www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгебра над полем векторний простір на якому введено білінійне множення узгоджене з структурою векторного простору є одн

Алгебра над полем

Алгебра над полем — векторний простір, на якому введено білінійне множення узгоджене з структурою векторного простору.

Алгебра над полем є одночасно векторним простором і кільцем, і ці структури узгоджені. Узагальненням цього поняття є алгебра над кільцем, яка, взагалі кажучи, є не векторним простором, а модулем над деяким кільцем.

Визначення Редагувати

Нехай A — векторний простір над полем K , на якому визначена операція , що називається множенням. Тоді A є алгеброю над K, якщо для будь-яких виконуються рівності:

  • .

Ці три властивості означають, що операція множення є білінійною. У випадку алгебр з одиницею можна дати еквівалентне визначення:

Алгебра називається асоціативною, якщо операція множення в ній асоціативна, алгеброю з одиницею — алгебра, в якій є нейтральний щодо множення елемент, комутативною — якщо операція множення в ній є комутативною.

Часто у визначенні алгебра явно вимагається асоціативність множення, тобто мається на увазі «асоціативна алгебра», проте є багато важливих прикладів неасоціативних алгебр.

Пов'язані визначення Редагувати

  • Гомоморфізм K-алгебр — відображення , для якого виконуються рівності:
  • Підалгебра алгебри над полем K — лінійний підпростір, для якого добуток будь-яких двох елементів з цього підпростору знову йому належить.
  • Лівий ідеал K—алгебри — лінійний підпростір, замкнутий щодо множення зліва на довільний елемент алгебри. Відповідно, правий ідеал замкнутий щодо правого множення; двосторонній ідеал — ідеал, який є одночасно лівим і правим ідеалом. Єдина відмінність цього визначення від визначення ідеалу кільця, це вимога замкнутості щодо множення на елементи поля. У випадку алгебр з одиницею ця вимога виконується автоматично.
  • Алгебра з діленням — алгебра над полем, така що для будь-яких її елементів і рівняння і має розв'язок. Зокрема, асоціативна алгебра з діленням, що має одиницю, є тілом.
  • Центр алгебри А — множина елементів , таких що для будь-якого елемента .

Приклади Редагувати

Асоціативні алгебри Редагувати

  • Комплексні числа є двовимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
  • Кватерніони є чотиривимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
  • Попередні два приклади є полем і тілом відповідно, і це не випадково: будь-яка скінченновимірна алгебра над полем, що не має дільників нуля, є алгеброю з діленням. Дійсно, множення на x зліва є лінійним перетворенням цієї алгебри як векторного простору. у цього перетворення ядро рівне нулю (так як x не є дільником нуля), отже, воно сюр'ективним; зокрема, існує прообраз довільного елемента b, тобто такий елемент y, що xy = b. Друга умова доводиться аналогічно.
  • Нульова алгебра в якій добуток двох елементів рівний нулю є прикладом асоціативної, комутативної алгебри без одиниці.
  • Комутативна (і нескінченновимірна) алгебра многочленів K[x].
  • Алгебри функцій, такі як алгебра дійсних неперервних функцій, визначених на інтервалі (0, 1) або алгебра голоморфних функцій, визначених на фіксованій відкритій підмножині комплексної площини єприкладами комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
  • Алгебри квадратних матриць і більш загально лінійних операторів на гільбертовому просторі є прикладами некомутативних асоціативних алгебр з одиницею.
  • Групова алгебра в якій елементи групи є базисом векторного поля , що є простором скінченних лінійних комбінацій елементів з . На цьому просторі множення базисних елементів визначається множенням у групі, а на інші елементи вводиться лінійно. Отримана група є асоціативною групою з одиницею, яка є комутативною тоді і тільки тоді коли комутативною є група .

Неасоціативні алгебри Редагувати

Структурні коефіцієнти Редагувати

Множення в алгебрі над полем однозначно задається добутками базисних векторів. Таким чином, для задання скінченновимірної алгебри над полем K досить вказати її розмірність , визначити деякий базис і подати «таблицю множення» — квадратну таблицю розмірів Також множення в алгебрі однозначно можна задати вказавши структурних коефіцієнтів , що є елементами поля. Ці коефіцієнти визначаються з рівності:

Різні множини структурних коефіцієнтів можуть відповідати ізоморфним алгебрам.

Якщо K є тільки комутативним кільцем, а не полем, цей опис можливий, тільки коли алгебра A є вільним модулем.

