www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ціле розширення кільця розширення B комутативного кільця R з одиницею таке що будь який елемент x B displaystyle x in B

Ціле розширення кільця

Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

де . Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

  1. R[x] є скінченно породженим R-модулем ;
  2. існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

Приклади Редагувати

  • Цілий елемент є алгебраїчним над R.
  • Якщо R — поле, то вірним є і зворотне твердження.
  • Елементи поля комплексних чисел , цілі над кільцем , називаються цілими алгебраїчними числами.
  • Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент є цілим над R, тобто розширення є цілим (зворотне може не бути вірним).

Властивості Редагувати

  • Нехай кільце — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.
* Якщо B є цілим над R і R'  — деяка R-алгебра, то  є цілим над R'.
  • Якщо В — ціле розширення кільця R і S — деяка мультиплікативна підмножина в R, локалізація S-1B є цілим розширенням локалізації S-1R.
  • Нехай розширення є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення і .
  • Якщо В — ціле розширення кільця R, J — ідеал кільця В і . Тоді фактор-кільце буде цілим розширенням фактор-кільця .
  • Нехай — ціле розширення кілець, — прості ідеали кільця A і . Тоді .
  • Нехай A — ціле розширення R і — деякий простий ідеал кільця R. Тоді існує простий ідеал кільця A, що лежить над (тобто такий, що ).
  • Теорема про підняття. Нехай — ціле розширення кілець, — послідовність простих ідеалів кільця R і — послідовність простих ідеалів кільця A, для яких . Тоді існують прості ідеали кільця A, такі що і.
  • Нехай — ціле розширення кілець. Тоді і для довільних ідеалів і для яких виконується нерівність
  • Якщо L — скінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cile rozshirennya kilcya rozshirennya B komutativnogo kilcya R z odiniceyu take sho bud yakij element x B displaystyle x in B ye cilim nad R tobto zadovolnyaye deyakomu rivnyannyu viglyadu x n a n 1 x n 1 a 2 x 2 a 1 x a 0 displaystyle x n a n 1 x n 1 cdots a 2 x 2 a 1 x a 0 de a i R displaystyle a i in R Dane rivnyannya nazivayetsya rivnyannyam ciloyi zalezhnosti Element x ye cilim v R todi i tilki todi koli vikonuyetsya odna z dvoh ekvivalentnih umov R x ye skinchenno porodzhenim R modulem isnuye tochnij R x modul sho ye skinchenno porodzhenim R modulem Prikladi RedaguvatiCilij element ye algebrayichnim nad R Yaksho R pole to virnim ye i zvorotne tverdzhennya Elementi polya kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C nbsp cili nad kilcem Z displaystyle mathbb Z nbsp nazivayutsya cilimi algebrayichnimi chislami Yaksho kilce B ye skinchenno porodzhenim modulem nad R to bud yakij element x B displaystyle x in B nbsp ye cilim nad R tobto rozshirennya ye cilim zvorotne mozhe ne buti virnim Vlastivosti RedaguvatiNehaj kilce A R displaystyle A supset R nbsp komutativne x i y elementi A cili nad R Todi x y i xy takozh cili nad R i mnozhina vsih elementiv z A cilih nad R utvoryuye pidkilce sho nazivayetsya cilim zamikannyam R v A Yaksho B ye cilim nad R i R deyaka R algebra to B R displaystyle B bigotimes R nbsp ye cilim nad R Yaksho V cile rozshirennya kilcya R i S deyaka multiplikativna pidmnozhina v R lokalizaciya S 1B ye cilim rozshirennyam lokalizaciyi S 1R Nehaj a s S 1 B displaystyle a s in S 1 B nbsp de a B s S displaystyle a in B s in S nbsp Todi oskilki rozshirennya ye cilim dlya a displaystyle a nbsp vikonuyetsya rivnist a n r 1 a n 1 r n 0 displaystyle a n r 1 a n 1 ldots r n 0 nbsp dlya deyakih n N r i R displaystyle n in mathbb N r i in R nbsp Yak naslidok a s n r 1 s a s n 1 r n s n 0 displaystyle a s n r 1 s a s n 1 ldots r n s n 0 nbsp i oskilki vsi r i s i S 1 R displaystyle r i s i in S 1 R nbsp to dana rivnist ye rivnyannyam ciloyi zalezhnosti elementa a s displaystyle a s nbsp nad kilcem S 1 R displaystyle S 1 R nbsp Oskilki element buv obranij dovilno