому сенсі взаємні чотирьом сторонам рівнобедреної трапеції.

Характеристики дельтоїдів і рівнобедрених трапецій, які відповідають одна одній за цієї двоїстості, порівнюються в таблиці нижче.

Рівнобічна трапеція Дельтоїд
Дві пари рівних сусідніх кутів Дві пари рівних сусідніх сторін
Дві рівні протилежні сторони Два рівних протилежних кута
Дві протилежні сторони мають спільний перпендикуляр, що проходить через їх середини Два протилежні кути мають спільну бісектрису
Вісь симетрії проходить через протилежні сторони Вісь симетрії проходить через протилежні кути
Має описане коло Має вписане коло

Паркети з дельтоїдами Редагувати

Рекурсивна конструкція мозаїки Пенроуза з опуклого та неопуклого дельтоїдів
Фрактальна розетка дельтоїдів Пенроуза

Опуклий дельтоїд з кутами 72°, 72°, 72°, 144° та неопуклий дельтоїд з кутами 36°, 72°, 36°, 216° формують одну з плиток мозаїки Пенроуза, аперіодичної плоскої мозаїки, відкритої фізиком-математиком Роджером Пенроузом.

Коли дельтоїд має кути, які при його вершинах на одній стороні сумарно дорівнюють для деякого натурального числа 𝑛 , тоді масштабованими копіями цього дельтоїда можна замостити площину фрактальною розеткою, у якій центральна точка послідовно оточується все більшими кільцями з 𝑛 дельтоїдів. Ці розетки можна використовувати для вивчення явища непружного колапсу, коли система рухомих частинок, що стикаються при непружних зіткненнях, об’єднується в одній точці.

V4.3.4.6
Виявлений у 2023 році аперіодичний монопаркет, що розв’язує задачу однієї плитки, складається з 8 дельтоїдів із дельтоїдальної тригексагональної плитки.

Дельтоїд з кутами 60°, 90°, 120°, 90° також може утворити паркет, яким можна замостити площину; при відзеркаленні дельтоїда відносно його ребер утворюється дельтоїдальна тригексагональна плитка, що замощує площину правильними шестикутниками та рівносторонніми трикутниками.



Примітки Редагувати

  1. Charter, Kevin; Rogers, Thomas (1993). The dynamics of quadrilateral folding. Experimental Mathematics 2 (3): 209–222. MR 1273409. doi:10.1080/10586458.1993.10504278. 
  2. Grünbaum, B. (1960). On polyhedra in having all faces congruent. Bulletin of the Research Council of Israel 8F: 215–218 (1960). MR 125489. 
  3. Ball, D. G. (1973). A generalisation of . The Mathematical Gazette 57 (402): 298–303. JSTOR 3616052. doi:10.2307/3616052. 
  4. Griffiths, David; Culpin, David (1975). Pi-optimal polygons. The Mathematical Gazette 59 (409): 165–175. JSTOR 3617699. doi:10.2307/3617699. 
  5. Audet, Charles; Hansen, Pierre; Svrtan, Dragutin (2021). Using symbolic calculations to determine largest small polygons. Journal of Global Optimization 81 (1): 261–268. MR 4299185. doi:10.1007/s10898-020-00908-w. 
  6. Beamer, James E. (May 1975). The tale of a kite. The Arithmetic Teacher 22 (5): 382–386. JSTOR 41188788. doi:10.5951/at.22.5.0382. 
  7. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020). Section 3.4: Kites. A Cornucopia of Quadrilaterals. The Dolciani Mathematical Expositions 55. Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society. с. 73–78. ISBN 978-1-4704-5312-1. MR 4286138. ; see also antiparallelograms, p. 212
  8. Robertson, S. A. (1977). Classifying triangles and quadrilaterals. The Mathematical Gazette 61 (415): 38–49. JSTOR 3617441. doi:10.2307/3617441. 
  9. De Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. Dynamic Mathematics Learning. с. 16, 55. ISBN 978-0-557-10295-2. 
  10. Gardner, Martin (January 1977). Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles. Mathematical Games. Scientific American 236 (1): 110–121. Bibcode:1977SciAm.236a.110G. JSTOR 24953856. doi:10.1038/scientificamerican0177-110. 
  11. Fathauer, Robert (2018). Art and recreational math based on kite-tiling rosettes. У Torrence, Eve; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo та ін. Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture. Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing. с. 15–22. ISBN 978-1-938664-27-4. 
  12. Chazelle, Bernard; Karntikoon, Kritkorn; Zheng, Yufei (2022). A geometric approach to inelastic collapse. Journal of Computational Geometry 13 (1): 197–203. MR 4414332. doi:10.20382/jocg.v13i1a7. 
  13. Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (19 березня 2023). An aperiodic monotile. arXiv:2303.10798 [cs, math]. Процитовано 27 березня 2023. 

