www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорія чисел або вища арифметика галузь математики яка розпочалась з вивчення деяких властивостей натуральних чисел пов

Теорія чисел

Теорія чисел або вища арифметика — галузь математики, яка розпочалась з вивчення деяких властивостей натуральних чисел, пов'язаних з питаннями подільності і розв'язання алгебраїчних рівнянь у натуральних (а згодом також цілих) числах.

В теорії чисел у широкому розумінні розглядаються як алгебраїчні, так і трансцендентні числа, а також функції різноманітного походження, які пов'язані з арифметикою цілих чисел та їх узагальнень. У дослідженнях з теорії чисел, поряд з елементарними і алгебраїчними методами застосовуються також геометричні і аналітичні.

Історія

Теорія чисел походить з далекого минулого, вавилонська глиняна табличка Plimpton 322 (18 ст. до н.е.) містить список цілих розв'язків рівняння , пізніше названих піфагоровими трійками, числа в ній досить великі, щоб бути знайденими простим перебором.

Стародавня Греція

Вагомий внесок до становлення теорії чисел зробили піфагорійці, Евклід і Діофант.

Частина книги Евкліда Начала присвячена простим числам та подільності чисел, зокрема він розробив алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (алгоритм Евкліда) та довів нескінченність множини простих чисел. Питання про прості числа, від часів Евкліда і по цей день, складають одну із провідних тем в теорії чисел.

Діофант Александрійський, на відміну від усіх попередніх математиків стародавньої Греції, що розв'язували задачі класичної алгебри описуючи їх геометрично, використовував алгебраїчні терміни для задач, які тепер відносяться до алгебраїчної геометрії. За що ввійшов в історію математики як «батько алгебри». У своїй праці «Арифметика», він перелічує опрацьовані задачі із знаходження раціональних розв'язків для систем поліномних рівнянь. Тепер такі рівняння називаються діофантовими.

Середньовіччя

В працях Аріабхати зустрічається аналог алгоритму Евкліда. Брамагупта вивчав діофантові рівняння другого степеня, зокрема рівняння, яке пізніше назвали рівняння Пелля.

Китайські математики відомі своєю теоремою про залишки, для доведення якої потрібен алгоритм Евкліда.

Багато творів грецьких та індійських математиків були переведені на арабську, в тому числі «Арифметика» Діофанта та «Брама-спхута-сіддханта» Брамагупти. Це дало початок математиці в арабських країнах.

В Європі, за виключенням роботи Фібоначчі про квадрати в арифметичних прогресіях, роботи по теорії чисел стали з'являтись тільки в період пізнього Ренесансу після перекладу «Арифметики» Діофанта на латину.

Ферма

П'єр Ферма (1601—1665) ретельно вивчав «Арифметику» Діофанта, спочатку його зацікавили досконалі та дружні числа, а потім діофантові рівняння.

Доробок Ферма в теорію чисел включає:

Спроби довести велику теорему Ферма виявилися надзвичайно плідними для розвитку теорії чисел, вони призвели до виникнення алгебраїчної теорії чисел і, певною мірою, абстрактної алгебри.

Ейлер

Леонард Ейлер (1707—1783) почав цікавитись теорією чисел через задачі, що сформульовані Ферма.

Доробок Ейлера в теорію чисел включає:

Лагранж, Лежандр, Гаус

Лагранж (1736—1813) першим узагальнив роботи Ферма та Ейлера, від вивчення рівняння Пелля він перейшов до квадратичних форм.

Лежандр (1752—1833) сформулював квадратичний закон взаємності, довів велику теорему Ферма для .

Гаус (1777—1855) в своїй книзі Disquisitiones Arithmeticae (1798) довів закон квадратичної взаємності, завершив розробку теорії квадратичних форм, ввів позначення для рівності чисел по модулю, розробив тести простоти.

Сучасна теорія чисел

Роботи Галуа, Діріхле, Рімана та багатьох інших продемонстрували продуктивність аналітичного напрямку в розв'язанні теоретико-числових питань.

Для потреб теорії чисел були тепер використовувались такі сучасні розділи математики як: комплексний аналіз, теорія груп, теорія Галуа.

Вибрані проблеми теорії чисел

Одна з привабливих рис теорії чисел — це величезна кількість оманливо простих питань, які водночас належать до найглибших у математиці. Це означає, що будь-яка зацікавлена в математиці людина може вийти з новою і привабливою проблемою, формулювання якої не потребує спеціальних знань, і розпочати дослідження з неї, отримуючи попередні результати, але може статися, що повна відповідь невідома і вимагає цілком нових ідей, а часто і методів з зовсім інших галузей математики, деколи приводячи до виникнення цілого розділу математики.

Чимало питань теорії чисел залишаються відкритими протягом століть (наприклад, велика теорема Ферма), та навіть і тисячоліть (див. проблема конгруентних чисел). Це особливо стосується питань про прості числа. До того ж, будь-яка вже розв'язана проблема теорії чисел за невеликою зміною умов веде до нових, які можуть опинитися як набагато легшими, так і набагато важчими за початкове питання. В цьому можна пересвідчитися переглянувши наступну таблицю, у якій наведені деякі з багатьох відомих проблем теорії чисел, що рівною мірою захоплювали, і досі захоплюють, і аматорів, і величезних мислителів від глибокої античності і по цей час.

Проблема Опис Коментар
Довільно великі прості числа. Чи існують довільно великі прості числа? Як їх знаходити? Евклід довів існування нескінченної кількості простих чисел. Ератосфен надав метод перевірки на простоту за допомогою решета Ератосфена. Ефективні методи генерації великих простих чисел становлять надзвичайно великий інтерес у криптографії. У 2002 р. Агравал-Кайал-Саксена довели, що перевірка на простоту може бути виконана за поліноміальний час.
Факторизація цілих чисел. Розкласти дане ціле число у добуток простих. Завдяки запитам з криптографії, розроблено чимало методів, але невідомо, чи існує алгоритм факторизації за поліноміальний час. Шор винайшов такий алгоритм для квантового комп'ютера.
Досконалі числа Досконале число дорівнює сумі своїх власних дільників, . Найменші досконалі числа: та .