Приклад Редагувати

Для розглянутої вище трьохвимірної алгебри з векторним добутком позначивши стандартну ортонормовану базу як (, , ) відповідна таблиця множення задається як:

Структурні коефіцієнти визначені як: всі інші коефіцієнти рівні нулю.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhailovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. - ISBN 1-4020-2690-0
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Algebra nad polem vektornij prostir na yakomu vvedeno bilinijne mnozhennya uzgodzhene z strukturoyu vektornogo prostoru Algebra nad polem ye odnochasno vektornim prostorom i kilcem i ci strukturi uzgodzheni Uzagalnennyam cogo ponyattya ye algebra nad kilcem yaka vzagali kazhuchi ye ne vektornim prostorom a modulem nad deyakim kilcem Zmist 1 Viznachennya 1 1 Pov yazani viznachennya 2 Prikladi 2 1 Asociativni algebri 2 2 Neasociativni algebri 3 Strukturni koeficiyenti 3 1 Priklad 4 Div takozh 5 DzherelaViznachennya RedaguvatiNehaj A vektornij prostir nad polem K na yakomu viznachena operaciya A A A displaystyle A times A to A nbsp sho nazivayetsya mnozhennyam Todi A ye algebroyu nad K yaksho dlya bud yakih x y z A a b K displaystyle x y z in A a b in K nbsp vikonuyutsya rivnosti x y z x z y z displaystyle x y cdot z x cdot z y cdot z nbsp x y z x y x z displaystyle x cdot y z x cdot y x cdot z nbsp a x b y a b x y displaystyle ax cdot by ab x cdot y nbsp Ci tri vlastivosti oznachayut sho operaciya mnozhennya ye bilinijnoyu U vipadku algebr z odiniceyu mozhna dati ekvivalentne viznachennya Algebra z odiniceyu nad polem K kilce z odiniceyu A razom z gomomorfizmom kilec z odiniceyu f K A displaystyle f K to A nbsp takim sho f K displaystyle f K nbsp nalezhit centru kilcya A tobto mnozhini elementiv sho komutuyut po mnozhennyu z usima inshimi elementami Pislya cogo mozhna vvazhati sho A ye vektornim prostorom nad K z nastupnoyu operaciyeyu mnozhennya na skalyar a K displaystyle alpha in K nbsp a x f a x displaystyle alpha x f alpha cdot x nbsp Algebra nazivayetsya asociativnoyu yaksho operaciya mnozhennya v nij asociativna algebroyu z odiniceyu algebra v yakij ye nejtralnij shodo mnozhennya element komutativnoyu yaksho operaciya mnozhennya v nij ye komutativnoyu Chasto u viznachenni algebra yavno vimagayetsya asociativnist mnozhennya tobto mayetsya na uvazi asociativna algebra prote ye bagato vazhlivih prikladiv neasociativnih algebr Pov yazani viznachennya Redaguvati Gomomorfizm K algebr vidobrazhennya f A B displaystyle f A rightarrow B nbsp dlya yakogo vikonuyutsya rivnosti f l x l f x displaystyle f lambda x lambda f x nbsp dlya vsih l K x A displaystyle lambda in K x in A nbsp f x y f x f y displaystyle f x y f x f y nbsp dlya vsih x y A displaystyle x y in A nbsp f x y f x f y displaystyle f x cdot y f x cdot f y nbsp dlya vsih x y A displaystyle x y in A nbsp Pidalgebra algebri nad polem K linijnij pidprostir dlya yakogo dobutok bud yakih dvoh elementiv z cogo pidprostoru znovu jomu nalezhit Livij ideal K algebri linijnij pidprostir zamknutij shodo mnozhennya zliva na dovilnij element algebri Vidpovidno pravij ideal zamknutij shodo pravogo mnozhennya dvostoronnij ideal ideal yakij ye odnochasno livim i pravim idealom Yedina vidminnist cogo viznachennya vid viznachennya idealu kilcya ce vimoga zamknutosti shodo mnozhennya na elementi polya U vipadku algebr z odiniceyu cya vimoga vikonuyetsya avtomatichno Algebra z dilennyam algebra nad polem taka sho dlya bud yakih yiyi elementiv a 0 displaystyle a neq 0 nbsp i b displaystyle b nbsp rivnyannya a x b displaystyle ax b nbsp i y a b displaystyle ya b nbsp maye rozv yazok Zokrema asociativna algebra z dilennyam sho maye odinicyu ye tilom Centr algebri A mnozhina elementiv a A displaystyle a in A nbsp takih sho x a a x displaystyle xa ax nbsp dlya bud yakogo elementa x A displaystyle x in A nbsp Prikladi RedaguvatiAsociativni algebri Redaguvati Kompleksni chisla ye dvovimirnoyu komutativnoyu algebroyu nad polem dijsnih chisel Kvaternioni ye chotirivimirnoyu komutativnoyu algebroyu nad polem dijsnih chisel Poperedni dva prikladi ye polem i tilom vidpovidno i ce ne vipadkovo bud yaka skinchennovimirna algebra nad polem sho ne maye dilnikiv nulya ye algebroyu z dilennyam Dijsno mnozhennya na x zliva ye linijnim peretvorennyam ciyeyi algebri yak