Література Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V evklidovij geometriyi deltoyid ploskij chotirikutnik u yakomu dvi pari sumizhnih storin mayut rivni dovzhini DeltoyidOpuklij ta neopuklij deltoyidiVid ChotirikutnikRebra i vershini 4Grupa simetriyi en D1 en poryadok 2 Simetriya vidbittya Dualnij bagatokutnik en Rivnobichna trapeciyaVlastivosti Tangencialnij Opisuyetsya navkolo kola ortodiagonalnij Deltoyid ye chotirikutnikom z simetriyeyu vidbittya vidnosno odniyeyi z jogo diagonalej Oskilki deltoyid maye shonajmenshe odnu vis simetriyi sho prohodit cherez jogo diagonal to vin maye shonajmenshe dva rivnih protilezhnih kuti i dvi pari rivnih sumizhnih storin Deltoyid mozhe buti opuklim a takozh neopuklim chotirikutnikom Neopuklij deltoyid takozh maye nazvu dart drotik 1 Deltoyidi dvoh tipiv opuklij i neopuklij formuyut odnu z plitok mozayiki Penrouza Takozh deltoyidi ye granyami kilkoh granetranzitivnih bagatogrannikiv zokrema deltoyidalnogo ikosotetraedra jogo grani deltoyidi z troma rivnimi vnutrishnimi kutami deltoyidalnogo geksekontaedra ta trapecoedriv 2 Zmist 1 Okremi vipadki 2 Vlastivosti 3 Formuli 4 Dvoyistist 5 Parketi z deltoyidami 6 Primitki 7 Literatura 8 PosilannyaOkremi vipadki RedaguvatiOkremimi vipadkami deltoyidiv ye pryamokutnij deltoyid opuklij deltoyid u yakogo dva protilezhni rivni kuti pryami romb opuklij deltoyid u yakogo vsi storoni rivni protilezhni kuti rivni protilezhni storoni paralelni romb takozh ye okremim vipadkom paralelograma kvadrat opuklij deltoyid u yakogo vsi storoni rivni vsi kuti rivni i pryami kvadrat ye okremim vipadkom romba nbsp Rivnodiagonalnij deltoyid sho vpisuyetsya v trikutnik ReloSered usih chotirikutnikiv chotirikutnik sho maye maksimalne vidnoshennya perimetra do diametra maksimalna vidstan mizh dvoma tochkami danoyi figuri ce rivnodiagonalnij deltoyid z kutami 60 75 150 75 Jogo chotiri vershini lezhat u troh kutah i seredini odniyeyi iz storin trikutnika Relo 3 4 Koli rivnodiagonalnij deltoyid maye dovzhinu storin menshu abo rivnu jogo diagonalyam napriklad yak cej deltoyid abo kvadrat to vin ye odnim iz chotirikutnikiv iz najbilshim spivvidnoshennyam ploshi do diametra 5 Vlastivosti Redaguvati nbsp Vlastivosti deltoyidaDeltoyid yakij ne ye rombom maye odnu vis simetriyi Kuti mizh storonami riznoyi dovzhini rivni Pryami sho mistyat diagonali deltoyida perpendikulyarni tobto deltoyidi ye ortodiagonalnimi chotirikutnikami Tochka peretinu diagonalej deltoyida dilit odnu z nih navpil Druga diagonal ta sho ye vissyu simetriyi ye bisektrisoyu protilezhnih kutiv U romba obidvi diagonali tochkoyu peretinu dilyatsya navpil i ye bisektrisami protilezhnih kutiv Odna diagonal dilit deltoyid na dva rivni trikutniki Druga diagonal dilit deltoyid na dva rivnobedrenih trikutniki yaksho vin opuklij i dobudovuye jogo rivnobedrenim trikutnikom do rivnobedrenogo trikutnika yaksho vin neopuklij nbsp Bimediani deltoyida GE i HF ta hordi vpisanogo kola sho spoluchayut tochki dotiku MQ i NR Paralelogram Varinona deltoyida vershini