www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гіпотеза Ґольдбаха У математиці гіпотезою Ґольдбаха це одна з найстаріших нерозв язаних задач в теорії чисел і в математ

Гіпотеза Ґольдбаха

У математиці гіпотезою Ґольдбаха — це одна з найстаріших нерозв'язаних задач в теорії чисел і в математиці. Ця гіпотеза стверджує, що:

До прикладу:

і так далі. Цю гіпотезу було продемонстровано для всіх чисел, менших ніж 4×1018, однак досі невідомо, чи вона правдива для більших чисел.

Історія Редагувати

У 1742 році прусський математик Християн Ґольдбах написав лист Леонарду Ейлеру, в якому він висловив таке припущення:

Ейлер зацікавився проблемою й висунув сильнішу гіпотезу:

Перше твердження називається тернарною (або слабкою) проблемою Ґольдбаха, друге — бінарною проблемою Ґольдбаха.

Тернарна проблема Ґольдбаха Редагувати

Тернарна проблема Ґольдбаха формулюється так:

Наприклад

І так далі. Остаточне доведення цієї гіпотези було викладено перуанським математиком Гаральдом Гельґоттом, хоча публікація цього доведення в науковому журналі досі проходить рецензію.

Історія доведення тернарної проблеми Редагувати

У 1923 році математики Гарді і Літлвуд показали, що у разі справедливості деякого узагальнення гіпотези Рімана, гіпотеза Ґольдбаха буде справедливою для всіх досить великих непарних чисел. У 1937 році радянський математик Іван Виноградов подав доведення того ж твердження, незалежне від справедливості гіпотези Рімана, тобто довів, що будь-яке достатньо велике непарне число може бути подано у виді суми трьох простих.

Надалі результат Виноградова багато разів покращували, поки в 1989 році Ванг і Чен не опустили нижню межу до . Однак, як і раніше, пряма перевірка всіх менших чисел залишалася за межами можливостей наявної обчислювальної техніки.

У 1997 році Дезуйе, Еффінгер, Те Ріле і Зінов'єв показали, що з узагальненої гіпотези Рімана випливає справедливість слабкої проблеми Гольдбаха. Вони довели її справедливість для чисел, що перевищують , тоді як справедливість твердження для менших чисел легко встановлюється на комп'ютері.

Станом на 2018 рік, математична спільнота вцілому прийняла доведення Гаральда Гельґотта як правдиве.

Бінарна проблема Ґольдбаха Редагувати

Бінарна проблема Ґольдбаха формулюється так:

Бінарна проблема Ґольдбаха далека від вирішення.

Виноградов у 1937 році і Теодор Естерман у 1938 показали, що майже всі парні числа можна записати у вигляді суми двох простих чисел: частка тих чисел, які не задовольняють цій властивості (якщо вони існують), прямує до нуля. Цей результат трохи посилили 1975 року Х'ю Монтгомері (англ. Hugh Montgomery) і Роберт Чарльз Воган (англ. Robert Charles Vaughan). Вони показали, що існують такі додатні константи c і C, що кількість парних чисел, не більших N, які не є сумою двох простих чисел, не перевищує . У 1995 році Олів'є Рамаре (англ. Olivier Ramaré) довів, що будь-яке парне число є сумою не більше 6 простих чисел.

У 1966 році Чень Цзінжунь (Chen Jingrun) довів, що будь-яке достатньо велике парне число є або сумою двох простих чисел, або сумою простого числа й напівпростого числа (добутку двох простих чисел). Наприклад, .