otrimuyemo neobhidnij rezultat Nehaj B A R displaystyle B supset A supset R nbsp rozshirennya B R displaystyle B supset R nbsp ye cilim todi i lishe todi koli cilimi ye obidva rozshirennya B A displaystyle B supset A nbsp i A R displaystyle A supset R nbsp Yaksho V cile rozshirennya kilcya R J ideal kilcya V i I J R displaystyle I J cap R nbsp Todi faktor kilce B J displaystyle B J nbsp bude cilim rozshirennyam faktor kilcya R I displaystyle R I nbsp Poznachimo a a J B J displaystyle bar a a J in B J nbsp Dlya a displaystyle a nbsp vikonuyetsya rivnist a n r 1 a n 1 r n 0 displaystyle a n r 1 a n 1 ldots r n 0 nbsp dlya deyakih n N r i R displaystyle n in mathbb N r i in R nbsp Perejshovshi do faktor kilcya za idealom J i identifikuyuchi R I displaystyle R I nbsp yak pidkilce B J displaystyle B J nbsp otrimuyemo rivnist a n r 1 a n 1 r n 0 r i R I displaystyle bar a n bar r 1 bar a n 1 ldots bar r n 0 bar r i in R I nbsp yaka i ye neobhidnim rivnyannyam ciloyi zalezhnosti Nehaj A R displaystyle A supset R nbsp cile rozshirennya oblastej cilisnosti Todi A ye polem yaksho i tilki yaksho R ye polem Pripustimo sho R ye polem i 0 a A displaystyle 0 neq a in A nbsp a n r 1 a n 1 r n 0 displaystyle a n r 1 a n 1 ldots r n 0 nbsp dlya deyakih n N r i R displaystyle n in mathbb N r i in R nbsp Stepin mnogochlena n mozhna vibrati minimalnim Todi r n 0 displaystyle r n neq 0 nbsp oskilki A ye oblastyu cilisnosti i dlya nogo isnuye obernenij element adzhe vin nalezhit polyu R Tomu r n 1 a n 1 r 1 a n 2 r n 1 a 1 displaystyle r n 1 a n 1 r 1 a n 2 ldots r n 1 a 1 nbsp tozh dlya a displaystyle a nbsp isnuye obernenij element rivnij r n 1 a n 1 r 1 a n 2 r n 1 displaystyle r n 1 a n 1 r 1 a n 2 ldots r n 1 nbsp sho zavershuye pershu chastinu dovedennya Navpaki pripustimo sho A ye polem i 0 b R displaystyle 0 neq b in R nbsp Todi dlya b displaystyle b nbsp yak elementa polya A v comu poli isnuye obernenij element Poznachimo a b 1 displaystyle a b 1 nbsp Dlya a displaystyle a nbsp isnuye rivnyannya ciloyi zalezhnosti nad R a n r 1 a n 1 r n 0 displaystyle a n r 1 a n 1 ldots r n 0 nbsp dlya deyakih n N r i R displaystyle n in mathbb N r i in R nbsp Pomnozhivshi obidvi storoni rivnyannya na b n displaystyle b n nbsp otrimayemo rivnist 1 r 1 b r n b n 0 displaystyle 1 r 1 b ldots r n b n 0 nbsp Zvidsi bachimo sho element r 1 r n b n 1 displaystyle r 1 ldots r n b n 1 nbsp ye obernenim do b displaystyle b nbsp i nalezhit R Tobto R tezh ye polem Nehaj A R displaystyle A supset R nbsp cile rozshirennya kilec P displaystyle P nbsp prostij ideal kilcya A i P P R displaystyle P P cap R nbsp Todi ideal P displaystyle P nbsp ye maksimalnim todi i tilki todi koli ideal P displaystyle P nbsp ye maksimalnim Zgidno poperednih vlastivostej faktor kilce A P displaystyle A P nbsp ye cilim rozshirennyam faktor kilcya R P displaystyle R P nbsp Oskilki obidva ideali ye prostimi to ci faktor kilcya ye oblastyami cilisnosti Zgidno poperednoyi vlastivosti A P displaystyle A P nbsp ye polem todi i tilki todi koli R P displaystyle R P nbsp ye polem i neobhidnij rezultat viplivaye z togo sho ideal ye maksimalnim todi i tilki todi koli faktor kilce po nomu ye polem Nehaj A R displaystyle A supset R nbsp cile rozshirennya kilec P 1 P 2 displaystyle P 1 subseteq P 2 nbsp prosti ideali kilcya A i P 1 R P 2 R P displaystyle P 1 cap R P 2 cap R P nbsp Todi P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 nbsp Lokalizaciya A P displaystyle A P nbsp po multiplikativnij mnozhini R P displaystyle R setminus P nbsp ye cilim rozshirennyam lokalizaciyi R P displaystyle R P nbsp Takozh P 1 A P P 2 A P displaystyle P 1 A P subseteq P 2 A P nbsp ye prostimi idealami kilcya A P displaystyle A P nbsp Oskilki P 1 A P R P P 2 A P R P P R P displaystyle P 1 A P cap R P P 2 A P cap R P PR P nbsp i ostannij ideal ye maksimalnim v R P displaystyle R P nbsp to za poperednoyu vlastivistyu P 1 A P displaystyle P 1 A P nbsp i P 2 A P displaystyle P 2 A P nbsp