Знайти всі парні досконалі числа. Чи існують непарні досконалі числа?

Ейлер довів, що будь-яке парне досконале число має вигляд , де —просте число Мерсенна. Невідомо, чи скінченна множина Мерсеннових простих. Невідомо, чи існують непарні досконалі числа, але доведено, що якщо це так, то вони повинні бути надзвичайно великими.
Дружні числа. Два числа — дружні, якщо кожне з них дорівнює сумі дільників іншого, наприклад, відкриття яких приписується Піфагору.

Надати формули для знаходження дружніх чисел. Чи існують непарні дружні числа?

Табіт ібн Курра надав у 9 ст. правило для знаходження дружніх чисел, яке було перевідкрито Ферма і Декартом і узагальнено Ейлером, який також знайшов непарні дружні числа. Невідомо, чи існує нескінченна кількість дружніх чисел, але Боро висунув гіпотезу, що це так, і підтримав її обширними обчисленнями за допомогою комп'ютера.
abc гіпотеза Невідомо. Із abc гіпотези випливає велика теорема Ферма.
Гіпотеза Гольдбаха. Будь-яке парне натуральне число є сумою двох простих. Невідомо. Восьма проблема Гільберта.
Постулат Бертрана. Для будь-якого існує принаймні одне просте число між та . Доведений Чебишевим елементарними методами. В аналогічному питанні про існування простого між і (гіпотеза Лежандра[en]) очікується позитивна відповідь, але це ще не доведено.
Формула для простих чисел. Знайти формулу, яка надаватиме прості числа. Ейлер знайшов поліном , всі значення якого для  — прості. Загальна відповідь невідома, але вважається, що точної формули не існує. Поліном Матіясевича (від багатьох змінних) має властивість, що всі його додатні значення є простими.
Закон розподілу простих чисел. Знайти кількість простих чисел, менших за . Асимптотична форма закону доведена Адамаром і Ле Валле-Пуссеном за допомогою комплексного аналізу, а також Ердьошем і Сельбергом елементарними методами. Ріман відкрив явну формулу для через нулі дзета-функції .
Гіпотеза Рімана. Дійсна частина будь-якого нуля ріманової дзета-функції у смузі належать до прямої . Невідомо. Одна з проблем тисячоліття.
Прості числа-близнюки. Скінченна чи нескінченна множина пар простих чисел вигляду ? Невідомо. Але на відміну від всіх простих, ряд , розповсюджений на прості-близнюки, збігається. Також невідомо, чи скінченна множина простих Софі Жермен.
Арифметичні прогресії простих чисел. Чи існує нескінченно багато простих чисел вигляду , де  — дані взаємно прості числа?

Чи існує арифметична прогресія, яка складається виключно з простих чисел і довжина якої перевищує довільно велике натуральне число?

За теоремою Діріхле про прості в арифметичних прогресіях, доведенною у 19 ст., відповідь на перше питання — так.

Друге питання розв'язано у 2004 р. Беном Гріном і Теренсом Тао, і відповідь — так.

Трансцендентні числа Чи існують числа, які не задовільняють жодному алгебраїчному рівнянню з раціональними коефіцієнтами, трансцендентні числа? Алгебраїчні чи трансцендентні числа ? Перші трансцендентні числа знайшов Ліувілль за допомогою діофантових наближень. Трансцендентність доведена Ермітом, а  — Фердинандом фон Ліндеманом. З теореми Ліндемана випливає неможливість квадратури круга. Трансцендентність , де  — алгебраїчне число і  — дійсне ірраціональне число доведена Гельфондом і Шнайдером.
Піфагорові трійки. Знайти всі трійки цілих чисел, для яких виконується . Розв'язано за античних часів.
Велика теорема Ферма. Рівняння з не має розв'язків у цілих числах . Одна з найвпливовіших проблем в історії математики. Ферма навів доведення для і стверджував, що знайшов доведення у загальному випадку, яке або ніколи не існувало, або було втрачено. У 19 ст. докладно досліджена, передусім, Куммером, який довів її для всіх менших за за допомогою вивчення однозначності факторизації у циклотомічних полях.

Майже за 350 років після Ферма, у 1994 р. остаточно доведена Ендрю Вайлсом, який задля цього довів окремі випадки гіпотези Таніями-Шимури.

Рівняння Пелля. Знайти всі розв'язки рівняння у цілих числах. Розв'язано індійськими математиками, і незалежно і пізніше — європейськими. Якщо замінити праву частину на , ще й досі невідомо, для яких існуватиме розв'язок.
Представлення цілих чисел сумами квадратів. Визначити умови, за яких дане натуральне число є сумою квадратів і надати формулу для кількості представлень. Критерій представлення сумою двох квадратів було сформульовано Ферма і доведено Ейлером, для трьох квадратів маємо результат Гауса. За теоремою Лагранжа (18 ст.), будь-яке натуральне число є сумою чотирьох квадратів.

Питання кількості представлень вивчалося багатьма видатними математиками (Гаус, Якобі, Мінковський, Рамануджан), але повна відповідь відома лише для спеціальних значень та декількох інших. У 2005 р. Конен і Імамоглу досягли часткової відповіді для парних .

Розв'язання довільних діофантових рівнянь. Знайти алгоритм для з'ясування того, чи має дане діофантове рівняння розв'язки у цілих числах (десята проблема Гільберта). Неможливість існування такого алгоритму доведена Матіясевичем. Для довільного алгебраїчного числового поля, питання залишається відкритим (2007 р.).
Квадратичний закон взаємності Гауса. Якщо  — прості числа, то виконується , де символ Лежандра дорівняє якщо ціле  — квадрат , і в іншому випадку. Гаус надав принаймні шість доведень свого закону. Певні узагальнення на алгебраїчні числові поля було отримано Е.Артіном і Шафаревичем, але найзагальніший закон взаємності ще досі не знайдено (дев'ята проблема Гільберта[en]), хоча його існування випливає з гіпотез Ленглендса[en].
Однозначність факторизації цілих алгебраїчних чисел. Чи виконується у кільці , цілих циклотомічних чисел однозначність факторизації на прості множники? Те саме питання для цілих алгебраїчних чисел у квадратичному полі .
Спеціальні значення Знайти суму ряду для цілих значень . Ейлер точно обчислив у додатних парних точках і від'ємних непарних точках, довівши, що і  — раціональні числа (розглядання значень потребує належного обґрунтування, тому що ряд не збігається!) Ці результати Ейлера неодноразово узагальнювалися і вчинили величезний вплив на подальший розвиток теорії чисел. Точне значення не знайдено, але у 1978 р. Роже Апері елементарними методами довів його ірраціональність. Невідомо, чи раціональні , .
Арифметичні властивості коефіцієнтів аналітичних функцій. Дослідити арифметичні властивості коефіцієнтів Фур'є модулярних форм, наприклад форми Рамануджана . Рамануджан знайшов, але не довів, чимало властивостей функції , наприклад її мультиплікативність: , якщо  — взаємно-прості числа. Це було доведено Морделом і узагальнено Гекке. Досі невідомо, чи може дорівнювати нулю (гіпотеза Лемера).

Коефіцієнти мероморфних модулярних функцій, таких як Модулярний інваріант

цілком несподівано уявились пов'язані із найбільшою спорадичною скінченною простою групою[en] Монстром. Частину цього monstrous moonshine[en] довів Борчердс.

Дванадцята проблема Гільберта[en] Кронекер і Вебер довели, що будь-яке скінченне абелеве розширення поля раціональних чисел — циклтомічне, тобто міститься у полі , побудованому приєднанням значень експоненціальної функції.

Знайти функції, за допомогою яких можна побудувати абелеві розширення довільного числового поля (Дванадцята проблема Гільберта).

Якщо замінити раціональні числа на гаусові числа, чи, загальнішим чином, довільне уявне квадратичне поле , , то за теорією комплексного множення[en] належні функції — це модулярні функції щільно пов'язані з модулярним інваріантом . Відомі ще деякі узагальнення (Шимура[en], Мазур-Вайлс), але взагалі проблема залишається відкритою.
Гіпотеза Морделла. Рівняння , де  — поліном з раціональними коефіцієнтами і род відповідної алгебраїчної кривої більший за одиницю, має лише скінченну множину розв'язків у раціональних числах. «Загальний» поліном степені чотири і вище задовільняє умові гіпотези. Для степені два проблема була попередньо розв'язана Лежандром: розв'язків або взагалі не існує, або нескінченно багато, і є простий крітерій, який відрізняє ці випадки. Для степені три одержуємо еліптичну криву, для яких питання скінченності чи нескінченності числа розв'язків ще досі вивчаються. Гіпотеза Морделла була доведена у 1982 р. Фальтінгсом.
Гіпотези Вейля. Локальна дзета-функція гладкого алгебраїчного многовида над скінченним полем є раціональною функцією змінної , для якої виконується функціональне рівняння на зразок дзета-функції Рімана і аналог гіпотези Рімана. Раціональність дзета-функції доведена Гротендіком і Дворком[en], а гіпотеза Рімана — Делінем.

З цих результатів випливають явні формули і оцінки для числа точок на алгебраїчному многовиді над скінченним полем, які широко застосуються у конструкції алгебраїчно-геометричних кодів[en] і алгоритмах факторизації цілих чисел.

Гіпотеза Таніями-Шимури. Будь яка еліптична крива над є модулярною. Доведена Ендрю Вайлсом разом з його учнями і співпрацівниками. Робота Вайлса призвела до остаточного розв'язання великої теореми Ферма.


Розділи теорії чисел

Теорію чисел умовно поділяють за методами досліджень на такі розділи[джерело?]:

Елементарна теорія чисел

В елементарній теорії чисел, цілі числа вивчають без використання методів з вищої математики. До цього розділу відносять такі питання, як подільність цілих чисел, алгоритм Евкліда обчислення найбільшого спільного дільника, розклад числа на прості множники, досконалі числа, мала теорема Ферма, теорема Ейлера.

Алгебраїчна теорія чисел

Алгебраїчна теорія чисел розширює поняття числа. Алгебраїчне число — це корінь многочлена з раціональними коефіцієнтами. Місце цілих чисел посідають цілі алгебраїчні числа, тобто корені многочленів з цілими коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом . Поля алгебраїчних чисел називаються Алгебраїчними числовими полями чи скорочено числовими полями.

На відміну від цілих чисел, серед алгебраїчних чисел закон однозначності розкладу на прості множники може і не виконуватись.

Найпростіші числові поля — квадратичні поля, були вивчені ще Гаусом в теорії квадратичних форм. Їх також можна описати через ідеали та норми.

Вивчення ідеальних чисел узагальнилось в теорію ідеалів, започатковану Кумером та Дедекіндом.

Аналітична теорія чисел

Розділ теорії чисел, що використовує методи математичного аналізу. Прикладом є застосування комплексного аналізу для доведення теореми про розподіл простих чисел з використаннях дзета-функції Рімана.

Також проблемами аналітичної теорії чисел є: гіпотеза Гольдбаха, проблема Уоринга, гіпотеза Рімана. Важливим інструментом аналітичної теорії чисел є теорія модулярних форм.

Геометрична теорія чисел

Цей розділ статті ще не написано. Ви можете допомогти проєкту, написавши його. (серпень 2021)

Див. також

Література

  • Завало, С. Т.; Левіщенко, С. С.; Пилаєв, В. В.; Рокицький, І. О. (1983). Алгебра і теорія чисел. Практикум: у 2-х частинах. Київ: Вища Школа. 
  • Назаренко О. М., Панченко Т. І. Елементи теорії чисел. — Суми : Міністерство освіти і науки України, Сумський державний університет, 2003. — 204 с. — ISBN 9667668762.
  • Оглобліна О. І., Сушко Т. С., Шрамко С. В. Елементи теорії чисел : навчальний посібник. — Міністерство освіти і науки України, Сумський державний університет, 2015. — 185 с. — ISBN 9789666575848.
  • Сучасні дослідження з теорії чисел у доступному викладі для тих, хто цікавиться математикою : (збірник науково-популярних статей) / під ред. О Ганюшкіна. — Київ : Інститут математики НАН України, Національний педагогічний університет ім. М. Драгоманова, 2009. — 88 с. — ISBN 9789660253445.
  • Ivan M. Niven; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. An introduction to the theory of numbers (вид. reprint of the 5th edition 1991). John Wiley & Sons. ISBN 978-8-12-651811-1.  (англ.)
  • Kenneth Ireland; Michael Rosen (1998). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 84 (вид. 2). Springer. ISBN 978-0387973296.  (англ.)
  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М. : Наука, 1972. — 510 с. (рос.)
  • Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.-Л. : Гостехиздат, 1952. — 180 с. (рос.)


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoriya chisel abo visha arifmetika galuz matematiki yaka rozpochalas z vivchennya deyakih vlastivostej naturalnih chisel pov yazanih z pitannyami podilnosti i rozv yazannya algebrayichnih rivnyan u naturalnih a zgodom takozh cilih chislah V teoriyi chisel u shirokomu rozuminni rozglyadayutsya yak algebrayichni tak i transcendentni chisla a takozh funkciyi riznomanitnogo pohodzhennya yaki pov yazani z arifmetikoyu cilih chisel ta yih uzagalnen U doslidzhennyah z teoriyi chisel poryad z elementarnimi i algebrayichnimi metodami zastosovuyutsya takozh geometrichni i analitichni Zmist 1 Istoriya 1 1 Starodavnya Greciya 1 2 Serednovichchya 1 3 Ferma 1 4 Ejler 1 5 Lagranzh Lezhandr Gaus 1 6 Suchasna teoriya chisel 2 Vibrani problemi teoriyi chisel 3 Rozdili teoriyi chisel 3 1 Elementarna teoriya chisel 3 2 Algebrayichna teoriya chisel 3 3 Analitichna teoriya chisel 3 4 Geometrichna teoriya chisel 4 Div takozh 5 LiteraturaIstoriya RedaguvatiTeoriya chisel pohodit z dalekogo minulogo vavilonska glinyana tablichka Plimpton 322 18 st do n e mistit spisok cilih rozv yazkiv rivnyannya a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 piznishe nazvanih pifagorovimi trijkami chisla v nij dosit veliki shob buti znajdenimi prostim pereborom Starodavnya Greciya Redaguvati Vagomij vnesok do stanovlennya teoriyi chisel zrobili pifagorijci Evklid i Diofant Chastina knigi Evklida Nachala prisvyachena prostim chislam ta podilnosti chisel zokrema vin rozrobiv algoritm znahodzhennya najbilshogo spilnogo dilnika dvoh chisel algoritm Evklida ta doviv neskinchennist mnozhini prostih chisel Pitannya pro prosti chisla vid chasiv Evklida i po cej den skladayut odnu iz providnih tem v teoriyi chisel Diofant Aleksandrijskij na vidminu vid usih poperednih matematikiv starodavnoyi Greciyi sho rozv yazuvali zadachi klasichnoyi algebri opisuyuchi yih geometrichno vikoristovuvav algebrayichni termini dlya zadach yaki teper vidnosyatsya do algebrayichnoyi geometriyi Za sho vvijshov v istoriyu matematiki yak batko algebri U svoyij praci Arifmetika vin perelichuye opracovani zadachi iz znahodzhennya racionalnih rozv yazkiv dlya sistem polinomnih rivnyan Teper taki rivnyannya nazivayutsya diofantovimi Serednovichchya Redaguvati V pracyah Ariabhati zustrichayetsya analog algoritmu Evklida Bramagupta vivchav diofantovi rivnyannya drugogo stepenya zokrema rivnyannya yake piznishe nazvali rivnyannya Pellya Kitajski matematiki vidomi svoyeyu teoremoyu pro zalishki dlya dovedennya yakoyi potriben algoritm Evklida Bagato tvoriv greckih ta indijskih matematikiv buli perevedeni na arabsku v tomu chisli Arifmetika Diofanta ta Brama sphuta siddhanta Bramagupti Ce dalo pochatok matematici v arabskih krayinah V Yevropi za viklyuchennyam roboti Fibonachchi pro kvadrati v arifmetichnih progresiyah roboti po teoriyi chisel stali z yavlyatis tilki v period piznogo Renesansu pislya perekladu Arifmetiki Diofanta na latinu Ferma Redaguvati P yer Ferma 1601 1665 retelno vivchav Arifmetiku Diofanta spochatku jogo zacikavili doskonali ta druzhni chisla a potim diofantovi rivnyannya Dorobok Ferma v teoriyu chisel vklyuchaye Malu teoremu Ferma yaksho a displaystyle a ne dilitsya na proste chislo p displaystyle p todi a p 1 1 mod p displaystyle a p 1 equiv 1 pmod p Teoremu Ferma pro sumu dvoh kvadrativ yaksho a displaystyle a ta b displaystyle b vzayemno prosti todi a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 ne dilitsya ni na yake proste chislo sho rivne 1 displaystyle 1 po modulyu 4 displaystyle 4 Dovilne proste chislo rivne 1 displaystyle 1 po modulyu 4 displaystyle 4 mozhe buti zapisane v formi a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 formulyuvannya Velikoyi teoremi Ferma 1637 nemaye rozv yazku v cilih chislah rivnyannya x n y n z n displaystyle x n y n z n dlya vsih n 3 displaystyle n geq 3 Ferma naviv dovedennya dlya vipadku x 4 y 4 z 4 displaystyle x 4 y 4 z 4 Sprobi dovesti veliku teoremu Ferma viyavilisya nadzvichajno plidnimi dlya rozvitku teoriyi chisel voni prizveli do viniknennya algebrayichnoyi teoriyi chisel i pevnoyu miroyu abstraktnoyi algebri Ejler Redaguvati Leonard Ejler 1707 1783 pochav cikavitis teoriyeyu chisel cherez zadachi sho sformulovani Ferma Dorobok Ejlera v teoriyu chisel vklyuchaye Navedennya dovedennya dlya bagatoh zadach sformulovanih Ferma ta yih uzagalnennya Dovedennya velikoyi teoremi Ferma dlya vipadku x 3 y 3 z 3 displaystyle x 3 y 3 z 3 Zv yazok mizh rivnyannyam Pellya ta lancyugovimi drobami Nachala analitichnoyi teoriyi chisel suma chotiroh kvadrativ rozbittya chisla p yatikutni chisla rozpodil prostih chisel Znajshov zv yazkom mizh diofantovimi rivnyannyami ta eliptichnimi integralami Lagranzh Lezhandr Gaus Redaguvati Lagranzh 1736 1813 pershim uzagalniv roboti Ferma ta Ejlera vid vivchennya rivnyannya Pellya vin perejshov do kvadratichnih form Lezhandr 1752 1833 sformulyuvav kvadratichnij zakon vzayemnosti doviv veliku teoremu Ferma dlya n 5 displaystyle n 5 Gaus 1777 1855 v svoyij knizi Disquisitiones Arithmeticae 1798 doviv zakon kvadratichnoyi vzayemnosti zavershiv rozrobku teoriyi kvadratichnih form vviv poznachennya dlya rivnosti chisel po modulyu rozrobiv testi prostoti Suchasna teoriya chisel Redaguvati Roboti Galua Dirihle Rimana ta bagatoh inshih prodemonstruvali produktivnist analitichnogo napryamku v rozv yazanni teoretiko chislovih pitan Dlya potreb teoriyi chisel buli teper vikoristovuvalis taki suchasni rozdili matematiki yak kompleksnij analiz teoriya grup teoriya Galua Vibrani problemi teoriyi chisel RedaguvatiOdna z privablivih ris teoriyi chisel ce velichezna kilkist omanlivo prostih pitan yaki vodnochas nalezhat do najglibshih u matematici Ce oznachaye sho bud yaka zacikavlena v matematici lyudina mozhe vijti z novoyu i privablivoyu problemoyu formulyuvannya yakoyi ne potrebuye specialnih znan i rozpochati doslidzhennya z neyi otrimuyuchi poperedni rezultati ale mozhe statisya sho povna vidpovid nevidoma i vimagaye cilkom novih idej a chasto i metodiv z zovsim inshih galuzej matematiki dekoli privodyachi do viniknennya cilogo rozdilu matematiki Chimalo pitan teoriyi chisel zalishayutsya vidkritimi protyagom stolit napriklad velika teorema Ferma ta navit i tisyacholit div problema kongruentnih chisel Ce osoblivo stosuyetsya pitan pro prosti chisla Do togo zh bud yaka vzhe rozv yazana problema teoriyi chisel za nevelikoyu zminoyu umov vede do novih yaki mozhut opinitisya yak nabagato legshimi tak i nabagato vazhchimi za pochatkove pitannya V comu mozhna peresvidchitisya pereglyanuvshi nastupnu tablicyu u yakij navedeni deyaki z bagatoh vidomih problem teoriyi chisel sho rivnoyu miroyu zahoplyuvali i dosi zahoplyuyut i amatoriv i velicheznih misliteliv vid glibokoyi antichnosti i po cej chas Problema Opis KomentarDovilno veliki prosti chisla Chi isnuyut dovilno veliki prosti chisla Yak yih znahoditi Evklid doviv isnuvannya neskinchennoyi kilkosti prostih chisel Eratosfen nadav metod perevirki na prostotu za dopomogoyu resheta Eratosfena Efektivni metodi generaciyi velikih prostih chisel stanovlyat nadzvichajno velikij interes u kriptografiyi U 2002 r Agraval Kajal Saksena doveli sho perevirka na prostotu mozhe buti vikonana za polinomialnij chas Faktorizaciya cilih chisel Rozklasti dane cile chislo u dobutok prostih Zavdyaki zapitam z kriptografiyi rozrobleno chimalo metodiv ale nevidomo chi isnuye algoritm faktorizaciyi za polinomialnij chas Shor vinajshov takij algoritm dlya kvantovogo komp yutera Doskonali chisla Doskonale chislo dorivnyuye sumi svoyih vlasnih dilnikiv n s n n displaystyle n sigma n n Najmenshi doskonali chisla 6 1 2 3 displaystyle 6 1 2 3 ta 28 1 2 4 7 14 displaystyle 28 1 2 4 7 14 Znajti vsi parni doskonali chisla Chi isnuyut neparni doskonali chisla Ejler doviv sho bud yake parne doskonale chislo maye viglyad n 2 p 1 2 p 1 displaystyle n 2 p 1 2 p 1 de 2 p 1 displaystyle 2 p 1 proste chislo Mersenna Nevidomo chi skinchenna mnozhina Mersennovih prostih Nevidomo chi isnuyut neparni doskonali chisla ale dovedeno sho yaksho ce tak to voni povinni buti nadzvichajno velikimi Druzhni chisla Dva chisla druzhni yaksho kozhne z nih dorivnyuye sumi dilnikiv inshogo s A A B s B displaystyle sigma A A B sigma B napriklad 220 284 displaystyle 220 284 vidkrittya yakih pripisuyetsya Pifagoru Nadati formuli dlya znahodzhennya druzhnih chisel Chi isnuyut neparni druzhni chisla Tabit ibn Kurra nadav u 9 st pravilo dlya znahodzhennya druzhnih chisel yake bulo perevidkrito Ferma i Dekartom i uzagalneno Ejlerom yakij takozh znajshov neparni druzhni chisla Nevidomo chi isnuye neskinchenna kilkist druzhnih chisel ale Boro visunuv gipotezu sho ce tak i pidtrimav yiyi obshirnimi obchislennyami za dopomogoyu komp yutera abc gipoteza Nevidomo Iz abc gipotezi viplivaye velika teorema Ferma Gipoteza Goldbaha Bud yake parne naturalne chislo n 4 displaystyle n geq 4 ye sumoyu dvoh prostih Nevidomo Vosma problema Gilberta Postulat Bertrana Dlya bud yakogo n 2 displaystyle n geq 2 isnuye prinajmni odne proste chislo mizh n displaystyle n ta 2 n displaystyle 2n Dovedenij Chebishevim elementarnimi metodami V analogichnomu pitanni pro isnuvannya prostogo mizh n 2 displaystyle n 2 i n 1 2 displaystyle n 1 2 gipoteza Lezhandra en ochikuyetsya pozitivna vidpovid ale ce she ne dovedeno Formula dlya prostih chisel Znajti formulu yaka nadavatime prosti chisla Ejler znajshov polinom p n n 2 n 41 displaystyle p n n 2 n 41 vsi znachennya yakogo dlya 0 n 39 displaystyle 0 leq n leq 39 prosti Zagalna vidpovid nevidoma ale vvazhayetsya sho tochnoyi formuli ne isnuye Polinom Matiyasevicha vid bagatoh zminnih maye vlastivist sho vsi jogo dodatni znachennya ye prostimi Zakon rozpodilu prostih chisel Znajti kilkist p n displaystyle pi n prostih chisel menshih za n displaystyle n Asimptotichna forma zakonu p n n ln n displaystyle pi n sim frac n ln n dovedena Adamarom i Le Valle Pussenom za dopomogoyu kompleksnogo analizu a takozh Erdoshem i Selbergom elementarnimi metodami Riman vidkriv yavnu formulu dlya p n displaystyle pi n cherez nuli dzeta funkciyi z s displaystyle zeta s Gipoteza Rimana Dijsna chastina bud yakogo nulya rimanovoyi dzeta funkciyi z s displaystyle zeta s u smuzi 0 lt R e s lt 1 displaystyle 0 lt Re s lt 1 nalezhat do pryamoyi R e s 1 2 displaystyle Re s frac 1 2 Nevidomo Odna z problem tisyacholittya Prosti chisla bliznyuki Skinchenna chi neskinchenna mnozhina par prostih chisel viglyadu n 1 displaystyle n pm 1 Nevidomo Ale na vidminu vid vsih prostih ryad 1 p displaystyle sum frac 1 p rozpovsyudzhenij na prosti bliznyuki zbigayetsya Takozh nevidomo chi skinchenna mnozhina prostih Sofi Zhermen Arifmetichni progresiyi prostih chisel Chi isnuye neskinchenno bagato prostih chisel viglyadu a n b displaystyle an b de a b displaystyle a b dani vzayemno prosti chisla Chi isnuye arifmetichna progresiya yaka skladayetsya viklyuchno z prostih chisel i dovzhina yakoyi perevishuye dovilno velike naturalne chislo Za teoremoyu Dirihle pro prosti v arifmetichnih progresiyah dovedennoyu u 19 st vidpovid na pershe pitannya tak Druge pitannya rozv yazano u 2004 r Benom Grinom i Terensom Tao i vidpovid tak Transcendentni chisla Chi isnuyut chisla yaki ne zadovilnyayut zhodnomu algebrayichnomu rivnyannyu z racionalnimi koeficiyentami transcendentni chisla Algebrayichni chi transcendentni chisla e p ln 2 2 2 displaystyle e pi ln 2 sqrt 2 sqrt 2 Pershi transcendentni chisla znajshov Liuvill za dopomogoyu diofantovih nablizhen Transcendentnist e displaystyle e dovedena Ermitom a p displaystyle pi Ferdinandom fon Lindemanom Z teoremi Lindemana viplivaye nemozhlivist kvadraturi kruga Transcendentnist a b displaystyle a b de a 0 1 displaystyle a neq 0 1 algebrayichne chislo i b displaystyle b dijsne irracionalne chislo dovedena Gelfondom i Shnajderom Pifagorovi trijki Znajti vsi trijki a b c displaystyle a b c cilih chisel dlya yakih vikonuyetsya a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 Rozv yazano za antichnih chasiv Velika teorema Ferma Rivnyannya a n b n c n displaystyle a n b n c n z n 3 displaystyle n geq 3 ne maye rozv yazkiv u cilih chislah a b c 0 displaystyle a b c neq 0 Odna z najvplivovishih problem v istoriyi matematiki Ferma naviv dovedennya dlya n 4 displaystyle n 4 i stverdzhuvav sho znajshov dovedennya u zagalnomu vipadku yake abo nikoli ne isnuvalo abo bulo vtracheno U 19 st dokladno doslidzhena peredusim Kummerom yakij doviv yiyi dlya vsih n displaystyle n menshih za 100 displaystyle 100 za dopomogoyu vivchennya odnoznachnosti faktorizaciyi u ciklotomichnih polyah Majzhe za 350 rokiv pislya Ferma u 1994 r ostatochno dovedena Endryu Vajlsom yakij zadlya cogo doviv okremi vipadki gipotezi Taniyami Shimuri Rivnyannya Pellya Znajti vsi rozv yazki rivnyannya x 2 d y 2 1 displaystyle x 2 dy 2 1 u cilih chislah Rozv yazano indijskimi matematikami i nezalezhno i piznishe yevropejskimi Yaksho zaminiti pravu chastinu na 1 displaystyle 1 she j dosi nevidomo dlya yakih d displaystyle d isnuvatime rozv yazok Predstavlennya cilih chisel sumami kvadrativ Viznachiti umovi za yakih dane naturalne chislo n displaystyle n ye sumoyu k displaystyle k kvadrativ i nadati formulu dlya kilkosti predstavlen Kriterij predstavlennya sumoyu dvoh kvadrativ bulo sformulovano Ferma i dovedeno Ejlerom dlya troh kvadrativ mayemo rezultat Gausa Za teoremoyu Lagranzha 18 st bud yake naturalne chislo ye sumoyu chotiroh kvadrativ Pitannya kilkosti predstavlen vivchalosya bagatma vidatnimi matematikami Gaus Yakobi Minkovskij Ramanudzhan ale povna vidpovid vidoma lishe dlya specialnih znachen k 2 4 8 24 displaystyle k 2 4 8 24 ta dekilkoh inshih U 2005 r Konen i Imamoglu dosyagli chastkovoyi vidpovidi dlya parnih k displaystyle k Rozv yazannya dovilnih diofantovih rivnyan Znajti algoritm dlya z yasuvannya togo chi maye dane diofantove rivnyannya rozv yazki u cilih chislah desyata problema Gilberta Nemozhlivist isnuvannya takogo algoritmu dovedena Matiyasevichem Dlya dovilnogo algebrayichnogo chislovogo polya pitannya zalishayetsya vidkritim 2007 r Kvadratichnij zakon vzayemnosti Gausa Yaksho p q displaystyle p neq q prosti chisla to vikonuyetsya p q q p 1 p 1 q 1 2 displaystyle left frac p q right left frac q p right 1 frac p 1 q 1 2 de simvol Lezhandra p q displaystyle left frac p q right dorivnyaye 1 displaystyle 1 yaksho cile p displaystyle p kvadrat mod q displaystyle operatorname mod q i 1 displaystyle 1 v inshomu vipadku Gaus nadav prinajmni shist doveden svogo zakonu Pevni uzagalnennya na algebrayichni chislovi polya bulo otrimano E Artinom i Shafarevichem ale najzagalnishij zakon vzayemnosti she dosi ne znajdeno dev yata problema Gilberta en hocha jogo isnuvannya viplivaye z gipotez Lenglendsa en Odnoznachnist faktorizaciyi cilih algebrayichnih chisel Chi vikonuyetsya u kilci R Z z displaystyle R mathbb Z zeta z e 2 p i n displaystyle zeta e frac 2 pi i n cilih ciklotomichnih chisel odnoznachnist faktorizaciyi na prosti mnozhniki Te same pitannya dlya cilih algebrayichnih chisel u kvadratichnomu poli Q D displaystyle mathbb Q sqrt D Specialni znachennya z m m Z displaystyle zeta m m in mathbb Z Znajti sumu ryadu z m 1 n m displaystyle zeta m sum frac 1 n m dlya cilih znachen m displaystyle m Ejler tochno obchisliv z m displaystyle zeta m u dodatnih parnih tochkah i vid yemnih neparnih tochkah dovivshi sho z 2 k p 2 k displaystyle zeta 2k pi 2k i z 1 2 k displaystyle zeta 1 2k racionalni chisla rozglyadannya znachen z 1 2 k displaystyle zeta 1 2k potrebuye nalezhnogo obgruntuvannya tomu sho ryad ne zbigayetsya Ci rezultati Ejlera neodnorazovo uzagalnyuvalisya i vchinili velicheznij vpliv na podalshij rozvitok teoriyi chisel Tochne znachennya z 3 displaystyle zeta 3 ne znajdeno ale u 1978 r Rozhe Aperi elementarnimi metodami doviv jogo irracionalnist Nevidomo chi racionalni z 2 k 1 displaystyle zeta 2k 1 k 2 displaystyle k geq 2 Arifmetichni vlastivosti koeficiyentiv analitichnih funkcij Dosliditi arifmetichni vlastivosti koeficiyentiv Fur ye modulyarnih form napriklad formi Ramanudzhana D q k 1 1 q k 24 n 1 t n q n displaystyle Delta q prod k geq 1 1 q k 24 sum n geq 1 tau n q n Ramanudzhan znajshov ale ne doviv chimalo vlastivostej funkciyi t n displaystyle tau n napriklad yiyi multiplikativnist t m n t m t n displaystyle tau mn tau m tau n yaksho m n displaystyle m n vzayemno prosti chisla Ce bulo dovedeno Mordelom i uzagalneno Gekke Dosi nevidomo chi mozhe t n displaystyle tau n dorivnyuvati nulyu gipoteza Lemera Koeficiyenti meromorfnih modulyarnih funkcij takih yak Modulyarnij invariant j q 1 744 196884 q displaystyle j q 1 744 196884q ldots cilkom nespodivano uyavilis pov yazani iz najbilshoyu sporadichnoyu skinchennoyu prostoyu grupoyu en Monstrom Chastinu cogo monstrous moonshine en doviv Borcherds Dvanadcyata problema Gilberta en Kroneker i Veber doveli sho bud yake skinchenne abeleve