Слабші результати, пов'язані з гіпотезою Гольдбаха Редагувати

  • 1920 Віґґо Брун довів, що будь-яке достатньо велике парне число може бути представлено у вигляді суми двох чисел не більше як із 9-ти простих дільників.
  • 1923 Харді та Літлвуд довели, що коли вірне деяке узагальнення гіпотези Рімана, то для достатньо великих непарних цілих чисел вірна й тернарна проблема Гольдбаха.
  • 1930 Шнірельман довів, що будь-яке ціле число може бути представлено у вигляді суми не більше ніж 800 000 простих чисел.
  • 1937 Чудаков довів, що «майже всі» парні цілі числа можуть бути представлені як сума двох простих чисел, тобто, що асимптотична щільність множини тих парних цілих чисел, які неможливо записати як суму двох простих, дорівнює 0.
  • 1937 Виноградов довів, що будь-яке досить велике непарне число може бути представлено у вигляді суми трьох простих чисел. Математик Бороздкін у 1939 році оцінив це досить велике число як таке, що не перевищую .
  • 1938 Хуа Луоген довів таке послаблення слабкої гіпотези Гольдбаха: для деякого натурального числа k, будь-яке досить велике непарне число може представлятись як . При k = 1 це слаба гіпотеза Гольдбаха.
  • 1947 Альфред Рен'ї (Alfréd Rényi) довів, що існує така константа , що будь-яке ціле число може бути представлено як сума простого числа та числа, у якого не більше простих дільників.
  • 1951 Ліник довів, що існує така константа , що будь-яке парне ціле число може бути представлено як сума двох простих чисел та не більше степенів двійки. У 2003 році Pintz й Ruzsa встановили, що
  • 1966 Чень Цзінжунь встановив, що будь-яке досить велике парне ціле число може бути представлено як сума або двох простих чисел, або простого та напівпростого чисел.
  • 1975 Хью Монтгомері та Роберт Чарльз Воган показали, що існує пара констант та таких, що кількість парних чисел, не більших , які не є сумою двох простих чисел, не перевищує
  • У 1989 році Ван і Чень опустили межу, яку встановив раніше Виноградов до
  • 1995 Олів'є Рамаре (Olivier Ramaré) довів, що будь-яке парне ціле число може бути представлено як сума не більше, ніж 6 простих чисел.
  • 1997 Дезуйе, Ефінгер, те Ріле та Зинов'єв довели, що для чисел не менших за з узагальненої гіпотези Рімана випливає справедливість слабкої проблеми Гольдбаха.
  • 2012 Теренс Тао покращив результат Олів'є Рамаре й довів, що будь-яке непарне число, більше ніж 1, може бути записано як сума не більш як п'яти простих чисел.
  • 2013 Гаральд Гельфготт опублікував працю, у якій стверджував, що будь-яке непарне ціле число, більше за , може бути записано як сума трьох простих чисел, втім, перевірка його праці станом на 2018 рік ще тривала.

Із результату Гаральда Гельфготта (якщо він виявиться вірним), випливає, що будь-яке парне число, більше за 8, може бути представлено як сума 2 чи 4-х простих чисел, тому що парне число , яке не є сумою двох простих, можна переписати як , де перший доданок є сумою трьох простих чисел за Хельфготом, а другий — 3 — є також простим; а отже парне число може бути представлено як сума не більш ніж 4 простих. Для 4, 6 та 8 це вірно.

Примітки Редагувати

  1. Oliveira e Silva, Tomás. Goldbach conjecture verification. sweet.ua.pt. 
  2. Helfgott, Harald A. (2015). «The ternary Goldbach problem». arXiv:1501.05438 [math.NT]. 
  3. ↑ Harald Andrés Helfgott - Alexander von Humboldt-Foundation. www.humboldt-foundation.de. оригіналу за 24 серпня 2022. Процитовано 24 серпня 2022. 
  4. Helfgott, Harald A. (2013). «The ternary Goldbach conjecture is true». arXiv:1312.7748 [math.NT]. 

