Цілозамкнута область

В комутативній алгебрі, цілозамкнутою областю A називається область цілісності яка є рівною цілому замиканню її поля часток.

Приклади

Багато важливих областей цілісності є цілозамкнутими:

• Будь-яка область головних ідеалів (зокрема, будь-яка поле).
• Будь-яке факторіальне кільце (і, як наслідок, будь-яке кільце многочленів над факторіальним кільцем): Нехай Q — поле часток факторіального кільця A i елемент  — цілий над A : де . Припустимо, що a i b не мають спільних дільників (за винятком оборотних елементів). Але , отже, ділиться на b, що можливо лише якщо b є оборотним. Тому, , і звідси .
• Будь-яка область найбільших спільних дільників (зокрема, кільце Безу чи кільце нормування).
• Будь-яке кільце Дедекінда є цілозамкнутою областю.
• Довільна симетрична алгебра над полем (оскільки кожна симетрична алгебра є ізоморфною кільцю многочленів від кількох змінних над полем).
• Регулярні локальні кільця є цілозамкнутими.
• Приклад області цілісності, що не є цілозамкнутою: нехай k — поле і (A є підалгебра породжена t² і t³.) A і B мають однакове поле часток, і B є цілим замиканням кільця A (B є факторіальним кільцем) і тому, область A не є цілозамкнутою. Цей приклад пов'язаний з фактом, що плоска крива має особливу точку на початку координат.

Властивості

• Нехай A — цілозамкнута область. Для довільної мультиплікативної системи локалізація є цілозамкнутою областю.

• Для область цілісності A наступні умови є еквівалентними:

1. A є цілозамкнутою;
2. A_p (локалізація A за простим ідеалом p) є цілозамкнутою для кожного простого ідеалу p;
3. A_m є цілозамкнутою для кожного максимального ідеалу m.

• Натомість цілозамкнутість може не зберігатися при переході до факторкільця, наприклад кільце Z[t]/(t²+4) не є цілозамкнутим.
• Область цілісності є цілозамкнутою якщо і тільки якщо вона рівна перетину всіх кілець нормування, що містять її.
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і нехай L — скінченне розширення поля Q. Тоді елемент є цілим над A, якщо і тільки якщо його мінімальний многочлен над Q має коефіцієнти у полі A. Звідси випливає зокрема, що цілий елемент над цілозамкнутою областю A має мінімальний многочлен над A. Це твердження є сильнішим, ніж те, що будь-яка цілий елемент є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним 1 і може бути неправильним без вимоги цілозамкнутості (наприклад для кільця ): Розглянемо розширення , таке що для деяких . Оскільки є незвідним, i цей ізоморфізм є тотожним на . Отже, кожен елемент є також цілим над A. Але коефіцієнти є многочленами від з цілими коефіцієнтами (елементарними симетричними многочленами), отже, вони також цілі над A. Оскільки A є цілозамкнутою областю, то всі ці коефіцієнти належать A.
• Для цілозамкнутої області A з полем часток Q справедливою є версія леми Гауса: нехай  — многочлен, старший коефіцієнт якого рівний 1. Нехай також де і старший коефіцієнт рівний 1. Тоді

• Якщо A — цілозамкнута область то кільце многочленів теж буде цілозамкнутою областю.

• Індуктивна границя цілозамкнутих областей є цілозамкнутою областю.
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L є нормальним розширенням поля Q з групою Галуа G = G(L/ Q). Нехай також S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді

• Теорема про спуск. Нехай A — цілозамкнута область і S — область цілісності, що є цілим розширенням A. Нехай  — спадна послідовність простих ідеалів кільця A і P'₁ — простий ідеал кільця S, для якого . Тоді існує спадна послідовність простих ідеалів кільця S, для яких .
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Нехай S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді існує базис поля L над Q, для якого . Якщо A є кільцем головних ідеалів, то можна вибрати такий базис щоб в цій формулі виконувалася рівність.

Нетерова цілозамкнута область

Нехай A є нетеровою областю цілісності. Тоді A є цілозамкнутою, якщо і тільки якщо виконуються умови:

• A є перетином всіх локалізацій за простими ідеалами висоти 1 і
• локалізації за простими ідеалами висоти 1 є кільцями дискретного нормування.

