www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дуальні числа комплексні числа параболічного типу гіперкомплексні числа виду a ε b displaystyle a varepsilon b де a b di

Дуальні числа

Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду , де  — дійсні числа; — уявна одиниця, така що .

Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел . На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд .

Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами.

Визначення Редагувати

Алгебраїчне визначення Редагувати

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду , для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

Числа виду ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число позначається , після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

Матричне представлення Редагувати

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо . Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

Показникова форма Редагувати

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.

Корені Редагувати

Корінь n-го ступеня з числа виду визначається як:

Диференціювання Редагувати

Дуальні числа дозволяють проводити автоматичне диференціювання функцій. Розглянемо для початку дійсний многочлен виду . Природно продовжити його область визначення з дійсних чисел на дуальні числа. Нескладно переконатися, що при цьому  — похідна многочлена по . Після цього є природним продовжити область визначення всіх трансцендентних функцій на площину дуальних чисел за правилом , де  — похідна функції . Таким чином, виконуючи обчислення не над дійсними, а над дуальним числами, можна автоматично отримувати значення похідної функції в точці. Особливо зручно розглядати таким чином композиції функцій.

Можна провести аналогію між дуальним числами і нестандартним аналізом. Уявна одиниця ε кільця дуальних чисел багато в чому подібна до нескінченно малого числа з нестандартного аналізу: будь-який степінь (вище першого) у точності дорівнює 0, у той час як будь-який степінь нескінченно малого числа приблизно дорівнює 0 (є нескінченно малою більш високого порядку). Значить, якщо  — нескінченно мале число, то з точністю до гіпердійсні числа ізоморфні дуальним.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Dualni chisla kompleksni chisla parabolichnogo tipu giperkompleksni chisla vidu a e b displaystyle a varepsilon b de a b displaystyle a b dijsni chisla e displaystyle varepsilon uyavna odinicya taka sho e 2 0 displaystyle varepsilon 2 0 Mnozhina vsih dualnih chisel utvoryuye dvovimirnu komutativnu asociativnu algebru z odiniceyu nad polem dijsnih chisel R displaystyle mathbb R Na vidminu vid polya kompleksnih chisel cya algebra mistit dilniki nulya prichomu vsi voni mayut viglyad a e displaystyle a varepsilon Dualni chisla odna iz dvovimirnih giperkompleksnih sistem poryad z kompleksnimi ta podvijnimi chislami Zmist 1 Viznachennya 1 1 Algebrayichne viznachennya 1 2 Matrichne predstavlennya 1 3 Pokaznikova forma 2 Koreni 3 Diferenciyuvannya 4 Div takozh 5 LiteraturaViznachennya RedaguvatiAlgebrayichne viznachennya Redaguvati Dualni chisla ce pari dijsnih chisel vidu a b displaystyle a b nbsp dlya yakih viznacheni operaciyi mnozhennya i dodavannya za pravilami a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 displaystyle a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 nbsp a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 a 1 b 2 a 2 b 1 displaystyle a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 a 1 b 2 a 2 b 1 nbsp Chisla vidu a 0 displaystyle