vektornogo prostoru u cogo peretvorennya yadro rivne nulyu tak yak x ne ye dilnikom nulya otzhe vono syur ektivnim zokrema isnuye proobraz dovilnogo elementa b tobto takij element y sho xy b Druga umova dovoditsya analogichno Nulova algebra v yakij dobutok dvoh elementiv rivnij nulyu ye prikladom asociativnoyi komutativnoyi algebri bez odinici Komutativna i neskinchennovimirna algebra mnogochleniv K x Algebri funkcij taki yak algebra dijsnih neperervnih funkcij viznachenih na intervali 0 1 abo algebra golomorfnih funkcij viznachenih na fiksovanij vidkritij pidmnozhini kompleksnoyi ploshini yeprikladami komutativnih asociativnih algebr z odiniceyu Algebri kvadratnih matric i bilsh zagalno linijnih operatoriv na gilbertovomu prostori ye prikladami nekomutativnih asociativnih algebr z odiniceyu Grupova algebra K G displaystyle K G nbsp v yakij elementi grupi G displaystyle G nbsp ye bazisom vektornogo polya K G displaystyle K G nbsp sho ye prostorom skinchennih linijnih kombinacij elementiv z G displaystyle G nbsp Na comu prostori mnozhennya bazisnih elementiv viznachayetsya mnozhennyam u grupi a na inshi elementi vvoditsya linijno Otrimana grupa ye asociativnoyu grupoyu z odiniceyu yaka ye komutativnoyu todi i tilki todi koli komutativnoyu ye grupa G displaystyle G nbsp Neasociativni algebri Redaguvati Algebra oktonioniv abo chisel Keli Evklidiv prostir R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp z operaciyeyu vektornogo dobutku R 3 displaystyle mathbb R 3 cdot times nbsp ye neasociativnoyu antikomutativnoyu R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp algebroyu rozmirnosti 3 bez odinici Zagalni algebri Li Zokrema prostir kvadratnih matric rozmirnosti n M n R displaystyle left mathcal M n mathbb R cdot right nbsp razom z operaciyeyu duzhok Li M N M N N M displaystyle M N MN NM nbsp ye neasociativnoyu nekomutativnoyu algebroyu bez odinici Algebra Jordana Algebra Malceva Alternativni algebri Strukturni koeficiyenti RedaguvatiMnozhennya v algebri nad polem odnoznachno zadayetsya dobutkami bazisnih vektoriv Takim chinom dlya zadannya skinchennovimirnoyi algebri nad polem K dosit vkazati yiyi rozmirnist n displaystyle n nbsp viznachiti deyakij bazis e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 ldots e n nbsp i podati tablicyu mnozhennya kvadratnu tablicyu rozmiriv n n displaystyle n times n nbsp Takozh mnozhennya v algebri odnoznachno mozhna zadati vkazavshi n 3 displaystyle n 3 nbsp strukturnih koeficiyentiv c i j k displaystyle c i j k nbsp sho ye elementami polya Ci koeficiyenti viznachayutsya z rivnosti e i e j k 1 n c i j k e k displaystyle e i cdot e j sum k 1 n c i j k e k nbsp Rizni mnozhini strukturnih koeficiyentiv mozhut vidpovidati izomorfnim algebram Yaksho K ye tilki komutativnim kilcem a ne polem cej opis mozhlivij tilki koli algebra A ye vilnim modulem Priklad Redaguvati Dlya rozglyanutoyi vishe trohvimirnoyi algebri z vektornim dobutkom poznachivshi standartnu ortonormovanu bazu yak u displaystyle vec u nbsp v displaystyle vec v nbsp w displaystyle vec w nbsp vidpovidna tablicya mnozhennya zadayetsya yak u displaystyle vec u nbsp v displaystyle vec v nbsp w displaystyle vec w nbsp u displaystyle vec u nbsp u u 0 displaystyle vec u times vec u vec 0 nbsp u v w displaystyle vec u times vec v vec w nbsp u w v displaystyle vec u times vec w vec v nbsp v displaystyle vec v nbsp v u w displaystyle vec v times vec u vec w nbsp v v 0 displaystyle vec v times vec v vec 0 nbsp v w u displaystyle vec v times vec w vec u nbsp w displaystyle vec w nbsp w u v displaystyle vec w times vec u vec v nbsp w v u displaystyle vec w times vec v vec u nbsp w w 0 displaystyle vec w times vec w vec 0 nbsp Strukturni koeficiyenti viznacheni yak c 1 2 3 1 c 1 3 2 1 c 2 1 3 1 c 2 3 1 1 c 3 1 2 1 c 3 2 1 1 displaystyle c 1 2 3 1 c 1 3 2 1 c 2 1 3 1 c 2 3 1 1 c 3 1 2 1 c 3 2 1 1 nbsp vsi inshi koeficiyenti rivni nulyu Div takozh RedaguvatiAlgebra nad kilcem Diferencialna algebra KoalgebraDzherela RedaguvatiVinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Michiel Hazewinkel Nadiya Gubareni Nadezhda Mikhailovna Gubareni Vladimir V Kirichenko Algebras rings and modules Volume 1 2004 Springer 2004 ISBN 1 4020 2690 0 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Algebra nad polem amp oldid 34388386