yakogo zbigayutsya iz seredinami storin deltoyida EFGH na mal ye pryamokutnikom storoni yakogo paralelni diagonalyam deltoyida Zokrema yaksho cej pryamokutnik ye kvadratom to diagonali deltoyida rivni a vidrizki sho z yednuyut seredini protilezhnih storin perpendikulyarni mizh soboyu Tochka peretinu bimedian deltoyida vidrizki sho spoluchayut seredini protilezhnih storin lezhit na jogo diagonali Chotirikutnik vershinami yakogo ye tochki dotiku vpisanogo kola zi storonami deltoyida MNQR na mal ye rivnobedrenoyu trapeciyeyu Hordi vpisanogo kola sho spoluchayut jogo tochki dotiku zi storonami deltoyida peretinayutsya v tochci peretinu diagonalej deltoyida Takozh voni mayut odnakovu dovzhinu nbsp Deltoyid ye opisanim ta zovni opisanim chotirikutnikomU bud yakij opuklij deltoyid mozhna vpisati kolo krim cogo yaksho deltoyid ne ye rombom to isnuye kolo yake dotikayetsya do prodovzhen vsih chotiroh storin Tobto bud yakij opuklij deltoyid okrim romba ye odnochasno opisanim ta zovni opisanim chotirikutnikom Centri vpisanogo ta zovni vpisanogo kil lezhat na pryamij sho mistit diagonal deltoyida Dlya neopuklogo deltoyida mozhna pobuduvati kolo sho dotikayetsya do dvoh bilshih storin i prodovzhen dvoh menshih storin i kolo sho dotikayetsya do dvoh menshih storin i prodovzhen dvoh bilshih storin nbsp Pryamokutnij deltoyid ye bicentrichnim chotirikutnikom Pryamokutnij deltoyid u yakogo dva protilezhni kuti pryami ye bicentrichnim chotirikutnikom tobto ye odnochasno vpisanim ta opisanim chotirikutnikom a takozh i zovni opisanim chotirikutnikom Centri vpisanogo opisanogo ta zovni vpisanogo kil lezhat na diagonali deltoyida Formuli Redaguvati nbsp nbsp Dlya deltoyida spravedlivi nastupni formuli Formuli dlya deltoyidaDovzhini storin a d b c displaystyle a d quad b c nbsp Perimetr P 2 a 2 b 2 a b displaystyle P 2 cdot a 2 cdot b 2 cdot a b nbsp Plosha S e f 2 displaystyle S frac e cdot f 2 nbsp 6 S a b sin b displaystyle S a cdot b cdot sin beta nbsp S a b r displaystyle S left a b right r nbsp de r radius vpisanogo kola S 1 2 a 2 sin a b 2 sin g displaystyle S dfrac 1 2 cdot left a 2 sin alpha b 2 sin gamma right nbsp Dovzhini diagonalej e a 2 b 2 2 a b cos b displaystyle e sqrt a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos beta nbsp za teoremoyu kosinusiv f 2 S e 4 S A B C e 4 s s a s b s e e displaystyle f frac 2 cdot S e frac 4 cdot S ABC e frac 4 cdot sqrt s cdot s a cdot s b cdot s e e nbsp de s a b e 2 displaystyle s frac a b e 2 nbsp f 2 a sin a 2 2 b sin g 2 displaystyle f 2 cdot a cdot sin left frac alpha 2 right 2 cdot b cdot sin left frac gamma 2 right nbsp Radius vpisanogo kola r 2 S P e f 2 a b displaystyle r frac 2 cdot S P frac e cdot f 2 cdot a b nbsp Radius zovni vpisanogo kola r e f 2 a b displaystyle rho frac e cdot f 2 cdot left vert a b right vert nbsp 7 Vnutrishni kuti div teoremu kosinusiv a arccos 2 a 2 f 2 2 a 2 displaystyle alpha arccos left frac 2 cdot a 2 f 2 2 cdot a 2 right nbsp g arccos 2 b 2 f 2 2 b 2 displaystyle gamma arccos left frac 2 cdot b 2 f 2 2 cdot b 2 right nbsp b d arccos a 2 b 2 e 2 2 a b displaystyle beta delta arccos left frac a 2 b 2 e 2 2 cdot a cdot b right nbsp Dvoyistist Redaguvati nbsp Deltoyid ta dvoyista do nogo rivnobichna trapeciya Deltoyidi ta rivnobedreni trapeciyi ye dvoyistimi odin do odnogo chotirikutnikami sho oznachaye sho mizh nimi isnuye vidpovidnist yaka zminyuye elementi yih chastin na protilezhni peretvoryuyuchi vershini na storoni a storoni na vershini U bud yakogo deltoyida vpisane v nogo kolo dotikayetsya do chotiroh jogo storin u tochkah sho ye vershinami rivnobedrenoyi trapeciyi Dlya bud yakoyi rivnobedrenoyi trapeciyi dotichni liniyi do opisanogo kola v chotiroh vershinah utvoryuyut chotiri storoni deltoyida Cyu vidpovidnist takozh mozhna rozglyadati yak priklad polyarnogo peretvorennya zagalnogo metodu dlya vidpovidnosti tochok liniyam i navpaki yaksho zadano fiksovane kolo Chotiri vershini deltoyida v comu sensi vzayemni chotirom storonam rivnobedrenoyi trapeciyi 8 Harakteristiki deltoyidiv i rivnobedrenih trapecij yaki vidpovidayut odna odnij za ciyeyi dvoyistosti porivnyuyutsya v tablici nizhche 9 Rivnobichna trapeciya DeltoyidDvi pari rivnih susidnih kutiv Dvi pari rivnih susidnih storinDvi rivni protilezhni storoni Dva rivnih protilezhnih kutaDvi protilezhni storoni mayut spilnij perpendikulyar sho prohodit cherez yih seredini Dva protilezhni kuti mayut spilnu bisektrisuVis simetriyi prohodit cherez protilezhni storoni Vis simetriyi prohodit cherez protilezhni kutiMaye opisane kolo Maye vpisane koloParketi z deltoyidami Redaguvati nbsp Rekursivna konstrukciya mozayiki Penrouza z opuklogo ta neopuklogo deltoyidiv nbsp Fraktalna rozetka deltoyidiv Penrouza Opuklij deltoyid z kutami 72 72 72 144 ta neopuklij deltoyid z kutami 36 72 36 216 formuyut odnu z plitok mozayiki Penrouza aperiodichnoyi ploskoyi mozayiki vidkritoyi fizikom matematikom Rodzherom Penrouzom 10 Koli deltoyid maye kuti yaki pri jogo vershinah na odnij storoni sumarno dorivnyuyut p 1 1 n displaystyle pi 1 tfrac 1 n nbsp dlya deyakogo naturalnogo chisla 𝑛 todi masshtabovanimi kopiyami cogo deltoyida mozhna zamostiti ploshinu fraktalnoyu rozetkoyu u yakij centralna tochka poslidovno otochuyetsya vse bilshimi kilcyami z 𝑛 deltoyidiv 11 Ci rozetki mozhna vikoristovuvati dlya vivchennya yavisha nepruzhnogo kolapsu koli sistema ruhomih chastinok sho stikayutsya pri nepruzhnih zitknennyah ob yednuyetsya v odnij tochci 12 nbsp V4 3 4 6 nbsp Viyavlenij u 2023 roci aperiodichnij monoparket sho rozv yazuye zadachu odniyeyi plitki skladayetsya z 8 deltoyidiv iz deltoyidalnoyi trigeksagonalnoyi plitki 13 Deltoyid z kutami 60 90 120 90 takozh mozhe utvoriti parket yakim mozhna zamostiti ploshinu pri vidzerkalenni deltoyida vidnosno jogo reber utvoryuyetsya deltoyidalna trigeksagonalna plitka sho zamoshuye ploshinu pravilnimi shestikutnikami ta rivnostoronnimi trikutnikami 7 Primitki Redaguvati Charter Kevin Rogers Thomas 1993 The dynamics of quadrilateral folding Experimental Mathematics 2 3 209 222 MR 1273409 doi 10 