www.wikidata.uk-ua.nina.az

Узагальнені гіпотези Рімана Гіпотеза Рімана є однією з найважливіших гіпотез у математиці Гіпотеза є твердженням про нул

Узагальнені гіпотези Рімана

Гіпотеза Рімана є однією з найважливіших гіпотез у математиці. Гіпотеза є твердженням про нулі дзета-функції Рімана. Різні геометричні та арифметичні об'єкти можна описати так званими глобальними L-функціями, які формально схожі на дзета-функцію Рімана. Можна тоді поставити те ж питання про корені цих L-функцій, що дає різні узагальнення гіпотези Рімана. Багато математиків вірять у істинність цих узагальнень гіпотези Рімана. Єдиний випадок, коли таку гіпотезу доведено, стосується алгебричному полі функцій[en] (не в разі поля чисел).

Глобальні L-функції можна асоціювати з еліптичними кривими, числовими полями (в цьому випадку їх називають дзета-функціями Дедекінда), параболічними формами Маасса[en] і характерами Діріхле (в цьому випадку їх називають L-функціями Діріхле). Коли гіпотеза Рімана формулюється для дзета-функцій Дедекінда, вона називається розширеною гіпотезою Рімана (РГР), а коли вона формулюється для L-функцій Діріхле, вона відома як узагальнена гіпотеза Рімана (УГР). Ці два твердження детальніше обговорюються нижче. Багато математиків використовують назву узагальнена гіпотеза Рімана для розширення гіпотези Рімана на всі глобальні L-функції, не тільки окремий випадок L-функцій Діріхле.

Узагальнена гіпотеза Рімана (УГР) Редагувати

Узагальнену гіпотезу Рімана (для L-функцій Діріхле), мабуть, вперше сформулював Адольф Пілтц[en] 1884 року. Подібно до початкової гіпотези Рімана узагальнена гіпотеза має далекосяжні наслідки про розподіл простих чисел.

Формальне твердження гіпотези. Характер Діріхле — це повністю мультиплікативна арифметична функція χ, така, що існує натуральне число k з χ (n + k) = χ (n) для всіх n і χ (n) = 0 якщо gcd (n, k)> 1. Якщо задано такий характер, ми визначаємо відповідну L-функцію Діріхле

для будь-якого комплексного числа s із дійсною частиною > 1. За допомогою аналітичного продовження цю функцію можна продовжити до мероморфної функції, визначеної на всій комплексній площині. Узагальнена гіпотеза Рімана стверджує, що для будь-якого характеру Діріхле χ і будь-якого комплексного числа s з L (χ, s) = 0 виконується: якщо дійсне число s лежить між 0 і 1, то воно, насправді, дорівнює 1/2.

Випадок χ(n) = 1 для всіх n дає звичайну гіпотезу Рімана.

Наслідки ОГР Редагувати

Теорема Діріхле стверджує, що коли a і d взаємно прості натуральні числа, то арифметична прогресія a, a+d, a+2d, a+3d, … містить нескінченно багато простих чисел. Нехай π(x, a,d) позначає число простих чисел у прогресії, які менші або дорівнюють x. Якщо узагальнена гіпотеза Рімана істинна, то для будь-яких взаємно простих a і d і будь-якого ε> 0

де φ (d) — функція Ейлера, а  — «O» велике. Це істотне посилення теореми про розподіл простих чисел.

Якщо ОГР істинна, то будь-яка власна підгрупа мультиплікативної групи не містить чисел, менших від 2(ln n)2, як і числа, взаємно прості з n і менші 3 (ln n) 2 . Іншими словами, генерується набором чисел, менших 2 (ln n) 2. Цей факт часто використовується в доказах і з нього випливає багато наслідків, наприклад (у припущенні вірності ОГР):

  • Тест Міллера — Рабіна гарантовано працює за поліноміальний час (Тест з поліноміальним часом роботи, що не вимагає УГР, тест Агравала — Каяла — Сакса, опубліковано 2002 року).
  • Алгоритм Гельфонда — Шенкса[ru] гарантовано працює за поліноміальний час.
  • Детермінований алгоритм Івануос — Карпінскі — Сахена для розкладання многочленів над скінченними полями з простим степенем n і гладким n — 1 працює за поліноміальний час.