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici gipotezoyu Goldbaha ce odna z najstarishih nerozv yazanih zadach v teoriyi chisel i v matematici Cya gipoteza stverdzhuye sho Dovilne parne chislo ne menshe chotiroh mozhna podati u viglyadi sumi dvoh prostih chisel Do prikladu 4 2 2 displaystyle 4 2 2 6 3 3 displaystyle 6 3 3 8 3 5 displaystyle 8 3 5 10 3 7 5 5 displaystyle 10 3 7 5 5 12 5 7 displaystyle 12 5 7 14 3 11 7 7 displaystyle 14 3 11 7 7 i tak dali Cyu gipotezu bulo prodemonstrovano 1 dlya vsih chisel menshih nizh 4 1018 odnak dosi nevidomo chi vona pravdiva dlya bilshih chisel Zmist 1 Istoriya 2 Ternarna problema Goldbaha 2 1 Istoriya dovedennya ternarnoyi problemi 3 Binarna problema Goldbaha 4 Slabshi rezultati pov yazani z gipotezoyu Goldbaha 5 Primitki 6 PosilannyaIstoriya RedaguvatiU 1742 roci prusskij matematik Hristiyan Goldbah napisav list Leonardu Ejleru v yakomu vin visloviv take pripushennya Kozhne neparne chislo bilshe 5 mozhna predstaviti u viglyadi sumi troh prostih chisel Ejler zacikavivsya problemoyu j visunuv silnishu gipotezu Dovilne parne chislo bilshe dvoh mozhna predstaviti u viglyadi sumi dvoh prostih chisel Pershe tverdzhennya nazivayetsya ternarnoyu abo slabkoyu problemoyu Goldbaha druge binarnoyu problemoyu Goldbaha Ternarna problema Goldbaha RedaguvatiDokladnishe Ternarna problema GoldbahaTernarna problema Goldbaha formulyuyetsya tak Dovilne neparne chislo ne menshe 7 mozhna zapisati u viglyadi sumi troh prostih chisel Napriklad 7 3 2 2 displaystyle 7 3 2 2 nbsp 9 3 3 3 displaystyle 9 3 3 3 nbsp I tak dali Ostatochne dovedennya ciyeyi gipotezi bulo vikladeno peruanskim matematikom Garaldom Gelgottom 2 hocha publikaciya cogo dovedennya v naukovomu zhurnali dosi prohodit recenziyu Istoriya dovedennya ternarnoyi problemi Redaguvati U 1923 roci matematiki Gardi i Litlvud pokazali sho u razi spravedlivosti deyakogo uzagalnennya gipotezi Rimana gipoteza Goldbaha bude spravedlivoyu dlya vsih dosit velikih neparnih chisel U 1937 roci radyanskij matematik Ivan Vinogradov podav dovedennya togo zh tverdzhennya nezalezhne vid spravedlivosti gipotezi Rimana tobto doviv sho bud yake dostatno velike neparne chislo mozhe buti podano u vidi sumi troh prostih Nadali rezultat Vinogradova bagato raziv pokrashuvali poki v 1989 roci Vang i Chen ne opustili nizhnyu mezhu do e e 11 503 3 33 10 43000 displaystyle mathrm e mathrm e 11 503 approx 3 33 cdot 10 43000 nbsp Odnak yak i ranishe pryama perevirka vsih menshih chisel zalishalasya za mezhami mozhlivostej nayavnoyi obchislyuvalnoyi tehniki U 1997 roci Dezuje Effinger Te Rile i Zinov yev pokazali sho z uzagalnenoyi gipotezi Rimana viplivaye spravedlivist slabkoyi problemi Goldbaha Voni doveli yiyi spravedlivist dlya chisel sho perevishuyut 10 20 displaystyle 10 20 nbsp todi yak spravedlivist tverdzhennya dlya menshih chisel legko vstanovlyuyetsya na komp yuteri Stanom na 2018 rik matematichna spilnota vcilomu prijnyala dovedennya Garalda Gelgotta yak pravdive 3 Binarna problema Goldbaha RedaguvatiBinarna problema Goldbaha formulyuyetsya tak Dovilne parne chislo bilshe dvoh mozhna podati u viglyadi sumi dvoh prostih chisel Binarna problema Goldbaha daleka vid virishennya Vinogradov u 1937 roci i Teodor Esterman u 1938 pokazali sho majzhe vsi parni chisla mozhna zapisati u viglyadi sumi dvoh prostih chisel chastka tih chisel yaki ne zadovolnyayut cij vlastivosti yaksho voni isnuyut pryamuye do nulya Cej rezultat trohi posilili 1975 roku H yu Montgomeri angl Hugh Montgomery i Robert Charlz Vogan angl Robert Charles Vaughan Voni pokazali sho isnuyut taki dodatni konstanti c i C sho kilkist parnih chisel ne bilshih N yaki ne ye sumoyu dvoh prostih chisel ne perevishuye C N 1 c displaystyle CN 1 c nbsp U 1995 roci Oliv ye Ramare angl Olivier Ramare doviv sho bud yake parne chislo ye sumoyu ne bilshe 6 prostih chisel U 1966 roci Chen Czinzhun Chen Jingrun doviv sho bud yake dostatno velike parne chislo ye abo sumoyu dvoh prostih chisel abo sumoyu prostogo chisla j napivprostogo chisla dobutku dvoh prostih chisel Napriklad 100 23 7 11 displaystyle 100 23 7 cdot 11 nbsp Slabshi rezultati pov yazani z gipotezoyu Goldbaha Redaguvati1920 Viggo Brun doviv sho bud yake dostatno velike parne chislo mozhe