Алгебра над кільцем — алгебрична структура з операціями додавання , множення та множення на скаляр , така що: якщо R — комутативне кільце, тоді R-алгеброю (тобто, алгеброю над кільцем R ) є R-модуль, що одночасно є кільцем в якому R-білінійне множення.
Формально — є R-алгеброю, якщо:
Пов'язані визначення:
- Якщо A є комутативним кільцем, тоді воно називається комутативною R-алгеброю.
- Якщо R є полем, тоді A називається алгеброю над полем.
- Алгебра з діленням — алгебра в якій можливе ділення. В такій алгебрі не існує дільників нуля.
- Нормована алгебра — це алгебра над полем з нормою ||·||, що задовільняє умову:
Алгебра над полем Редагувати
Алгебра над полем за визначенням є векторним простором над , тобто має базис. Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченновимірних алгебр.
Приклади Редагувати
- Алгебри над кільцем:
- довільне кільце можна розглядати як —алгебру, оскільки множення на ціле число можна звести до додавання та віднімання,
- алгебри квадратних матриць,
- алгебри многочленів
- Алгебри над полем дійсних чисел:
- Комплексні числа
- Подвійні числа
- Дуальні числа
- Кватерніони
- Октоніони — не асоціативна алгебра.
Див. також Редагувати
Джерела Редагувати
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)