www.wikidata.uk-ua.nina.az

Евклідова геометрія Запит Планіметрія перенаправляє сюди див також інші значення Евклі дова геоме трія геометрична теорі

Евклідова геометрія

Запит «Планіметрія» перенаправляє сюди; див. також інші значення.

Евклі́дова геоме́трія — геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеній у підручнику «Начала» Евкліда (дав.-гр. Στοιχεῖα Stoicheia, III століття до н. е.). Метод Евкліда полягає в прийнятті невеликого набору інтуїтивно зрозумілих аксіом і виведення з них багатьох інших теорем. Хоча багато визначень Евкліда були висловлені іншими математиками, Евклід був першим, хто показав, як ці пропозиції могли б використовуватися у всеосяжну дедуктивну та логічну систему. «Начала» починаються з планіметрії, яка і до сьогодні вивчається у середній школі як аксіоматика і базується на доведеннях. Більша частина «Начал» вказує на доведення того, що зараз називають алгеброю та теорією чисел.

Фрагмент роботи Рафаеля Афінська школа із зображенням грецького математика – можливо Евкліда чи Архімеда (використовує циркуль для нанесення геометричної конструкції)

Більше двох тисяч років прикметник «евклідова» був непотрібним, оскільки жодна інша форма геометрії ще не існувала. Аксіоми Евкліда здавались настільки очевидними (за винятком аксіоми паралельності), що будь-яка теорема, що випливала з них, вважалася вірною в абсолютному, часто метафізичному сенсі. Сьогодні відомо багато інших несуперечливих неевклідових геометрій, перші з яких з'явилися на початку XIX ст. Зокрема, із загальної теорії відносності Альберта Ейнштейна слідує що фізичний простір неевклідовий, а евклідовий простір для нього існує лише там, де слабке гравітаційне поле.

Евклідова геометрія є прикладом аналітичної геометрії, оскільки вона логічно йде від аксіом до тверджень без використання координат(на відміну від аналітичної геометрії, яка їх використовує).

«Начала»

«Начала» вважаються систематизацією попередніх знань з геометрії. Оскільки його новіші видання були одразу загальновизнаними, і не було попиту у минулих версіях, на сьогодні майже всі вони втрачені. «Начала» складаються з 13 книг: У I—IV та VI книгах йдеться про планіметрію. Доведено багато результатів щодо плоских фігур, наприклад: теорема Піфагора «У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гітотенузи». (Книга I, постулат 47). V і VII—X книги стосуються теорії чисел, причому числа геометрично обробляються через їхні подання у вигляді ліній різної довжини. У них вводяться такі поняття, як прості, раціональні та ірраціональні числа. Також доводиться нескінченність простих чисел. XI—XIII книги стосуються стереометрії. Типовим прикладом є співвідношення 1/3 між об'ємом конуса та циліндра з однаковою висотою та основою.

Аксіоматика

Про паралельні прямі (Постулат 5): Якщо пряма, що перетинає дві інші прямі, утворює внутрішні односторонні кути, які менші, ніж два прямі кути, то ці дві прямі перетнуться як завгодно далеко з тієї сторони, де кути (давньогрецькою:Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες).

Проблема повної аксіоматизації елементарної геометрії — одна з проблем геометрії, що виникла у Стародавній Греції у зв'язку з критикою цієї першої спроби побудувати повну систему аксіом так, щоб всі твердження евклідової геометрії з цих аксіом були чисто логічним висновком без додаткових пояснень.

У «Началах» Евкліда, була дана наступна аксіоматика:

  1. Від усякої точки до всякої точки можна провести пряму лінію.
  2. Обмежену лінію можна безперервно продовжувати до прямої.
  3. З усякого центра довільним розхилом циркуля може бути описане коло.
  4. Усі прямі кути рівні між собою.
  5. Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, які менші ніж два прямі кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за два прямі (див. Аксіома паралельності Евкліда).

Дослідження системи аксіом Евкліда в другій половині XIX століття показало її неповноту. У 1899 році Давид Гільберт запропонував першу достатньо строгу аксіоматику евклідової геометрії. Спроби поліпшення евклідової аксіоматики робилися і до Гільберта, проте підхід Гільберта, при всій його консервативності у виборі понять, виявився найуспішнішим.