Для нетерової локальної області A розмірності один, тоді еквівалентними є твердження:

• A є цілозамкнутою.
• максимальний ідеал of A є головним.
• A є кільце дискретного нормування (еквівалентно A є кільцем Дедекінда.)
• A є регулярним локальним кільцем.

Нетерова область цілісності є кільцем Круля тоді і тільки тоді, коли вона є цілозамкнутою.

Нехай A — нетерова цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Ціле замиканням області A в полі L є кільцем Нетер.

Якщо A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A, то для довільного простого ідеала кільця A, якщо  — мінімальний простий ідеал кільця S, що містить тоді Зокрема для цього випадку теорема спуску виконується без додаткових умов.

Нехай A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A. Тоді для довільного ідеала кільця S виконується рівність , де позначає висоту ідеала.

Нормальні кільця

Нормальним кільцем називається кільце, для якого всі локалізації за простими ідеалами є цілозамкнутими областями. Таке кільце є редукованим, тобто не містить нільпотентних елементів крім 0,. Якщо A є нетеровим кільцем, для якого всі локалізації за максимальними ідеалами є областями цілісності, то A є скінченним добутком областей цілісності. Зокрема, якщо A є нетеровим нормальним кільцем, то воно є скінченним добутком цілозамкнутих областей. Навпаки, скінченний добуток цілозамкнутих областей є нормальним кільцем.

Нехай A — нетерове кільце. Критерій Серра стверджує, що A є нормальним, якщо і тільки якщо воно задовольняє такі умови: для будь-якого простого ідеала ,

• (i) якщо має висоту , то є регулярним локальним кільцем (тобто, є кільце дискретного нормування.)
• (ii) якщо має висоту , то має глибину .

Цілком цілозамкнуті області

Нехай A — область і K її поле часток. Елемент називається майже цілим над A якщо підкільце A[x] кільця K породжене A і x є дробовим ідеалом кільця A; тобто, якщо існує , для якого для всіх . Область A називається цілком цілозамкнутою якщо всі майже цілі елементи поля K належать A. Цілком цілозамкнута область є цілозамкнутою. Навпаки, нетерова цілозамкнута область є цілком цілозамкнутою.

Припустимо, що область A є цілком цілозамкнутою. Тоді кільце формальних степеневих рядів є цілком цілозамкнутим. Аналог цього твердження для цілозамкнутих областей є невірним: якщо R є кільцем нормування висоти не менше 2 (це кільце є цілозамкнутим), то не є цілозамкнутим Нехай L — розширення поля K. Тоді ціле замикання кільця A в L є цілком цілозамкнутим.

Область цілісності є цілком цілозамкнутою, якщо і тільки якщо моноїд дивізорів A є групою.

Локалізація цілком цілозамкнутого кільця може не бути цілком цілозамкнутою.

Див. також

• Кільце нормування
• Факторіальне кільце

Примітки

1. Robert B. Ash, A Course In Commutative Algebra. Ch 3 Valuation Rings [ 14 листопада 2017 у Wayback Machine.], ст. 4.
2. Matsumura, теорема 9.2
3. Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими (наприклад областями цілісності), то R теж є редукованим. Доведення: Припустимо x є ненульовим елементом в R і xⁿ=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі . Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом оскільки в іншому випадку для деякого і належить анігілятору x, всупереч означенню . Тому локалізація R за не є редукованим кільцем.
4. Kaplansky, теорема 168, pg 119.
5. Matsumura 1989, p. 64
6. Matsumura, Commutative algebra, pg. 125.
7. Matsumura, Exercise 10.4
8. (Bourbaki, Ch. VII, § 1, n. 2, теорема 1)

Література

• Дрозд, Ю. А. (2004). . Львів: ВНТЛ–Класика. ISBN 9667493539. Архів оригіналу за 22 травня 2011. Процитовано 14 листопада 2017.  (укр.)
• Bourbaki (1972). Commutative Algebra. 
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290. 
• Kaplansky, Irving (September 1974). Commutative rings. Lectures в Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5. 
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative ring Theory. Cambridge Studies в Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. 
• Matsumura, Hideyuki (1970). Commutative Algebra. ISBN 0-8053-7026-9.