Якщо УГР істинна, то для будь-якого простого p існує первісний корінь за модулем p (генератор мультипликативної групи цілих чисел за модулем p), менший від

Слабка гіпотеза Гольдбаха також випливає з узагальненої гіпотези Рімана. Доведення Гаральда Гельфготта[ru] цієї гіпотези підтверджує УГР для декількох тисяч малих характерів, які дозволили довести гіпотезу для всіх цілих (непарних) чисел, більших від 1029. Для цілих чисел нижче від цієї межі гіпотезу перевірено прямим перебором.

У припущенні істинності УГР оцінку суми характерів у нерівності Поя — Виноградова[en] можна покращити до , де q — модуль характеру.

Розширена гіпотеза Рімана (РГР) Редагувати

Нехай K — числове поле (скінченновимірне розширення поля раціональних чисел Q) з кільцем цілих OK (це кільце є цілим замиканням цілих чисел Z в K). Якщо a — ідеал кільця OK, відмінний від нульового ідеалу, ми позначимо його норму через Na. Дзета-функція Дедекінда над K тоді визначається як

для будь-якого комплексного числа s із дійсною частиною > 1.

Дзета-функція Дедекінда задовольняє функціональному рівнянню і може бути розширена аналітичним продовженням на всю комплексну площину. В результуючій функції закодовано важливу інформацію про числове поле K. Розширена гіпотеза Рімана стверджує, що для будь-якого числового поля K і будь-якого комплексного числа s, для якого ζK(s) = 0, виконується: якщо дійсна частина числа s лежить між 0 і 1, то вона, насправді, дорівнює 1/2.

Початкова гіпотеза Рімана випливає з розширеної гіпотези, якщо взяти числове поле Q з кільцем цілих чисел Z.

З РГР випливає ефективна версія теореми Чеботарьова про щільність[en]: якщо L/K є скінченним розширенням Галуа з групою Галуа G, а C є об'єднанням класів суміжності G, число нерозгалужених простих[en] ідеалів K з нормою нижче x із класом суміжності Фробеніуса в C дорівнює

де константа в нотації O-велике абсолютна, n є степенем L над Q, а Δ є його дискримінантом.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Davenport, 2000, с. 124.
  2. Bach, 1990, с. 355–380.
  3. Ivanyos, Karpinski, Saxena, 2009, с. 191–198.
  4. Shoup, 1992, с. 369–380.
  5. Helfgott, 2013.
  6. Lagarias, Odlyzko, 1977, с. 409–464.