a 0 nbsp ototozhnyuyutsya pri comu z dijsnimi chislami a chislo 0 1 displaystyle 0 1 nbsp poznachayetsya e displaystyle varepsilon nbsp pislya chogo viznachayuchi totozhnosti prijmayut viglyad e 2 0 a b a b e displaystyle varepsilon 2 0 quad a b a b varepsilon nbsp a 1 e b 1 a 2 e b 2 a 1 a 2 e b 1 b 2 displaystyle a 1 varepsilon b 1 a 2 varepsilon b 2 a 1 a 2 varepsilon b 1 b 2 nbsp a 1 e b 1 a 2 e b 2 a 1 a 2 e a 1 b 2 a 2 b 1 displaystyle a 1 varepsilon b 1 a 2 varepsilon b 2 a 1 a 2 varepsilon a 1 b 2 a 2 b 1 nbsp Matrichne predstavlennya Redaguvati Dualni chisla mozhna predstaviti yak matrici z dijsnih chisel pri comu dodavannyu dualnih chisel vidpovidaye dodavannya matric a mnozhennyu chisel mnozhennya matric Poklademo e 0 1 0 0 displaystyle varepsilon begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix nbsp Todi dovilne dualne chislo nabude viglyadu a b e a b 0 a displaystyle a b varepsilon begin pmatrix a amp b 0 amp a end pmatrix nbsp Pokaznikova forma Redaguvati Dlya eksponenti z dualnim pokaznikom virnoyu ye nastupna rivnist e e x 1 e x displaystyle mathrm e varepsilon x 1 varepsilon x nbsp Dana formula dozvolyaye predstaviti bud yakij dualne chislo v pokaznikovij formi i znajti jogo logarifm po dijsnij osnovi Vona mozhe buti dovedena rozkladannyam eksponenti v ryad Tejlora e e x 1 e x e x 2 2 e x 3 3 displaystyle mathrm e varepsilon x 1 varepsilon x frac varepsilon x 2 2 frac varepsilon x 3 3 cdots nbsp Pri comu vsi chleni vishe pershogo poryadku dorivnyuyut nulyu Koreni RedaguvatiKorin n go stupenya z chisla vidu a e b displaystyle a varepsilon b nbsp viznachayetsya yak a n e b n a n 1 n displaystyle sqrt n a frac varepsilon b n sqrt n a n 1 nbsp Diferenciyuvannya RedaguvatiDualni chisla dozvolyayut provoditi avtomatichne diferenciyuvannya funkcij Rozglyanemo dlya pochatku dijsnij mnogochlen vidu P x p 0 p 1 x p 2 x 2 p n x n displaystyle P x p 0 p 1 x p 2 x 2 ldots p n x n nbsp Prirodno prodovzhiti jogo oblast viznachennya z dijsnih chisel na dualni chisla Neskladno perekonatisya sho pri comu P a b e P a b P a e displaystyle P a b varepsilon P a bP a varepsilon nbsp pohidna mnogochlena P displaystyle P nbsp po x displaystyle x nbsp Pislya cogo ye prirodnim prodovzhiti oblast viznachennya vsih transcendentnih funkcij na ploshinu dualnih chisel za pravilom f a b e f a b f a e displaystyle f a b varepsilon f a bf a varepsilon nbsp de f displaystyle f nbsp pohidna funkciyi f displaystyle f nbsp Takim chinom vikonuyuchi obchislennya ne nad dijsnimi a nad dualnim chislami mozhna avtomatichno otrimuvati znachennya pohidnoyi funkciyi v tochci Osoblivo zruchno rozglyadati takim chinom kompoziciyi funkcij Mozhna provesti analogiyu mizh dualnim chislami i nestandartnim analizom Uyavna odinicya e kilcya dualnih chisel bagato v chomu podibna do neskinchenno malogo chisla z nestandartnogo analizu bud yakij stepin vishe pershogo e displaystyle varepsilon nbsp u tochnosti dorivnyuye 0 u toj chas yak bud yakij stepin neskinchenno malogo chisla priblizno dorivnyuye 0 ye neskinchenno maloyu bilsh visokogo poryadku Znachit yaksho d displaystyle delta nbsp neskinchenno male chislo to z tochnistyu do O d 2 displaystyle O delta 2 nbsp giperdijsni chisla izomorfni dualnim Div takozh RedaguvatiBikvaternioniLiteratura RedaguvatiKantor I L Solodovnikov A S Giperkompleksnye chisla Moskva Nauka 1973 144 s ros Yaglom I M Kompleksnye chisla i ih primenenie v geometrii Moskva Fizmatgiz 1963 192 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dualni chisla amp oldid 38694741