rozshirennya polya Q displaystyle mathbb Q racionalnih chisel cikltomichne tobto mistitsya u poli Q exp 2 p i n displaystyle mathbb Q exp 2 pi i n pobudovanomu priyednannyam znachen eksponencialnoyi funkciyi Znajti funkciyi za dopomogoyu yakih mozhna pobuduvati abelevi rozshirennya dovilnogo chislovogo polya K displaystyle mathbb K Dvanadcyata problema Gilberta Yaksho zaminiti racionalni chisla na gausovi chisla chi zagalnishim chinom dovilne uyavne kvadratichne pole Q D displaystyle mathbb Q sqrt D D lt 0 displaystyle D lt 0 to za teoriyeyu kompleksnogo mnozhennya en nalezhni funkciyi ce modulyarni funkciyi shilno pov yazani z modulyarnim invariantom j displaystyle j Vidomi she deyaki uzagalnennya Shimura en Mazur Vajls ale vzagali problema zalishayetsya vidkritoyu Gipoteza Mordella Rivnyannya f x y 0 displaystyle f x y 0 de f x y displaystyle f x y polinom z racionalnimi koeficiyentami i rod vidpovidnoyi algebrayichnoyi krivoyi bilshij za odinicyu maye lishe skinchennu mnozhinu rozv yazkiv u racionalnih chislah Zagalnij polinom stepeni chotiri i vishe zadovilnyaye umovi gipotezi Dlya stepeni dva problema bula poperedno rozv yazana Lezhandrom rozv yazkiv abo vzagali ne isnuye abo neskinchenno bagato i ye prostij kriterij yakij vidriznyaye ci vipadki Dlya stepeni tri oderzhuyemo eliptichnu krivu dlya yakih pitannya skinchennosti chi neskinchennosti chisla rozv yazkiv she dosi vivchayutsya Gipoteza Mordella bula dovedena u 1982 r Faltingsom Gipotezi Vejlya Lokalna dzeta funkciya Z t displaystyle Z t gladkogo algebrayichnogo mnogovida nad skinchennim polem ye racionalnoyu funkciyeyu zminnoyi t displaystyle t dlya yakoyi vikonuyetsya funkcionalne rivnyannya na zrazok dzeta funkciyi Rimana i analog gipotezi Rimana Racionalnist dzeta funkciyi dovedena Grotendikom i Dvorkom en a gipoteza Rimana Delinem Z cih rezultativ viplivayut yavni formuli i ocinki dlya chisla tochok na algebrayichnomu mnogovidi nad skinchennim polem yaki shiroko zastosuyutsya u konstrukciyi algebrayichno geometrichnih kodiv en i algoritmah faktorizaciyi cilih chisel Gipoteza Taniyami Shimuri Bud yaka eliptichna kriva nad Q displaystyle mathbb Q ye modulyarnoyu Dovedena Endryu Vajlsom razom z jogo uchnyami i spivpracivnikami Robota Vajlsa prizvela do ostatochnogo rozv yazannya velikoyi teoremi Ferma Rozdili teoriyi chisel RedaguvatiTeoriyu chisel umovno podilyayut za metodami doslidzhen na taki rozdili dzherelo Elementarna teoriya chisel Redaguvati V elementarnij teoriyi chisel cili chisla vivchayut bez vikoristannya metodiv z vishoyi matematiki Do cogo rozdilu vidnosyat taki pitannya yak podilnist cilih chisel algoritm Evklida obchislennya najbilshogo spilnogo dilnika rozklad chisla na prosti mnozhniki doskonali chisla mala teorema Ferma teorema Ejlera Algebrayichna teoriya chisel Redaguvati Algebrayichna teoriya chisel rozshiryuye ponyattya chisla Algebrayichne chislo ce korin mnogochlena z racionalnimi koeficiyentami Misce cilih chisel posidayut cili algebrayichni chisla tobto koreni mnogochleniv z cilimi koeficiyentami i starshim koeficiyentom 1 displaystyle 1 Polya algebrayichnih chisel nazivayutsya Algebrayichnimi chislovimi polyami chi skorocheno chislovimi polyami Na vidminu vid cilih chisel sered algebrayichnih chisel zakon odnoznachnosti rozkladu na prosti mnozhniki mozhe i ne vikonuvatis Najprostishi chislovi polya kvadratichni polya buli vivcheni she Gausom v teoriyi kvadratichnih form Yih takozh mozhna opisati cherez ideali ta normi Vivchennya idealnih chisel uzagalnilos v teoriyu idealiv zapochatkovanu Kumerom ta Dedekindom Analitichna teoriya chisel Redaguvati Rozdil teoriyi chisel sho vikoristovuye metodi matematichnogo analizu Prikladom ye zastosuvannya kompleksnogo analizu dlya dovedennya teoremi pro rozpodil prostih chisel z vikoristannyah dzeta funkciyi Rimana Takozh problemami analitichnoyi teoriyi chisel ye gipoteza Goldbaha problema Uoringa gipoteza Rimana Vazhlivim instrumentom analitichnoyi teoriyi chisel ye teoriya modulyarnih form Geometrichna teoriya chisel Redaguvati Cej rozdil statti she ne napisano Vi mozhete dopomogti proyektu napisavshi jogo serpen 2021 Div takozh Redaguvati Portal Matematika Vidkriti matematichni pitannya Harakter DirihleLiteratura RedaguvatiUkrayinskoyuZavalo S T Levishenko S S Pilayev V V Rokickij I O 1983 Algebra i teoriya chisel Praktikum u 2 h chastinah Kiyiv Visha Shkola Nazarenko O M Panchenko T I Elementi teoriyi chisel Sumi Ministerstvo osviti i nauki Ukrayini Sumskij derzhavnij universitet 2003 204 s ISBN 9667668762 Ogloblina O I Sushko T S Shramko S V Elementi teoriyi chisel navchalnij posibnik Ministerstvo osviti i nauki Ukrayini Sumskij derzhavnij universitet 2015 185 s ISBN 9789666575848 Suchasni doslidzhennya z teoriyi chisel u dostupnomu vikladi dlya tih hto cikavitsya matematikoyu zbirnik naukovo populyarnih statej pid red O Ganyushkina Kiyiv Institut matematiki NAN Ukrayini Nacionalnij pedagogichnij universitet im M Dragomanova 2009 88 s ISBN 9789660253445 Inshimi movamiIvan M Niven Herbert S Zuckerman Hugh L Montgomery 2008 1960 An introduction to the theory of numbers vid reprint of the 5th edition 1991 John Wiley amp Sons ISBN 978 8 12 651811 1 accessdate vimagaye url dovidka angl Kenneth Ireland Michael Rosen 1998 A Classical Introduction to Modern Number Theory Graduate Texts in Mathematics 84 vid 2 Springer ISBN 978 0387973296 accessdate vimagaye url dovidka angl Borevich Z I Shafarevich I R Teoriya chisel M Nauka 1972 510 s ros Vinogradov I M Osnovy teorii chisel M L Gostehizdat 1952 180 s ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoriya chisel amp oldid 38392387