Література Редагувати

  • Lagarias J.C., Odlyzko A.M. Effective Versions of the Chebotarev Theorem // Algebraic Number Fields. — 1977. — 20 жовтня. — С. 409–464.
  • Eric Bach. Explicit bounds for primality testing and related problems // Mathematics of Computation. — 1990. — Т. 55, вип. 191 (20 жовтня). — С. 355–380. — DOI:10.2307/2008811.
  • Gabor Ivanyos, Marek Karpinski, Nitin Saxena. Schemes for Deterministic Polynomial Factoring // Proc. ISAAC. — 2009. — 20 жовтня. — С. 191–198. — ISBN 9781605586090. — DOI:10.1145/1576702.1576730.
  • Helfgott H. A. Major arcs for Goldbach's theorem. — 2013. — 20 жовтня. — arXiv:1305.2897v3.
  • Victor Shoup. Searching for primitive roots in finite fields // Mathematics of Computation. — 1992. — Т. 58, вип. 197 (20 жовтня). — С. 369–380. — DOI:10.2307/2153041.
  • Harold Davenport. Multiplicative number theory. — Third edition, Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery. — New York : Springer-Verlag, 2000. — Т. 74. — С. xiv+177. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-95097-4.
  • Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Riemann hypothesis, generalized. Математична енциклопедія. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Gipoteza Rimana ye odniyeyu z najvazhlivishih gipotez u matematici Gipoteza ye tverdzhennyam pro nuli dzeta funkciyi Rimana Rizni geometrichni ta arifmetichni ob yekti mozhna opisati tak zvanimi globalnimi L funkciyami yaki formalno shozhi na dzeta funkciyu Rimana Mozhna todi postaviti te zh pitannya pro koreni cih L funkcij sho daye rizni uzagalnennya gipotezi Rimana Bagato matematikiv viryat u istinnist cih uzagalnen gipotezi Rimana Yedinij vipadok koli taku gipotezu dovedeno stosuyetsya algebrichnomu poli funkcij en ne v razi polya chisel Globalni L funkciyi mozhna asociyuvati z eliptichnimi krivimi chislovimi polyami v comu vipadku yih nazivayut dzeta funkciyami Dedekinda parabolichnimi formami Maassa en i harakterami Dirihle v comu vipadku yih nazivayut L funkciyami Dirihle Koli gipoteza Rimana formulyuyetsya dlya dzeta funkcij Dedekinda vona nazivayetsya rozshirenoyu gipotezoyu Rimana RGR a koli vona formulyuyetsya dlya L funkcij Dirihle vona vidoma yak uzagalnena gipoteza Rimana UGR Ci dva tverdzhennya detalnishe obgovoryuyutsya nizhche Bagato matematikiv vikoristovuyut nazvu uzagalnena gipoteza Rimana dlya rozshirennya gipotezi Rimana na vsi globalni L funkciyi ne tilki okremij vipadok L funkcij Dirihle Zmist 1 Uzagalnena gipoteza Rimana UGR 1 1 Naslidki OGR 2 Rozshirena gipoteza Rimana RGR 3 Div takozh 4 Primitki 5 LiteraturaUzagalnena gipoteza Rimana UGR RedaguvatiUzagalnenu gipotezu Rimana dlya L funkcij Dirihle mabut vpershe sformulyuvav Adolf Piltc en 1884 roku 1 Podibno do pochatkovoyi gipotezi Rimana uzagalnena gipoteza maye dalekosyazhni naslidki pro rozpodil prostih chisel Formalne tverdzhennya gipotezi Harakter Dirihle ce povnistyu multiplikativna arifmetichna funkciya x taka sho isnuye naturalne chislo k z x n k x n dlya vsih n i x n 0 yaksho gcd n k gt 1 Yaksho zadano takij harakter mi viznachayemo vidpovidnu L funkciyu Dirihle L x s n 1 x n n s displaystyle L chi s sum n 1 infty frac chi n n s nbsp dlya bud yakogo kompleksnogo chisla s iz dijsnoyu chastinoyu gt 1 Za dopomogoyu analitichnogo prodovzhennya cyu funkciyu mozhna prodovzhiti do meromorfnoyi funkciyi viznachenoyi na vsij kompleksnij ploshini Uzagalnena gipoteza Rimana stverdzhuye sho dlya bud yakogo harakteru Dirihle x i bud yakogo kompleksnogo chisla s z L x s 0 vikonuyetsya yaksho dijsne chislo s lezhit mizh 0 i 1 to vono naspravdi dorivnyuye 1 2 Vipadok x n 1 dlya vsih n daye zvichajnu gipotezu Rimana Naslidki OGR Redaguvati Teorema Dirihle stverdzhuye sho koli a i d vzayemno prosti naturalni chisla to arifmetichna progresiya a a d a 2d a 3d mistit neskinchenno bagato prostih chisel Nehaj p x a d poznachaye chislo prostih chisel u progresiyi yaki menshi abo dorivnyuyut x Yaksho uzagalnena gipoteza Rimana istinna to dlya bud yakih vzayemno prostih a i d i bud yakogo e gt 0 p x a d 1 f d 2 x 1 ln t d t O x 1 2 ϵ displaystyle pi x a d frac 1 varphi d int 2 x frac 1 ln t dt O x 1 2 epsilon nbsp pri x displaystyle x to infty nbsp de f d funkciya Ejlera a O displaystyle O nbsp O velike Ce istotne posilennya teoremi pro rozpodil prostih chisel Yaksho OGR istinna to bud yaka vlasna pidgrupa multiplikativnoyi