1080 10586458 1993 10504278 Grunbaum B 1960 On polyhedra in E 3 displaystyle E 3 nbsp having all faces congruent Bulletin of the Research Council of Israel 8F 215 218 1960 MR 125489 Ball D G 1973 A generalisation of p displaystyle pi nbsp The Mathematical Gazette 57 402 298 303 JSTOR 3616052 doi 10 2307 3616052 Griffiths David Culpin David 1975 Pi optimal polygons The Mathematical Gazette 59 409 165 175 JSTOR 3617699 doi 10 2307 3617699 Audet Charles Hansen Pierre Svrtan Dragutin 2021 Using symbolic calculations to determine largest small polygons Journal of Global Optimization 81 1 261 268 MR 4299185 doi 10 1007 s10898 020 00908 w Beamer James E May 1975 The tale of a kite The Arithmetic Teacher 22 5 382 386 JSTOR 41188788 doi 10 5951 at 22 5 0382 a b Alsina Claudi Nelsen Roger B 2020 Section 3 4 Kites A Cornucopia of Quadrilaterals The Dolciani Mathematical Expositions 55 Providence Rhode Island MAA Press and American Mathematical Society s 73 78 ISBN 978 1 4704 5312 1 MR 4286138 see also antiparallelograms p 212 Robertson S A 1977 Classifying triangles and quadrilaterals The Mathematical Gazette 61 415 38 49 JSTOR 3617441 doi 10 2307 3617441 De Villiers Michael 2009 Some Adventures in Euclidean Geometry Dynamic Mathematics Learning s 16 55 ISBN 978 0 557 10295 2 Gardner Martin January 1977 Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles Mathematical Games Scientific American 236 1 110 121 Bibcode 1977SciAm 236a 110G JSTOR 24953856 doi 10 1038 scientificamerican0177 110 Fathauer Robert 2018 Art and recreational math based on kite tiling rosettes U Torrence Eve Torrence Bruce Sequin Carlo ta in Proceedings of Bridges 2018 Mathematics Art Music Architecture Education Culture Phoenix Arizona Tessellations Publishing s 15 22 ISBN 978 1 938664 27 4 rekomenduyetsya displayeditors dovidka Chazelle Bernard Karntikoon Kritkorn Zheng Yufei 2022 A geometric approach to inelastic collapse Journal of Computational Geometry 13 1 197 203 MR 4414332 doi 10 20382 jocg v13i1a7 Smith David Myers Joseph Samuel Kaplan Craig S Goodman Strauss Chaim 19 bereznya 2023 An aperiodic monotile arXiv 2303 10798 cs math Procitovano 27 bereznya 2023 Literatura RedaguvatiJosefsson Martin 2011 When is a tangential quadrilateral a kite Forum Geometricorum 11 165 174 Josefsson Martin 2012 Maximal area of a bicentric quadrilateral Forum Geometricorum 12 237 241 MR 2990945 Jepsen Charles H Sedberry Trevor Hoyer Rolf 2009 Equidissections of kite shaped quadrilaterals Involve A Journal of Mathematics 2 1 89 93 MR 2501347 doi 10 2140 involve 2009 2 89 Suay Juan Miguel Teira David 2014 Kites the rise and fall of a scientific object Nuncius journal 29 2 439 463 doi 10 1163 18253911 02902004 Posilannya RedaguvatiDeltoyid Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Weisstein Eric W Kite angl na sajti Wolfram MathWorld Kite angl na sajti Polytope Wiki Kite angl Area of a Kite angl Formuli ploshi ta interaktivna animaciya Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Deltoyid amp oldid 40492233