www.wikidata.uk-ua.nina.az

Симетричний многочлен многочлен від n змінних F x 1 x 2 x n displaystyle F x 1 x 2 ldots x n що не змінюється при всіх п

Симетричний многочлен

Симетричний многочлен — многочлен від n змінних , що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки

справедлива рівність:

Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри многочленів від n змінних над кільцем R.

Приклади Редагувати

Для двох змінних x1, x2 прикладами симетричних многочленів є:

для трьох змінних x1, x2, x3 наступний многочлен теж буде симетричним

Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:

Натомість многочлен:

не є симетричним, оскільки після перестановки x1 і x2 одержується не рівний вихідному многочлен, x2 − x1.

Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:

Особливі види симетричних многочленів Редагувати

Степеневі симетричні многочлени Редагувати

Степеневими симетричними многочленами називаються суми k — их степенів змінних, тобто:

Елементарні симетричні многочлени Редагувати

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

і так далі до

Для довільного многочлена можна записати:

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що

Тотожності Ньютона Редагувати

Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:

Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:

Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:

Теорема Вієта Редагувати

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени Редагувати

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних з коефіцієнтами з R.

Доведення Редагувати

Для симетричного многочлена визначимо T = Th як множину усіх наборів чисел для яких коефіцієнт в не рівний нулю. Визначимо розмір h, як де є елементом T для якого є найбільшим з можливих,  — найбільше з можливих при даному і т. д. Оскільки є симетричним, то якщо і тільки якщо кожна перестановка належить T. Звідси випливає, що . З використанням введеного поняття розміру всі елементи можна впорядкувати: якщо h1 має розмір і h2 має розмір тоді h1 > h2 якщо для деякого виконується і Елементи що мають розмір (0, 0, …, 0) є константами, тобто елементами R.

Припустимо що є розміром деякого симетричного многочлена . Для невід'ємних цілих чисел d1, …, dn, розмір є рівним . Взявши одержуємо, що розмір h рівний . Коефіцієнт при в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент такий, що g − ah має менший розмір ніж g.

Як наслідок для довільного симетричного існують і такі, що має розмір (0, 0, …, 0). Це завершує доведення теореми.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Simetrichnij mnogochlen mnogochlen vid n zminnih F x 1 x 2 x n displaystyle F x 1 x 2 ldots x n sho ne zminyuyetsya pri vsih perestanovkah zminnih Tobto mnogochlen F R x 1 x n displaystyle F in R x 1 dots x n vid n zminnih nad komutativnim kilcem R ye simetrichnim yaksho dlya dovilnoyi perestanovki s x 1 x 2 x 3 x n x s 1 x s 2 x s 3 x s n displaystyle sigma begin pmatrix x 1 amp x 2 amp x 3 amp ldots amp x n x sigma 1 amp x sigma 2 amp x sigma 3 amp ldots amp x sigma n end pmatrix spravedliva rivnist F x 1 x n F x s 1 x s n displaystyle F x 1 dots x n F x sigma 1 dots x sigma n Simetrichni mnogochleni utvoryuyut pidalgebru R algebri R x 1 x n displaystyle R x 1 dots x n mnogochleniv vid n zminnih nad kilcem R Zmist 1 Prikladi 2 Osoblivi vidi simetrichnih mnogochleniv 2 1 Stepenevi simetrichni mnogochleni 2 2 Elementarni simetrichni mnogochleni 2 3 Totozhnosti Nyutona 3 Teorema Viyeta 4 Fundamentalna teorema pro simetrichni mnogochleni 4 1 Dovedennya 5 Div takozh 6 DzherelaPrikladi RedaguvatiDlya dvoh zminnih x1 x2 prikladami simetrichnih mnogochleniv ye x 1 3 x 2 3 7 displaystyle x 1 3 x 2 3 7 nbsp 4 x 1 2 x 2 2 x 1 3 x 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 4 displaystyle 4x 1 2 x 2 2 x 1 3 x 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 4 nbsp dlya troh zminnih x1 x2 x3 nastupnij mnogochlen tezh bude simetrichnim x 1 x 2 x 3 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 2x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 nbsp Nastupnij mnogochlen bude simetrichnij dlya dovilnogo n 1 i lt j n X i X j 2 displaystyle prod 1 leq i lt j leq n X i X j 2 nbsp Natomist mnogochlen x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 nbsp ne ye simetrichnim oskilki pislya perestanovki x1 i x2 oderzhuyetsya ne rivnij vihidnomu mnogochlen x2 x1 Dlya troh zminnih prikladom nesimetrichnogo mnogochlena ye x 1 4 x 2 2 x 3 x 1 x 2 4 x 3 2 x 1 2 x 2 x 3 4 displaystyle x 1 4 x 2 2 x 3 x 1 x 2 4 x 3 2 x 1 2 x 2 x 3 4 nbsp Osoblivi vidi simetrichnih mnogochleniv RedaguvatiStepenevi simetrichni mnogochleni Redaguvati Stepenevimi simetrichnimi mnogochlenami nazivayutsya sumi k ih stepeniv zminnih tobto p k x 1 x n x 1 k x 2 k x n k displaystyle p k x 1 ldots x n x 1 k x 2 k cdots x n k nbsp Elementarni simetrichni mnogochleni Redaguvati Dokladnishe Elementarnij simetrichnij mnogochlenElementarni simetrichni mnogochleni mayut viglyad e 0 x 1 x 2 x n 1 e 1 x 1 x 2 x n 1 j n x j e 2 x 1 x 2 x n 1 j lt k n x j x k e 3 x 1 x 2 x n 1 j lt k lt l n x j x k x l displaystyle begin aligned e 0 x 1 x 2 dots x n amp 1 e 1 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j leq n x j e 2 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j lt k leq n x j x k e 3 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j lt k lt l leq n x j x k x l end aligned nbsp i tak dali do e n x 1 x 2 x n x 1 x 2 x n displaystyle e n x 1 x 2 dots x n x 1 x 2 cdots x n nbsp Dlya dovilnogo mnogochlena mozhna zapisati e k x 1 x n 1 j 1 lt j 2 lt lt j k n x j 1 x j k displaystyle e k x 1 ldots x n sum 1 leq j 1 lt j 2 lt cdots lt j k leq n x j 1 cdots x j k nbsp Elementarni simetrichni mnogochleni ye algebrayichno nezalezhnimi tobto dlya bud yakogo n gt 0 ne isnuye takogo nenulovogo mnogochlena P vid n zminnih sho P e 1 e n 0 displaystyle P e 1 ldots e n 0 nbsp Totozhnosti Nyutona Redaguvati Dokladnishe Totozhnosti NyutonaMizh stepenevimi i elementarnimi funkciyami isnuye zalezhnist k e k x 1 x n i 1 k 1 i 1 e k i x 1 x n p i x 1 x n displaystyle ke k x 1 ldots x n sum i 1 k 1 i 1 e k i x 1 ldots x n p i x 1 ldots x n nbsp Dlya pershih kilkom mnogochleniv rivnosti mayut viglyad e 1 p 1 2 e 2 e 1 p 1 p 2 3 e 3 e 2 p 1 e 1 p 2 p 3 4 e 4 e 3 p 1 e 2 p 2 e 1 p 3 p 4 displaystyle begin aligned e 1 amp p 1 2e 2 amp e 1 p 1 p 2 3e 3 amp e 2 p 1 e 1 p 2 p 3 4e 4 amp e 3 p 1 e 2 p 2 e 1 p 3 p 4 end aligned nbsp Zvidsi takozh mozhna navpaki viznachiti stepenevi simetrichni funkciyi cherez elementarni p 1 e 1 p 2 e 1 p 1 2 e 2 p 3 e 1 p 2 e 2 p 1 3 e 3 p 4 e 1 p 3 e 2 p 2 e 3 p 1 4 e 4 displaystyle begin aligned p 1 amp e 1 p 2 amp e 1 p 1 2e 2 p 3 amp e 1 p 2 e 2 p 1 3e 3 p 4 amp e 1 p 3 e 2 p 2 e 3 p 1 4e 4 amp vdots end aligned nbsp Teorema Viyeta RedaguvatiDokladnishe Teorema ViyetaOdniyeyu z prichin shirokogo zastosuvannya elementarnih simetrichnih mnogochleniv ye teorema Viyeta Nehaj P mnogochlen iz koeficiyentami z deyakogo polya starshim koeficiyentom rivnim odinici U svoyemu algebrayichnomu zamikanni cej mnogochlen maye kilkist koreniv rivnu jogo stepenyu z urahuvannyam kratnosti koreniv i mozhna zapisati P t n a n 1 t n 1 a 2 t 2 a 1 t a 0 t x 1 t x 2 t x n displaystyle P t n a n 1 t n 1 cdots a 2 t 2 a 1 t a 0 t x 1 t x 2 cdots t x n nbsp todi koeficiyenti P virazhayutsya cherez elementarni simetrichni mnogochleni vid jogo koreniv A same a n 1 x 1 x 2 x n a n 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x n 1 x n 1 i lt j n x i x j a n d 1 d 1 i 1 lt i 2 lt lt i d n x i 1 x i 2 x i d a 0 1 n x 1 x 2 x n displaystyle begin aligned a n 1 amp x 1 x 2 cdots x n a n 2 amp x 1 x 2 x 1 x 3 cdots x 2 x 3 cdots x n 1 x n textstyle sum 1 leq i lt j leq n x i x j amp vdots a n d amp textstyle 1 d sum 1 leq i 1 lt i 2 lt cdots lt i d leq n x i 1 x i 2 cdots x i d amp vdots a 0 amp 1 n x 1 x 2 cdots x n end aligned nbsp Fundamentalna teorema pro simetrichni mnogochleni RedaguvatiNehaj R komutativne kilce z odiniceyu Todi dovilnij simetrichnij mnogochlen vid n zminnih z koeficiyentami z R mozhe buti zapisanij yak mnogochlen vid zminnih e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n nbsp z koeficiyentami z R Dovedennya Redaguvati Dlya simetrichnogo mnogochlena h x 1 x n R x 1 x n displaystyle h x 1 ldots x n in R x 1 dots x n nbsp viznachimo T Th yak mnozhinu usih naboriv chisel l 1 l n displaystyle l 1 ldots l n nbsp dlya yakih koeficiyent x 1 l 1 x n l n displaystyle x 1 l 1 dots x n l n nbsp v h x 1 x n displaystyle h x 1 ldots x n nbsp ne rivnij nulyu Viznachimo rozmir h yak k 1 k n displaystyle k 1 ldots k n nbsp de k 1 k n displaystyle k 1 ldots k n nbsp ye elementom T dlya yakogo k 1 displaystyle k 1 nbsp ye najbilshim z mozhlivih k 2 displaystyle k 2 nbsp najbilshe z mozhlivih pri danomu k 1 displaystyle k 1 nbsp i t d Oskilki h x 1 x n displaystyle h x 1 ldots x n nbsp ye simetrichnim to l 1 l n T displaystyle l 1 ldots l n in T nbsp yaksho i tilki yaksho kozhna perestanovka l 1 l n displaystyle l 1 ldots l n nbsp nalezhit T Zvidsi viplivaye sho k 1 k 2 k n displaystyle k 1 geq k 2 geq ldots geq k n nbsp Z vikoristannyam vvedenogo ponyattya rozmiru vsi elementi R x 1 x n displaystyle R x 1 dots x n nbsp mozhna vporyadkuvati yaksho h1 maye rozmir k 1 k n displaystyle k 1 ldots k n nbsp i h2 maye rozmir k 1 k n displaystyle k 1 ldots k n nbsp todi h1 gt h2 yaksho dlya deyakogo i 1 n 1 displaystyle i in 1 ldots n 1 nbsp vikonuyetsya k 1 k 1 k i k i displaystyle k 1 k 1 ldots k i k i nbsp i k i 1 gt k i 1 displaystyle k i 1 gt k i 1 nbsp Elementi R x 1 x n displaystyle R x 1 dots x n nbsp sho mayut rozmir 0 0 0 ye konstantami tobto elementami R Pripustimo sho k 1 k n displaystyle k 1 ldots k n nbsp ye rozmirom deyakogo simetrichnogo mnogochlena g R x 1 x n displaystyle g in R x 1 dots x n nbsp Dlya nevid yemnih cilih chisel d1 dn rozmir h e 1 d 1 e 2 d 2 e n d n displaystyle h e 1 d 1 e 2 d 2 dots e n d n nbsp ye rivnim d 1 d 2 d n d 2 d n d n 1 d n d n displaystyle d 1 d 2 dots d n d 2 dots d n ldots d n 1 d n d n nbsp Vzyavshi d 1 k 1 k 2 d 2 k 2 k 3 d n 1 k n 1 k n d n k n displaystyle d 1 k 1 k 2 d 2 k 2 k 3 ldots d n 1 k n 1 k n d n k n nbsp oderzhuyemo sho rozmir h rivnij k 1 k n displaystyle k 1 ldots k n nbsp Koeficiyent pri x 1 k 1 x n k n displaystyle x 1 k 1 dots x n k n nbsp v h rivnij odinici Zvidsi viplivaye sho isnuye element a R displaystyle a in R nbsp takij sho g ah maye menshij rozmir nizh g Yak naslidok dlya dovilnogo simetrichnogo f R x 1 x n displaystyle f in R x 1 dots x n nbsp isnuyut a 1 a m R displaystyle a 1 ldots a m in R nbsp i h 1 h m R x 1 x n displaystyle h 1 ldots h m in R x 1 dots x n nbsp taki sho f a 1 h 1 a m h m displaystyle f a 1 h 1 dots a m h m nbsp maye rozmir 0 0 0 Ce zavershuye dovedennya teoremi Div takozh RedaguvatiSimetrichna funkciyaDzherela RedaguvatiKurosh A G Lekcii po obshej algebre 2 izd M Nauka 1973 400 s ros Prasolov V V Mnogochleny 2 e Moskva MCNMO 2001 336 s ISBN 5 94057 077 1 ros Smith Larry 1995 Polynomial invariants of finite groups Research notes in mathematics 6 AK Peters ISBN 9781568810539 M Filaseta Algebraic number theory Instructors notes Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Simetrichnij mnogochlen amp oldid 40285617