grupi Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z times nbsp ne mistit chisel menshih vid 2 ln n 2 yak i chisla vzayemno prosti z n i menshi 3 ln n 2 2 Inshimi slovami Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z times nbsp generuyetsya naborom chisel menshih 2 ln n 2 Cej fakt chasto vikoristovuyetsya v dokazah i z nogo viplivaye bagato naslidkiv napriklad u pripushenni virnosti OGR Test Millera Rabina garantovano pracyuye za polinomialnij chas Test z polinomialnim chasom roboti sho ne vimagaye UGR test Agravala Kayala Saksa opublikovano 2002 roku Algoritm Gelfonda Shenksa ru garantovano pracyuye za polinomialnij chas Determinovanij algoritm Ivanuos Karpinski Sahena 3 dlya rozkladannya mnogochleniv nad skinchennimi polyami z prostim stepenem n i gladkim n 1 pracyuye za polinomialnij chas Yaksho UGR istinna to dlya bud yakogo prostogo p isnuye pervisnij korin za modulem p generator multiplikativnoyi grupi cilih chisel za modulem p menshij vid O ln p 6 displaystyle O ln p 6 nbsp 4 Slabka gipoteza Goldbaha takozh viplivaye z uzagalnenoyi gipotezi Rimana Dovedennya Garalda Gelfgotta ru ciyeyi gipotezi pidtverdzhuye UGR dlya dekilkoh tisyach malih harakteriv yaki dozvolili dovesti gipotezu dlya vsih cilih neparnih chisel bilshih vid 1029 Dlya cilih chisel nizhche vid ciyeyi mezhi gipotezu perevireno pryamim pereborom 5 U pripushenni istinnosti UGR ocinku sumi harakteriv u nerivnosti Poya Vinogradova en mozhna pokrashiti do O q log log q displaystyle O left sqrt q log log q right nbsp de q modul harakteru Rozshirena gipoteza Rimana RGR RedaguvatiNehaj K chislove pole skinchennovimirne rozshirennya polya racionalnih chisel Q z kilcem cilih OK ce kilce ye cilim zamikannyam cilih chisel Z v K Yaksho a ideal kilcya OK vidminnij vid nulovogo idealu mi poznachimo jogo normu cherez Na Dzeta funkciya Dedekinda nad K todi viznachayetsya yak z K s a 1 N a s displaystyle zeta K s sum a frac 1 Na s nbsp dlya bud yakogo kompleksnogo chisla s iz dijsnoyu chastinoyu gt 1 Dzeta funkciya Dedekinda zadovolnyaye funkcionalnomu rivnyannyu i mozhe buti rozshirena analitichnim prodovzhennyam na vsyu kompleksnu ploshinu V rezultuyuchij funkciyi zakodovano vazhlivu informaciyu pro chislove pole K Rozshirena gipoteza Rimana stverdzhuye sho dlya bud yakogo chislovogo polya K i bud yakogo kompleksnogo chisla s dlya yakogo zK s 0 vikonuyetsya yaksho dijsna chastina chisla s lezhit mizh 0 i 1 to vona naspravdi dorivnyuye 1 2 Pochatkova gipoteza Rimana viplivaye z rozshirenoyi gipotezi yaksho vzyati chislove pole Q z kilcem cilih chisel Z Z RGR viplivaye efektivna versiya 6 teoremi Chebotarova pro shilnist en yaksho L K ye skinchennim rozshirennyam Galua z grupoyu Galua G a C ye ob yednannyam klasiv sumizhnosti G chislo nerozgaluzhenih prostih en idealiv K z normoyu nizhche x iz klasom sumizhnosti Frobeniusa v C dorivnyuye C G l i x O x n log x log D displaystyle frac C G Bigl mathrm li x O bigl sqrt x n log x log Delta bigr Bigr nbsp de konstanta v notaciyi O velike absolyutna n ye stepenem L nad Q a D ye jogo diskriminantom Div takozh RedaguvatiGipoteza Artina en L funkciya Dirihle Klas Selberga en Velika gipoteza Rimana en Primitki Redaguvati Davenport 2000 s 124 Bach 1990 s 355 380 Ivanyos Karpinski Saxena 2009 s 191 198 Shoup 1992 s 369 380 Helfgott 2013 Lagarias Odlyzko 1977 s 409 464 Literatura RedaguvatiLagarias J C Odlyzko A M Effective Versions of the Chebotarev Theorem Algebraic Number Fields 1977 20 zhovtnya S 409 464 Eric Bach Explicit bounds for primality testing and related problems Mathematics of Computation 1990 T 55 vip 191 20 zhovtnya S 355 380 DOI 10 2307 2008811 Gabor Ivanyos Marek Karpinski Nitin Saxena Schemes for Deterministic Polynomial Factoring Proc ISAAC 2009 20 zhovtnya S 191 198 ISBN 9781605586090 DOI 10 1145 1576702 1576730 Helfgott H A Major arcs for Goldbach s theorem 2013 20 zhovtnya arXiv 1305 2897v3 Victor Shoup Searching for primitive roots in finite fields Mathematics of Computation 1992 T 58 vip 197 20 zhovtnya S 369 380 DOI 10 2307 2153041 Harold Davenport Multiplicative number theory Third edition Revised and with a preface by Hugh L Montgomery New York Springer Verlag 2000 T 74 S xiv 177 Graduate Texts in Mathematics ISBN 0 387 95097 4 Hazewinkel Michiel red 2001 Riemann hypothesis generalized Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Uzagalneni gipotezi Rimana amp oldid 35172820