Коалгебра — математична структура, яка є двоїстою до асоціативної алгебри з одиницею. Аксіоми унітарної асоціативної алгебри можуть бути сформульовані в термінах (комутативних діаграм). Аксіоми коалгебри одержуються за допомогою обертання стрілок. Кожна коалгебра через (двоїстість) векторних просторів породжує алгебру, але не завжди навпаки. У скінченновимірному випадку двоїстість є в обох напрямках.
Означення
Коалгебра над полем K — це векторний простір C над K разом з K — лінійними відображеннями і , такими що
- .
(Тут і позначає (тензорний добуток) над K.)
Еквівалентно, наступні дві діаграми (комутують):
На першій діаграмі ми ототожнюємо з як два природно ізоморфних простори. Аналогічно, на другій діаграмі ототожнені природно ізоморфні простори , і .
Перша діаграма (двоїста) діаграмі, що виражає асоціативність операції множення алгебри (і називається коасоціативністю комноження); друга діаграма двоїста діаграмі, що виражає існування мультиплікативного (нейтрального елемента). Відповідно, відображення Δ називається комноженням (або кодобутком) в C, а ε є коодиницею C.
Приклад
Розглянемо деяку множину S і векторний простір над K з базисом S. Елементами цього векторного простору є такі функції з S в K, які відображають всі елементи S, крім скінченної кількості в нуль; ототожнимо елемент s з S з функцією, яка відображає s в 1 і всі інші елементи S в 0. Позначимо цей простір як C. Визначимо
Δ і ε можуть бути єдиним чином продовжені на все C по лінійності. Векторний простір C стає коалгеброю з комноженням Δ і коодиницею ε (перевірка цього є хорошим способом, щоб звикнути до використання аксіом коалгебри).
Скінченновимірний випадок
У скінченновимірному випадку, двоїстість між алгеброю і коалгеброю є більш тісною: об'єкт, двоїстий до скінченновимірної (унітарної асоціативної) алгебри є коалгеброю, а двоїстий до скінченновимірної коалгебри є (унітарною асоціативною) алгеброю. Взагалі кажучи, об'єкт, двоїстий до довільної алгебри, може не бути коалгеброю.
Це випливає з того, що, для (скінченновимірних просторів), (A ⊗ A)* і A* ⊗ A* є ізоморфними. Якщо A є скінченновимірною асоціативною K-алгеброю з одиницею, тоді її K-спряжений простір A∗, елементами якого є K-лінійні функції з A в K є коалгеброю. Множення в A є лінійним відображенням A ⊗ A → A, яке породжує лінійне відображення спряжених просторів A∗ → (A ⊗ A)∗. Через ізоморфність, (A ⊗ A)∗ і A∗ ⊗ A∗ в скінченновимірному випадку, це відображення задає комноження на A∗. Коодиницею A∗ є відображення, що оцінює значення лінійних функцій у 1.
Загалом алгебра і коалгебра — двоїсті поняття (аксіоми, що визначають одну, одержуються із аксіом іншої за допомогою обертання стрілок), тоді як для скінченновимірних просторів вони є ще і двоїстими об'єктами.
Примітки
Див. також
- Алгебра над кільцем
- (Алгебра над полем)
Література
- Bourbaki, Nicolas (1989). Algebra. (Springer-Verlag). ISBN .. Chapter III, section 11.
- Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras.An introduction, Pure and Applied Mathematics, т. 235 (вид. 1st), Marcel Dekker, ISBN .
- Sweedler, Moss E. (1969), , Mathematics Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York, (MR) 0252485, архів оригіналу за 28 Червня 2014, процитовано 28 Листопада 2017
- Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra, Translations of mathematical monographs, т. 108, AMS Bookstore, ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет