www.wikidata.uk-ua.nina.az

Симетрична функція від n змінних це функція значення якої на будь якому n кортежі аргументів таке саме як і значення на

Симетрична функція

Симетрична функція від n змінних — це функція, значення якої на будь-якому n-кортежі аргументів таке саме, як і значення на будь-якій перестановці цього n-кортежу. Якщо, наприклад , функція може бути симетричною на всіх змінних або парах , або . Хоча це може стосуватися будь-яких функцій, для яких n аргументів мають одну і ту саму область визначення, найчастіше мають на увазі многочлени, які в цьому разі є симетричними многочленами. Поза многочленами теорія симетричних функцій бідна і мало використовується.

Симетризація Редагувати

Якщо задано деяку функцію f від n змінних зі значеннями в абелевій групі (тобто в групі з комутативною операцією), симетричну функцію можна побудувати підсумовуванням значень f за всіма перестановками аргументів. Аналогічно, антисиметричну функцію можна побудувати як суму за всіма парними перестановками, від якої віднімається сума за всіма непарними перестановками. Ці операції, звичайно, незворотні і можуть призвести до тотожно рівної нулю функції для нетривіальної функції f. Єдиний випадок, коли f можна відновити, коли відомі симетризація функції і антисиметризація, це коли n = 2 і абелева група допускає ділення на 2 (операція, зворотна подвоєнню). В цьому випадку f дорівнює половині суми симетризації і антисиметризації.

Приклади Редагувати

  • Розглянемо функцію
і так далі для всіх перестановок
  • Розглянемо функцію
що збігається з початковою функцією f(x,y).
  • Тепер розглянемо функцію
Ця функція, очевидно, не буде тією самою, що й початкова, якщо a ≠ b, отже, вона не симетрична.

Додатка Редагувати

U-статистика Редагувати

У статистиці статистика на n-вибірці (функція від n змінних), отримана шляхом бутстрепу симетризації статистики на вибірці з k елементів, дає симетричну функцію від n змінних, звану U-статистикою[en]. Приклади включають вибіркове середнє та вибіркову дисперсію.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Ван дер Варден, 1979, с. 121.

Література Редагувати

  • Macdonald I. G.[en] Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR[1]
  • Macdonald I. G.[en] Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 1st edition. — 1979.
  • Макдональд И.[en]. Симметрические функции и многочлены Холла. — Мир, 1984. — 224 с.
  • David F. N., Kendall M. G., Barton D. E. Symmetric Function and Allied Tables. — Cambridge University Press, 1966.
  • Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorics: The Rota Way. — Cambridge University Press, 2009. — xii+396 с. — ISBN 978-0-521-73794-4.
    — §5.1 Symmetric functions, p. 222–225.
    — §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : «Наука», 1979.
    — §33. Симметрические функции, с. 121.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Simetrichna funkciya vid n zminnih ce funkciya znachennya yakoyi na bud yakomu n kortezhi argumentiv take same yak i znachennya na bud yakij perestanovci cogo n kortezhu 1 Yaksho napriklad f x f x 1 x 2 x 3 displaystyle f mathbf x f x 1 x 2 x 3 funkciya mozhe buti simetrichnoyu na vsih zminnih abo parah x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 x 2 x 3 displaystyle x 2 x 3 abo x 1 x 3 displaystyle x 1 x 3 Hocha ce mozhe stosuvatisya bud yakih funkcij dlya yakih n argumentiv mayut odnu i tu samu oblast viznachennya najchastishe mayut na uvazi mnogochleni yaki v comu razi ye simetrichnimi mnogochlenami Poza mnogochlenami teoriya simetrichnih funkcij bidna i malo vikoristovuyetsya Zmist 1 Simetrizaciya 2 Prikladi 3 Dodatka 3 1 U statistika 4 Div takozh 5 Primitki 6 LiteraturaSimetrizaciya RedaguvatiYaksho zadano deyaku funkciyu f vid n zminnih zi znachennyami v abelevij grupi tobto v grupi z komutativnoyu operaciyeyu simetrichnu funkciyu mozhna pobuduvati pidsumovuvannyam znachen f za vsima perestanovkami argumentiv Analogichno antisimetrichnu funkciyu mozhna pobuduvati yak sumu za vsima parnimi perestanovkami vid yakoyi vidnimayetsya suma za vsima neparnimi perestanovkami Ci operaciyi zvichajno nezvorotni i mozhut prizvesti do totozhno rivnoyi nulyu funkciyi dlya netrivialnoyi funkciyi f Yedinij vipadok koli f mozhna vidnoviti koli vidomi simetrizaciya funkciyi i antisimetrizaciya ce koli n 2 i abeleva grupa dopuskaye dilennya na 2 operaciya zvorotna podvoyennyu V comu vipadku f dorivnyuye polovini sumi simetrizaciyi i antisimetrizaciyi Prikladi RedaguvatiRozglyanemo funkciyuf x 1 x 2 x 3 x x 1 x x 2 x x 3 displaystyle f x 1 x 2 x 3 x x 1 x x 2 x x 3 nbsp dd Za viznachennyam simetrichna funkciya vid n zminnih maye vlastivist shof x 1 x 2 x n f x 2 x 1 x n f x 3 x 1 x n x n 1 displaystyle f x 1 x 2 x n f x 2 x 1 x n f x 3 x 1 x n x n 1 nbsp i t d dd U zagalnomu vipadku funkciya zalishayetsya tiyeyu samoyu za bud yakoyi perestanovki zminnih Ce oznachaye sho v nashomu vipadku x x 1 x x 2 x x 3 x x 2 x x 1 x x 3 x x 3 x x 1 x x 2 displaystyle x x 1 x x 2 x x 3 x x 2 x x 1 x x 3 x x 3 x x 1 x x 2 nbsp dd i tak dali dlya vsih perestanovok x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp Rozglyanemo funkciyuf x y x 2 y 2 r 2 displaystyle f x y x 2 y 2 r 2 nbsp dd Yaksho perestaviti miscyami x i y funkciya nabude viglyaduf y x y 2 x 2 r 2 displaystyle f y x y 2 x 2 r 2 nbsp dd sho zbigayetsya z pochatkovoyu funkciyeyu f x y Teper rozglyanemo funkciyuf x y a x 2 b y 2 r 2 displaystyle f x y ax 2 by 2 r 2 nbsp dd Yaksho perestaviti x i y miscyami otrimayemof y x a y 2 b x 2 r 2 displaystyle f y x ay 2 bx 2 r 2 nbsp dd Cya funkciya ochevidno ne bude tiyeyu samoyu sho j pochatkova yaksho a b otzhe vona ne simetrichna Dodatka RedaguvatiU statistika Redaguvati U statistici statistika na n vibirci funkciya vid n zminnih otrimana shlyahom butstrepu simetrizaciyi statistiki na vibirci z k elementiv daye simetrichnu funkciyu vid n zminnih zvanu U statistikoyu en Prikladi vklyuchayut vibirkove serednye ta vibirkovu dispersiyu Div takozh RedaguvatiSimetrichnij mnogochlen Elementarnij simetrichnij mnogochlen Kvazisimetrichna funkciya en Kilce simetrichnih funkcij en Primitki Redaguvati Van der Varden 1979 s 121 Literatura RedaguvatiMacdonald I G en Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials New Brunswick New Jersey University Lecture Series 12 American Mathematical Society Providence Rhode Island 1998 xvi 53 pp ISBN 0 8218 0770 6 MR 1 Macdonald I G en Symmetric Functions and Hall Polynomials Second edition Oxford Mathematical Monographs Oxford Science Publications The Clarendon Press Oxford University Press New York 1995 x 475 pp ISBN 0 19 853489 2 1st edition 1979 Makdonald I en Simmetricheskie funkcii i mnogochleny Holla Mir 1984 224 s David F N Kendall M G Barton D E Symmetric Function and Allied Tables Cambridge University Press 1966 Joseph P S Kung Gian Carlo Rota Catherine H Yan Combinatorics The Rota Way Cambridge University Press 2009 xii 396 s ISBN 978 0 521 73794 4 5 1 Symmetric functions p 222 225 5 7 Symmetric Functions Over Finite Fields p 259 270 Van der Varden B L Algebra M Nauka 1979 33 Simmetricheskie funkcii s 121 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Simetrichna funkciya amp oldid 36797184