Методи доведення

Евклідова геометрія базується на конструктивному доведенні. Аксіоми 1, 2, 3 та 5 стверджують про існування та унікальність певних геометричних фігур, і ці твердження носять конструктивний характер: тобто ми не лише сказали про існування певних речей, але й довели це. У цьому сенсі Евклі́дова геометрія більш конкретна, ніж багато сучасних аксіоматичних систем, таких як теорія множин, які часто стверджують про існування об'єктів, не кажучи, як їх побудувати, або навіть стверджують про існування об'єктів, які не можуть бути побудовані в рамках теорії. Іншими словами, лінії на папері є моделями об'єктів, визначених у формальній системі, а не прикладами цих об'єктів. Наприклад, Евклі́дова пряма не має ширини, але будь-яка реальна намальована лінія матиме. Хоча майже всі сучасні математики вважають неконструктивні методи настільки ж конструктивними, конструктивні докази Евкліда часто витісняють помилкові неконструктивні.

Евклід часто використовував у своїй праці доведення від супротивного. Евклідова геометрія використовує також метод суперпозицій, в якому фігура переміщується на іншу точку простору. Наприклад, пропозиція I.4, конгруенція трикутників бічним кутом, доведена шляхом переміщення одного з двох трикутників так, що одна з його сторін збігається з такою ж за розміром стороною іншого трикутнику, доводить, що інші сторони також збігаються. Деякі сучасні методи додають шостий постулат — жорсткість трикутника, яку можна використовувати як альтернативу суперпозиції.

Одне з доведень із «Елементів» Евкліда: враховуючи відрізок прямої, існує рівносторонній трикутник, який включає відрізок як одну з його сторін. Конструктивне доведення: рівносторонній трикутник ΑΒΓ зроблений шляхом нанесення кругів Δ і Ε, центрованих по точкам А і В, і взяття одного перетину кругів як третьої вершини трикутника.

Система вимірювання та арифметика

Евклідова геометрія має два основних типи вимірювань: кут і відстань. Кутова шкала абсолютна, і Евклід використовує прямий кут як її базову одиницю так, що, наприклад, кут у 45° градусів називають половиною прямого кута. Шкала відстані відносна: один довільно вибраний сегмент лінії з певною ненульовою довжиною береться за одиницю, а інші відстані виражаються відносно нього. Додавання відстаней представлено конструкцією, в якій один рядок сегмента копіюється на кінці іншого сегмента лінії, щоб збільшити його довжину, і аналогічно для віднімання.

Вимірювання площі та об'єму визначаються за допомогою поняття відстані. Наприклад, прямокутник з шириною 3 і довжиною 4 має ділянку, яка дорівнює 12. Через те, що ця геометрична інтерпретація множення була обмежена трьома вимірами, не було прямого способу інтерпретації добутку з чотирьох або більше значень, і Евклід уникав таких добутків, хоча саме вони вказані у доведенні книги IX, пропозиції 20.

Приклад конгруентності: дві фігури ліворуч є конгруентними, а третя — подібною до них. Остання фігура не конгруентна з ними. Конгруентність змінює деякі властивості, такі як місце розташування та орієнтація, але залишають інші незмінними, наприклад, відстані та кути. Останні властивості називаються інваріантами, і їх вивчення є сутністю геометрії.

Евклід трактує пари ліній або пари фігур на площині як «рівні» (ἴσος), якщо їх довжини, площі або об'єми рівні, аналогічно для кутів. Більш сильний термін «конгруентний» означає, що фігура буде однакова за розміром і формою щодо іншої фігури. Інше визначення конгруентності двох фігур полягає в тому, що їх можна сумістити одну з іншою за допомогою руху (допускається віддзеркалення фігури). Наприклад, прямокутник 2x6 і прямокутник 3x4 рівні, але не конгруентні, а буква R конгруентна зі своїм дзеркальним відображенням. Фігури, які будуть конгруентними, за винятком їх різного розміру, називаються подібними. Відповідні кути в парі подібних фігур є конгруентними, а відповідні сторони пропорційні одна одній.