tezh ye maksimalnimi idealami u A P displaystyle A P nbsp Tomu P 1 A P P 2 A P displaystyle P 1 A P P 2 A P nbsp zvidki takozh P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 nbsp Oblast cilisnosti R nazivayetsya cilozamknutoyu yaksho cile zamikannya R v svoyemu poli chastok rivne R Faktorialne kilce ye cilozamknutim Kilce R ye cilozamknutim todi i tilki todi dlya bud yakogo maksimalnogo idealu p displaystyle mathfrak p nbsp z R cilozamknutim ye lokalne kilce R p displaystyle R mathfrak p nbsp Nehaj A cile rozshirennya R i P displaystyle P nbsp deyakij prostij ideal kilcya R Todi isnuye prostij ideal P displaystyle P nbsp kilcya A sho lezhit nad P displaystyle P nbsp tobto takij sho P P R displaystyle P P cap R nbsp Gomomorfizm vklyuchennya i R A displaystyle i R to A nbsp odnoznachno zadaye gomomorfizm vklyuchennya lokalizacij i R P A P displaystyle bar i R P to A P nbsp Nehaj M dovilnij maksimalnij ideal kilcya A P displaystyle A P nbsp Z poperednih vlastivostej jogo peretin M R P displaystyle M cap R P nbsp maye buti maksimalnim idealom kilcya R P displaystyle R P nbsp tobto M R P P R P displaystyle M cap R P PR P nbsp Rozglyanemo teper gomomorfizmi p R R P p A A P displaystyle p R to R P bar p A to A P nbsp zadani yak r r 1 a a 1 r R a A displaystyle r to r 1 a to a 1 r in R a in A nbsp Todi p i i p displaystyle p circ bar i i circ bar p nbsp Ideal P p 1 M displaystyle P bar p 1 M nbsp ye prostim idealom kilcya A dlya yakogo P R i 1 P p 1 P R P P displaystyle P cap R i 1 P p 1 PR P P nbsp tobto danij ideal zadovolnyaye vimogi teoremi Teorema pro pidnyattya Nehaj A R displaystyle A supset R nbsp cile rozshirennya kilec P 1 P 2 P n displaystyle P 1 subset P 2 subset ldots subset P n nbsp poslidovnist prostih idealiv kilcya R i P 1 P 2 P m m lt n displaystyle P 1 subset P 2 subset ldots subset P m m lt n nbsp poslidovnist prostih idealiv kilcya A dlya yakih P i P i R i 1 m displaystyle P i P i cap R i in 1 m nbsp Todi isnuyut prosti ideali P m 1 P n displaystyle P m 1 ldots P n nbsp kilcya A taki sho P 1 P 2 P n displaystyle P 1 subset P 2 subset ldots subset P n nbsp iP i P i R i 1 n displaystyle P i P i cap R i in 1 n nbsp Ochevidno teoremu dostatno dovesti dlya n 2 m 1 Zagalnij rezultat todi viplivaye za dopomogoyu matematichnoyi indukciyi Pri tih zhe poznachennyah sho i vishe faktor kilce A P 1 displaystyle A P 1 nbsp ye cilim rozshirennyam faktor kilcya R P 1 displaystyle R P 1 nbsp i P 2 P 1 displaystyle P 2 P 1 nbsp ye prostim idealom kilcya R P 1 displaystyle R P 1 nbsp Tomu isnuye prostij ideal kilcya A P 1 displaystyle A P 1 nbsp sho lezhit nad R P 1 displaystyle R P 1 nbsp Zgidno vlastivostej faktor kilec cej ideal maye viglyad P 2 P 1 displaystyle P 2 P 1 nbsp de P 2 displaystyle P 2 nbsp ye prostim idealom kilcya A dlya yakogo P 1 P 2 displaystyle P 1 subset P 2 nbsp Ochevidno sho P 2 P 2 R displaystyle P 2 P 2 cap R nbsp Nehaj A R displaystyle A supset R nbsp cile rozshirennya kilec Todi dim A dim R displaystyle dim A dim R nbsp i dlya dovilnih idealiv a A displaystyle mathfrak a subset A nbsp i b R displaystyle mathfrak b subset R nbsp dlya yakih a B b displaystyle mathfrak a cap B mathfrak b nbsp vikonuyetsya nerivnist ht a ht b displaystyle operatorname ht mathfrak a leqslant operatorname ht mathfrak b nbsp Yaksho L skinchenne rozshirennya polya chastok kilcya R i V cile zamikannya R v L to isnuye lishe skinchenna kilkist prostih idealiv B displaystyle mathfrak B nbsp kilcya V sho lezhat nad zadanim prostim idealom kilcya R Literatura RedaguvatiYu Drozd Vstup do algebrichnoyi geometriyi VNTL Klasika Lviv 2004 Atya M Makdonald I Vvedenie v kommutativnuyu algebru Moskva Mir 1972 160 s ros Huneke Craig Swanson Irena 2006 Integral closure of ideals rings and modules London Mathematical Society Lecture Note Series 336 Cambridge UK Cambridge University Press ISBN 978 0 521 68860 4 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Cile rozshirennya kilcya amp oldid 37135255