buti predstavleno u viglyadi sumi dvoh chisel ne bilshe yak iz 9 ti prostih dilnikiv 1923 Hardi ta Litlvud doveli sho koli virne deyake uzagalnennya gipotezi Rimana to dlya dostatno velikih neparnih cilih chisel virna j ternarna problema Goldbaha 1930 Shnirelman doviv sho bud yake cile chislo mozhe buti predstavleno u viglyadi sumi ne bilshe nizh 800 000 prostih chisel 1937 Chudakov doviv sho majzhe vsi parni cili chisla mozhut buti predstavleni yak suma dvoh prostih chisel tobto sho asimptotichna shilnist mnozhini tih parnih cilih chisel yaki nemozhlivo zapisati yak sumu dvoh prostih dorivnyuye 0 1937 Vinogradov doviv sho bud yake dosit velike neparne chislo mozhe buti predstavleno u viglyadi sumi troh prostih chisel Matematik Borozdkin u 1939 roci ociniv ce dosit velike chislo yak take sho ne perevishuyu e e e 41 94 e 3 42458 10 7 114 10 17 displaystyle mathrm e mathrm e mathrm e 41 94 approx mathrm e 3 42458 cdot 10 7 114 cdot 10 17 nbsp 1938 Hua Luogen doviv take poslablennya slabkoyi gipotezi Goldbaha dlya deyakogo naturalnogo chisla k bud yake dosit velike neparne chislo mozhe predstavlyatis yak p 1 p 2 p 3 k displaystyle p 1 p 2 p 3 k nbsp Pri k 1 ce slaba gipoteza Goldbaha 1947 Alfred Ren yi Alfred Renyi doviv sho isnuye taka konstanta K displaystyle K nbsp sho bud yake cile chislo mozhe buti predstavleno yak suma prostogo chisla ta chisla u yakogo ne bilshe K displaystyle K nbsp prostih dilnikiv 1951 Linik doviv sho isnuye taka konstanta K displaystyle K nbsp sho bud yake parne cile chislo mozhe buti predstavleno yak suma dvoh prostih chisel ta ne bilshe K displaystyle K nbsp stepeniv dvijki U 2003 roci Pintz j Ruzsa vstanovili sho K lt 8 displaystyle K lt 8 nbsp 1966 Chen Czinzhun vstanoviv sho bud yake dosit velike parne cile chislo mozhe buti predstavleno yak suma abo dvoh prostih chisel abo prostogo ta napivprostogo chisel 1975 Hyu Montgomeri ta Robert Charlz Vogan pokazali sho isnuye para konstant c displaystyle c nbsp ta C displaystyle C nbsp takih sho kilkist parnih chisel ne bilshih N displaystyle N nbsp yaki ne ye sumoyu dvoh prostih chisel ne perevishuye C N 1 c displaystyle CN 1 c nbsp U 1989 roci Van i Chen opustili mezhu yaku vstanoviv ranishe Vinogradov do e e 11 503 3 333 39256 10 43000 displaystyle mathrm e mathrm e 11 503 approx 3 33339256 cdot 10 43000 nbsp 1995 Oliv ye Ramare Olivier Ramare doviv sho bud yake parne cile chislo mozhe buti predstavleno yak suma ne bilshe nizh 6 prostih chisel 1997 Dezuje Efinger te Rile ta Zinov yev doveli sho dlya chisel ne menshih za 10 20 displaystyle 10 20 nbsp z uzagalnenoyi gipotezi Rimana viplivaye spravedlivist slabkoyi problemi Goldbaha 2012 Terens Tao pokrashiv rezultat Oliv ye Ramare j doviv sho bud yake neparne chislo bilshe nizh 1 mozhe buti zapisano yak suma ne bilsh yak p yati prostih chisel 2013 Garald Gelfgott opublikuvav pracyu u yakij stverdzhuvav 4 sho bud yake neparne cile chislo bilshe za 10 30 displaystyle 10 30 nbsp mozhe buti zapisano yak suma troh prostih chisel vtim perevirka jogo praci stanom na 2018 rik she trivala 3 Iz rezultatu Garalda Gelfgotta yaksho vin viyavitsya virnim viplivaye sho bud yake parne chislo bilshe za 8 mozhe buti predstavleno yak suma 2 chi 4 h prostih chisel tomu sho parne chislo u displaystyle u nbsp yake ne ye sumoyu dvoh prostih mozhna perepisati yak u u 3 3 displaystyle u u 3 3 nbsp de pershij dodanok ye sumoyu troh prostih chisel za Helfgotom a drugij 3 ye takozh prostim a otzhe parne chislo u displaystyle u nbsp mozhe buti predstavleno yak suma ne bilsh nizh 4 prostih Dlya 4 6 ta 8 ce virno Primitki Redaguvati Oliveira e Silva Tomas Goldbach conjecture verification sweet ua pt Helfgott Harald A 2015 The ternary Goldbach problem arXiv 1501 05438 math NT a b Harald Andres Helfgott Alexander von Humboldt Foundation www humboldt foundation de Arhiv originalu za 24 serpnya 2022 Procitovano 24 serpnya 2022 Helfgott Harald A 2013 The ternary Goldbach conjecture is true arXiv 1312 7748 math NT Posilannya RedaguvatiRozv yazano odnu z najstarishih i najskladnishih matematichnih zadach mmf lnu edu ua en gb Procitovano 4 veresnya 2023 Weisstein Eric W Goldbach Conjecture angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Gipoteza Goldbaha amp oldid 40365563