Позначення та термінологія

Означення точок та фігур

Точки зазвичай називають «великими літерами алфавіту». Інші фігури, такі як лінії, трикутники або кола, називаються переліком достатньої кількості точок, щоб однозначно їх вибирати з відповідного значення, наприклад, трикутник ABC, як правило, буде трикутником з вершинами в точках A, B і C .

Комплементарні та суміжні кути

Кути, сума яких є прямим кутом, називаються комплементарними. Комплементарні кути утворюються, коли промінь ділиться однією вершиною і орієнтований у напрямку, що знаходиться між двома вихідними променями, які утворюють правий кут. Кількість променів між двома променями є нескінченною.

Кути, сума яких дорівнює 180 градусів, називають суміжними. Суміжні кути утворюються, коли промінь ділиться однією вершиною і орієнтований у напрямку між двома вихідними променями, які утворюють прямий кут (кут 180 градусів). Кількість променів між двома оригінальними променями є нескінченною.

Сучасні версії фігур Евкліда

У сучасній термінології кути, як правило, вимірюються в градусах чи в радіанах.

Сучасні шкільні підручники часто визначають окремі фігури: прямі (нескінченні), промені (напівнескінченні) та відрізки (скінченної довжини). Евклід, замість того, щоб говорити про промінь як про об'єкт, що поширюється до нескінченності в одному напрямку, зазвичай використовує такі означення, як «лінія, проведена до достатньої довжини», хоча іноді вона називається «нескінченною». «Лінія» в «Началах» може бути як прямою, так і криволінійною, і при необхідності він використовував більш конкретний термін «пряма лінія».

Деякі важливі або відомі результати

Теорема про рівнобедренний трикутник

Теорема про міст віслюків стверджує, що трикутник, в якому дві сторони (бічні) рівні між собою, а також кути при основі рівні між собою, називають рівнобедренним. За означенням, правильний трикутник також є рівнобедреним, але обернене твердження не є правильним. Одне з походжень назви цієї теореми: геометрична фігура схожа на крутий міст, водночас схожу лише на віслюка.

Конгруентність трикутників

Конгруентність трикутників визначається шляхом визначення двох сторін і кута між ними (SAS), двома кутами та сторони між ними (ASA) або двома кутами та відповідною суміжною стороною (AAS). Проте, якщо вказати дві сторони та сусідній кут (SSA), можна отримати два різні можливі трикутники, якщо вказаний кут не є прямим.

Теорема про суму кутів у трикутнику

Сума кутів трикутника дорівнює куту 180 градусів. Наслідком з цього є те, що рівносторонній трикутник має три внутрішні кути по 60 градусів. Крім того, кожен трикутник має принаймні 2 гострі кути.

Теорема Піфагора

У знаменитій теоремі Піфагора (книга I, постулат 47) сказано, що в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи (сторони, протилежної прямокутному куту), дорівнює сумі квадратів катетів (сторін, які перетинаються під прямим кутом).

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса, названа на честь Фалеса з Мілета, говорить, що якщо А, В та С є точками в колі, де лінія АС є діаметром кола, то кут АВС — прямий кут. Кантор вважав, що Фалес довів свою теорему за допомогою книги Евкліда I, Постулату 32.

Застосування

Через фундаментальний статус евклідової геометрії в математиці, було б неможливо не дати більш репрезентативну вибірку застосувань його «Начал» у цьому розділі.

Застосування евклідової стереометрії полягає у визначенні механізмів пакування, таких як проблема пошуку найефективнішого пакування куль n розмірностей.

Геометрична оптика використовує евклідову геометрію для аналізу фокусування світла об'єктивами та дзеркалами.

Застосування в описі структури простору

Евклід вважав, що його аксіоми були очевидними твердженнями про фізичну реальність. Евклідові доведення залежали від припущень, які, можливо, не були очевидними в його основних аксіомах. Враховуючи фізичний опис простору, постулат 2 стверджує, що простір однорідний і необмежений; постулат 4 (про рівність прямокутників) говорить про те, що простір є ізотропним, а фігури можуть бути перенесені в будь-яке місце, зберігаючи конгруентність, і постулат 5 (Аксіома паралельності Евкліда), вказує на те, що простір не має власної кривизни. Але теорія відносності Ейнштейна суттєво змінює цю точку зору.

Неоднозначний характер аксіом, сформульований Евклідом, дає змогу різним аналітикам не погодитися з деякими їхніми наслідками для структури простору, наприклад, чи є вона нескінченною і яка її топологія. Сучасні, переформулювання системи, як правило, спрямовані на відокремлення цих питань. Інтерпретуючи аксіоми Евкліда у стилі більш сучасного підходу, аксіоми 1-4 узгоджуються або з нескінченним, або зі скінченними просторами (як в геометрії Рімана), і всі п'ять аксіом збігаються з різними топологіями (наприклад, площиною, циліндром, чи тором для двовимірної евклідової геометрії).

Див. також

Класичні теореми

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Zapit Planimetriya perenapravlyaye syudi div takozh inshi znachennya Evkli dova geome triya geometrichna teoriya zasnovana na sistemi aksiom vpershe vikladenij u pidruchniku Nachala Evklida dav gr Stoixeῖa Stoicheia III stolittya do n e Metod Evklida polyagaye v prijnyatti nevelikogo naboru intuyitivno zrozumilih aksiom i vivedennya z nih bagatoh inshih teorem Hocha bagato viznachen Evklida buli vislovleni inshimi matematikami Evklid buv pershim hto pokazav yak ci propoziciyi mogli b vikoristovuvatisya u vseosyazhnu deduktivnu ta logichnu sistemu Nachala pochinayutsya z planimetriyi yaka i do sogodni vivchayetsya u serednij shkoli yak aksiomatika i bazuyetsya na dovedennyah Bilsha chastina Nachal vkazuye na dovedennya togo sho zaraz nazivayut algebroyu ta teoriyeyu chisel Fragment roboti Rafaelya Afinska shkola iz zobrazhennyam greckogo matematika mozhlivo Evklida chi Arhimeda vikoristovuye cirkul dlya nanesennya geometrichnoyi konstrukciyi Bilshe dvoh tisyach rokiv prikmetnik evklidova buv nepotribnim oskilki zhodna insha forma geometriyi she ne isnuvala Aksiomi Evklida zdavalis nastilki ochevidnimi za vinyatkom aksiomi paralelnosti sho bud yaka teorema sho viplivala z nih vvazhalasya virnoyu v absolyutnomu chasto metafizichnomu sensi Sogodni vidomo bagato inshih nesuperechlivih neevklidovih geometrij pershi z yakih z yavilisya na pochatku XIX st Zokrema iz zagalnoyi teoriyi vidnosnosti Alberta Ejnshtejna sliduye sho fizichnij prostir neevklidovij a evklidovij prostir dlya nogo isnuye lishe tam de slabke gravitacijne pole Evklidova geometriya ye prikladom analitichnoyi geometriyi oskilki vona logichno jde vid aksiom do tverdzhen bez vikoristannya koordinat na vidminu vid analitichnoyi geometriyi yaka yih vikoristovuye Zmist 1 Nachala 1 1 Aksiomatika 2 Metodi dovedennya 3 Sistema vimiryuvannya ta arifmetika 4 Poznachennya ta terminologiya 4 1 Oznachennya tochok ta figur 4 2 Komplementarni ta sumizhni kuti 4 3 Suchasni versiyi figur Evklida 5 Deyaki vazhlivi abo vidomi rezultati 5 1 Teorema pro rivnobedrennij trikutnik 5 2 Kongruentnist trikutnikiv 5 3 Teorema pro sumu kutiv u trikutniku 5 4 Teorema Pifagora 5 5 Teorema Falesa 6 Zastosuvannya 7 Zastosuvannya v opisi strukturi prostoru 8 Div takozh 8 1 Klasichni teoremi 9 Dzherela Nachala RedaguvatiDokladnishe Nachala Evklida Nachala vvazhayutsya sistematizaciyeyu poperednih znan z geometriyi Oskilki jogo novishi vidannya buli odrazu zagalnoviznanimi i ne bulo popitu u minulih versiyah na sogodni majzhe vsi voni vtracheni Nachala skladayutsya z 13 knig U I IV ta VI knigah jdetsya pro planimetriyu Dovedeno bagato rezultativ shodo ploskih figur napriklad teorema Pifagora U pryamokutnomu trikutniku suma kvadrativ katetiv dorivnyuye kvadratu gitotenuzi Kniga I postulat 47 V i VII X knigi stosuyutsya teoriyi chisel prichomu chisla geometrichno obroblyayutsya cherez yihni podannya u viglyadi linij riznoyi dovzhini U nih vvodyatsya taki ponyattya yak prosti racionalni ta irracionalni chisla Takozh dovoditsya neskinchennist prostih chisel XI XIII knigi stosuyutsya stereometriyi Tipovim prikladom ye spivvidnoshennya 1 3 mizh ob yemom konusa ta cilindra z odnakovoyu visotoyu ta osnovoyu Aksiomatika Redaguvati Pro paralelni pryami Postulat 5 Yaksho pryama sho peretinaye dvi inshi pryami utvoryuye vnutrishni odnostoronni kuti yaki menshi nizh dva pryami kuti to ci dvi pryami peretnutsya yak zavgodno daleko z tiyeyi storoni de kuti davnogreckoyu Kaὶ ἐὰn eἰs dyo eὐ8eias eὐ8eῖa ἐmpiptoysa tὰs ἐntὸs kaὶ ἐpὶ tὰ aὐtὰ merh gwnias dyo ὀr8ῶn ἐlassonas poiῇ ἐkballomenas tὰs dyo eὐ8eias ἐp ἄpeiron sympiptein ἐf ἃ merh eἰsὶn aἱ tῶn dyo ὀr8ῶn ἐlassones Problema povnoyi aksiomatizaciyi elementarnoyi geometriyi odna z problem geometriyi sho vinikla u Starodavnij Greciyi u zv yazku z kritikoyu ciyeyi pershoyi sprobi pobuduvati povnu sistemu aksiom tak shob vsi tverdzhennya evklidovoyi geometriyi z cih aksiom buli chisto logichnim visnovkom bez dodatkovih poyasnen U Nachalah Evklida bula dana nastupna aksiomatika Vid usyakoyi tochki do vsyakoyi tochki mozhna provesti pryamu liniyu Obmezhenu liniyu mozhna bezperervno prodovzhuvati do pryamoyi Z usyakogo centra dovilnim rozhilom cirkulya mozhe buti opisane kolo Usi pryami kuti rivni mizh soboyu Yaksho pryama sho peretinaye dvi pryami utvoryuye vnutrishni odnostoronni kuti yaki menshi nizh dva pryami kuti to ci dvi pryami prodovzheni neobmezheno zustrinutsya z tiyeyi storoni de kuti menshi za dva pryami div Aksioma paralelnosti Evklida Doslidzhennya sistemi aksiom Evklida v drugij polovini XIX stolittya pokazalo yiyi nepovnotu U 1899 roci David Gilbert zaproponuvav pershu dostatno strogu aksiomatiku evklidovoyi geometriyi Sprobi polipshennya evklidovoyi aksiomatiki robilisya i do Gilberta prote pidhid Gilberta pri vsij jogo konservativnosti u vibori ponyat viyavivsya najuspishnishim Metodi dovedennya RedaguvatiEvklidova geometriya bazuyetsya na konstruktivnomu dovedenni Aksiomi 1 2 3 ta 5 stverdzhuyut pro isnuvannya ta unikalnist pevnih geometrichnih figur i ci tverdzhennya nosyat konstruktivnij harakter tobto mi ne lishe skazali pro isnuvannya pevnih rechej ale j doveli ce U comu sensi Evkli dova geometriya bilsh konkretna nizh bagato suchasnih aksiomatichnih sistem takih yak teoriya mnozhin yaki chasto stverdzhuyut pro isnuvannya ob yektiv ne kazhuchi yak yih pobuduvati abo navit stverdzhuyut pro isnuvannya ob yektiv yaki ne mozhut buti pobudovani v ramkah teoriyi Inshimi slovami liniyi na paperi ye modelyami ob yektiv viznachenih u formalnij sistemi a ne prikladami cih ob yektiv Napriklad Evkli dova pryama ne maye shirini ale bud yaka realna namalovana liniya matime Hocha majzhe vsi suchasni matematiki vvazhayut nekonstruktivni metodi nastilki zh konstruktivnimi konstruktivni dokazi Evklida chasto vitisnyayut pomilkovi nekonstruktivni Evklid chasto vikoristovuvav u svoyij praci dovedennya vid suprotivnogo Evklidova geometriya vikoristovuye takozh metod superpozicij v yakomu figura peremishuyetsya na inshu tochku prostoru Napriklad propoziciya I 4 kongruenciya trikutnikiv bichnim kutom dovedena shlyahom peremishennya odnogo z dvoh trikutnikiv tak sho odna z jogo storin zbigayetsya z takoyu zh za rozmirom storonoyu inshogo trikutniku dovodit sho inshi storoni takozh zbigayutsya Deyaki suchasni metodi dodayut shostij postulat zhorstkist trikutnika yaku mozhna vikoristovuvati yak alternativu superpoziciyi Odne z doveden iz Elementiv Evklida vrahovuyuchi vidrizok pryamoyi isnuye rivnostoronnij trikutnik yakij vklyuchaye vidrizok yak odnu z jogo storin Konstruktivne dovedennya rivnostoronnij trikutnik ABG zroblenij shlyahom nanesennya krugiv D i E centrovanih po tochkam A i V i vzyattya odnogo peretinu krugiv yak tretoyi vershini trikutnika Sistema vimiryuvannya ta arifmetika RedaguvatiEvklidova geometriya maye dva osnovnih tipi vimiryuvan kut i vidstan Kutova shkala absolyutna i Evklid vikoristovuye pryamij kut yak yiyi bazovu odinicyu tak sho napriklad kut u 45 gradusiv nazivayut polovinoyu pryamogo kuta Shkala vidstani vidnosna odin dovilno vibranij segment liniyi z pevnoyu nenulovoyu dovzhinoyu beretsya za odinicyu a inshi vidstani virazhayutsya vidnosno nogo Dodavannya vidstanej predstavleno konstrukciyeyu v yakij odin ryadok segmenta kopiyuyetsya na kinci inshogo segmenta liniyi shob zbilshiti jogo dovzhinu i analogichno dlya vidnimannya Vimiryuvannya ploshi ta ob yemu viznachayutsya za dopomogoyu ponyattya vidstani Napriklad pryamokutnik z shirinoyu 3 i dovzhinoyu 4 maye dilyanku yaka dorivnyuye 12 Cherez te sho cya geometrichna interpretaciya mnozhennya bula obmezhena troma vimirami ne bulo pryamogo sposobu interpretaciyi dobutku z chotiroh abo bilshe znachen i Evklid unikav takih dobutkiv hocha same voni vkazani u dovedenni knigi IX propoziciyi 20 Priklad kongruentnosti dvi figuri livoruch ye kongruentnimi a tretya podibnoyu do nih Ostannya figura ne kongruentna z nimi Kongruentnist zminyuye deyaki vlastivosti taki yak misce roztashuvannya ta oriyentaciya ale zalishayut inshi nezminnimi napriklad vidstani ta kuti Ostanni vlastivosti nazivayutsya invariantami i yih vivchennya ye sutnistyu geometriyi Evklid traktuye pari linij abo pari figur na ploshini yak rivni ἴsos yaksho yih dovzhini ploshi abo ob yemi rivni analogichno dlya kutiv Bilsh silnij termin kongruentnij oznachaye sho figura bude odnakova za rozmirom i formoyu shodo inshoyi figuri Inshe viznachennya kongruentnosti dvoh figur polyagaye v tomu sho yih mozhna sumistiti odnu z inshoyu za dopomogoyu ruhu dopuskayetsya viddzerkalennya figuri Napriklad pryamokutnik 2x6 i pryamokutnik 3x4 rivni ale ne kongruentni a bukva R kongruentna zi svoyim dzerkalnim vidobrazhennyam Figuri yaki budut kongruentnimi za vinyatkom yih riznogo rozmiru nazivayutsya podibnimi Vidpovidni kuti v pari podibnih figur ye kongruentnimi a vidpovidni storoni proporcijni odna odnij Poznachennya ta terminologiya RedaguvatiOznachennya tochok ta figur Redaguvati Tochki zazvichaj nazivayut velikimi literami alfavitu Inshi figuri taki yak liniyi trikutniki abo kola nazivayutsya perelikom dostatnoyi kilkosti tochok shob odnoznachno yih vibirati z vidpovidnogo znachennya napriklad trikutnik ABC yak pravilo bude trikutnikom z vershinami v tochkah A B i C Komplementarni ta sumizhni kuti Redaguvati Kuti suma yakih ye pryamim kutom nazivayutsya komplementarnimi Komplementarni kuti utvoryuyutsya koli promin dilitsya odniyeyu vershinoyu i oriyentovanij u napryamku sho znahoditsya mizh dvoma vihidnimi promenyami yaki utvoryuyut pravij kut Kilkist promeniv mizh dvoma promenyami ye neskinchennoyu Kuti suma yakih dorivnyuye 180 gradusiv nazivayut sumizhnimi Sumizhni kuti utvoryuyutsya koli promin dilitsya odniyeyu vershinoyu i oriyentovanij u napryamku mizh dvoma vihidnimi promenyami yaki utvoryuyut pryamij kut kut 180 gradusiv Kilkist promeniv mizh dvoma originalnimi promenyami ye neskinchennoyu Suchasni versiyi figur Evklida Redaguvati U suchasnij terminologiyi kuti yak pravilo vimiryuyutsya v gradusah chi v radianah Suchasni shkilni pidruchniki chasto viznachayut okremi figuri pryami neskinchenni promeni napivneskinchenni ta vidrizki skinchennoyi dovzhini Evklid zamist togo shob govoriti pro promin yak pro ob yekt sho poshiryuyetsya do neskinchennosti v odnomu napryamku zazvichaj vikoristovuye taki oznachennya yak liniya provedena do dostatnoyi dovzhini hocha inodi vona nazivayetsya neskinchennoyu Liniya v Nachalah mozhe buti yak pryamoyu tak i krivolinijnoyu i pri neobhidnosti vin vikoristovuvav bilsh konkretnij termin pryama liniya Deyaki vazhlivi abo vidomi rezultati Redaguvati Teorema pro rivnobedrennij trikutnik chi Teorema pro mist vislyukiv vkazuye na te sho v rivnobedrenomu trikutniku a b i g d Teorema pro sumu kutiv u trikutniku dovodit sho suma troh kutiv bud yakogo trikutnika u comu vipadku kutiv a b i g zavzhdi dorivnyuye 180 gradusiv Teorema Pifagora vkazuye na te sho suma kvadrativ katetiv a i b dorivnyuye kvadratu gipotenuzi c Teorema Falesa govorit sho yaksho AC ce diametr to kut u ABC pryamij Teorema pro rivnobedrennij trikutnik Redaguvati Teorema pro mist vislyukiv stverdzhuye sho trikutnik v yakomu dvi storoni bichni rivni mizh soboyu a takozh kuti pri osnovi rivni mizh soboyu nazivayut rivnobedrennim Za oznachennyam pravilnij trikutnik takozh ye rivnobedrenim ale obernene tverdzhennya ne ye pravilnim Odne z pohodzhen nazvi ciyeyi teoremi geometrichna figura shozha na krutij mist vodnochas shozhu lishe na vislyuka Kongruentnist trikutnikiv Redaguvati Kongruentnist trikutnikiv viznachayetsya shlyahom viznachennya dvoh storin i kuta mizh nimi SAS dvoma kutami ta storoni mizh nimi ASA abo dvoma kutami ta vidpovidnoyu sumizhnoyu storonoyu AAS Prote yaksho vkazati dvi storoni ta susidnij kut SSA mozhna otrimati dva rizni mozhlivi trikutniki yaksho vkazanij kut ne ye pryamim Teorema pro sumu kutiv u trikutniku Redaguvati Suma kutiv trikutnika dorivnyuye kutu 180 gradusiv Naslidkom z cogo ye te sho rivnostoronnij trikutnik maye tri vnutrishni kuti po 60 gradusiv Krim togo kozhen trikutnik maye prinajmni 2 gostri kuti Teorema Pifagora Redaguvati U znamenitij teoremi Pifagora kniga I postulat 47 skazano sho v bud yakomu pryamokutnomu trikutniku kvadrat gipotenuzi storoni protilezhnoyi pryamokutnomu kutu dorivnyuye sumi kvadrativ katetiv storin yaki peretinayutsya pid pryamim kutom Teorema Falesa Redaguvati Teorema Falesa nazvana na chest Falesa z Mileta govorit sho yaksho A V ta S ye tochkami v koli de liniya AS ye diametrom kola to kut AVS pryamij kut Kantor vvazhav sho Fales doviv svoyu teoremu za dopomogoyu knigi Evklida I Postulatu 32 Zastosuvannya RedaguvatiCherez fundamentalnij status evklidovoyi geometriyi v matematici bulo b nemozhlivo ne dati bilsh reprezentativnu vibirku zastosuvan jogo Nachal u comu rozdili Inspektor vikoristovuye nivelir Zadacha pro pakuvannya kul ye nayavnim prikladom rozmishennya plodiv apelsinu Parabolichne dzerkalo fokusuye paralelni promeni svitla Zastosuvannya evklidovoyi stereometriyi polyagaye u viznachenni mehanizmiv pakuvannya takih yak problema poshuku najefektivnishogo pakuvannya kul n rozmirnostej Geometrichna optika vikoristovuye evklidovu geometriyu dlya analizu fokusuvannya svitla ob yektivami ta dzerkalami Geometriya zastosovuyetsya u mistectvi ta arhitekturi Geometriya takozh vikoristovuyetsya dlya stvorennya origami Zastosuvannya v opisi strukturi prostoru RedaguvatiEvklid vvazhav sho jogo aksiomi buli ochevidnimi tverdzhennyami pro fizichnu realnist Evklidovi dovedennya zalezhali vid pripushen yaki mozhlivo ne buli ochevidnimi v jogo osnovnih aksiomah Vrahovuyuchi fizichnij opis prostoru postulat 2 stverdzhuye sho prostir odnoridnij i neobmezhenij postulat 4 pro rivnist pryamokutnikiv govorit pro te sho prostir ye izotropnim a figuri mozhut buti pereneseni v bud yake misce zberigayuchi kongruentnist i postulat 5 Aksioma paralelnosti Evklida vkazuye na te sho prostir ne maye vlasnoyi krivizni Ale teoriya vidnosnosti Ejnshtejna suttyevo zminyuye cyu tochku zoru Neodnoznachnij harakter aksiom sformulovanij Evklidom daye zmogu riznim analitikam ne pogoditisya z deyakimi yihnimi naslidkami dlya strukturi prostoru napriklad chi ye vona neskinchennoyu i yaka yiyi topologiya Suchasni pereformulyuvannya sistemi yak pravilo spryamovani na vidokremlennya cih pitan Interpretuyuchi aksiomi Evklida u stili bilsh suchasnogo pidhodu aksiomi 1 4 uzgodzhuyutsya abo z neskinchennim abo zi skinchennimi prostorami yak v geometriyi Rimana i vsi p yat aksiom zbigayutsya z riznimi topologiyami napriklad ploshinoyu cilindrom chi torom dlya dvovimirnoyi evklidovoyi geometriyi Div takozh RedaguvatiAksiomatika Gilberta Aksiomatika Kolmogorova geometriya Aksiomatika Aleksandrova Stereometriya Analitichna geometriya Dovedennya vid suprotivnogo Dekartova sistema koordinat Metrichnij prostir Neevklidova geometriya Aksioma paralelnosti EvklidaKlasichni teoremi Redaguvati Teorema pro bisektrisu Teorema Chevi Formula Gerona Teorema Menelaya Kolo dev yati tochok Teorema PifagoraDzherela RedaguvatiHazewinkel Michiel red 2001 Euclidean geometry Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 angl Hazewinkel Michiel red 2001 Plane trigonometry Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Evklidova geometriya amp oldid 37772466