www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гільбертів простір Гі льбертів про стір на честь Давида Гільберта це узагальнення поняття евклідового простору на нескін

Гільбертів простір

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє:

  1. вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута;
  2. визначити метрику, відносно якої гільбертів простір є повним метричним простором.
Стан вібруючої струни можна змоделювати як точку у гільбертовому просторі. Декомпозиція вібруючої струни на її вібрації в різних обертонах задається проєкцією точки на координатні осі в просторі.

Гільбертові простори часто виникають у математиці та фізиці — як правило, як функціональні простори. Вперше вони досліджувалися з цієї точки зору в першому десятилітті 20-го століття Давидом Гільбертом, Ерхардом Шмідтом і Фріджесом Рісом. Гільбертові простори є незамінними інструментами в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних, квантовій механіці, аналізі Фур'є (який включає застосування до обробки сигналів і теплопередачі) та ергодичній теорії (яка формує математичну основу термодинаміки). Джон фон Нейман ввів термін «Гільбертовий простір» для абстрактної концепції, яка лежить в основі багатьох із цих різноманітних застосувань. Успіх методів простору Гільберта започаткував дуже плідну еру функціонального аналізу. Окрім класичних евклідових векторних просторів, прикладами гільбертових просторів є простори квадратично-інтегрованих функцій, простори послідовностей, простори Соболєва, що складаються з узагальнених функцій, і простори Харді голоморфних функцій.

Геометрична інтуїція відіграє важливу роль у багатьох аспектах теорії гільбертового простору. Так, у гільбертовому просторі справедливі точні аналоги теореми Піфагора і правила паралелограма. На глибшому рівні — перпендикулярна проекція на лінійний підпростір або підпростір (аналог «опускання висоти» в трикутнику) відіграє значну роль у вирішенні проблем оптимізації. Елемент гільбертового простору може бути однозначно заданий його координатами відносно ортонормованого базису, за аналогією з декартовими координатами в класичній геометрії. Коли цей базис є зліченно-нескінченним, це дозволяє ототожнити гільбертовий простір з простором нескінченних послідовностей, які сумуються квадратами. Останній простір часто в старій літературі називають простором Гільберта.

Означення

Гільбертовим простором називається векторний простір над полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком — функцією від двох змінних (або , у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

  1. для кожного
  2. тоді і лише тоді, коли
  3. для довільних трьох
  4. , де ,  — елемент скалярного поля. ( або )
  6. Для довільної послідовності , для якої виконано (умова фундаментальності)
,
.

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: .

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось , хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою .

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору так і ермітового простору

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів виконується рівність За допомогою тотожності паралелограма,

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі;  — довільні) доводиться, що є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто для будь-якого Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

Приклади

1. Простір що складається зі збіжних послідовностей комплексних чисел — тобто, послідовностей, для яких

із ермітовим скалярним добутком

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що тобто ряд збігається — не очевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших членів послідовностей і Отож, отримуємо, що

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір  — повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на :

Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі

У будь-якому гільбертовому просторі можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в

Система векторів гільбертового простору що індексується множиною називається ортогональною, якщо для будь-яких і ортонормальною, якщо додатково для будь-якого

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору називається ортонормальним базисом у Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

Координати вектора відносно даного ортонормального базису — це скаляри Вектор повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченновимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір стає ізоморфним до

Дійсно, розгляньмо відображення

яке будь-якому вектору ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису Тоді  — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Рівність Парсеваля

Припустимо, що  — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів

де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається нерівністю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

Див. також

Примітки

  1. . Архів оригіналу за 15 червня 2013. Процитовано 22 лютого 2013. 
  2. В. М. Кадец, Курс функционального анализа, Х:Видавництво ХНУ, 2004 — с.290

Література

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Gi lbertiv pro stir na chest Davida Gilberta ce uzagalnennya ponyattya evklidovogo prostoru na neskinchennovimirnij vipadok Ye linijnim prostorom nad polem dijsnih abo kompleksnih chisel prijmennik nad oznachaye sho u takomu prostori dozvoleni operaciyi mnozhennya na skalyari iz vidpovidnih poliv iz viznachenim skalyarnim dobutkom Ostannij dozvolyaye vvoditi ponyattya analogichni zvichnim ponyattyam ortogonalnosti i kuta viznachiti metriku vidnosno yakoyi gilbertiv prostir ye povnim metrichnim prostorom Stan vibruyuchoyi struni mozhna zmodelyuvati yak tochku u gilbertovomu prostori Dekompoziciya vibruyuchoyi struni na yiyi vibraciyi v riznih obertonah zadayetsya proyekciyeyu tochki na koordinatni osi v prostori Gilbertovi prostori chasto vinikayut u matematici ta fizici yak pravilo yak funkcionalni prostori Vpershe voni doslidzhuvalisya z ciyeyi tochki zoru v pershomu desyatilitti 20 go stolittya Davidom Gilbertom Erhardom Shmidtom i Fridzhesom Risom Gilbertovi prostori ye nezaminnimi instrumentami v teoriyi diferencialnih rivnyan u chastinnih pohidnih kvantovij mehanici analizi Fur ye yakij vklyuchaye zastosuvannya do obrobki signaliv i teploperedachi ta ergodichnij teoriyi yaka formuye matematichnu osnovu termodinamiki Dzhon fon Nejman vviv termin Gilbertovij prostir dlya abstraktnoyi koncepciyi yaka lezhit v osnovi bagatoh iz cih riznomanitnih zastosuvan Uspih metodiv prostoru Gilberta zapochatkuvav duzhe plidnu eru funkcionalnogo analizu Okrim klasichnih evklidovih vektornih prostoriv prikladami gilbertovih prostoriv ye prostori kvadratichno integrovanih funkcij prostori poslidovnostej prostori Sobolyeva sho skladayutsya z uzagalnenih funkcij i prostori Hardi golomorfnih funkcij Geometrichna intuyiciya vidigraye vazhlivu rol u bagatoh aspektah teoriyi gilbertovogo prostoru Tak u gilbertovomu prostori spravedlivi tochni analogi teoremi Pifagora i pravila paralelograma Na glibshomu rivni perpendikulyarna proekciya na linijnij pidprostir abo pidprostir analog opuskannya visoti v trikutniku vidigraye znachnu rol u virishenni problem optimizaciyi Element gilbertovogo prostoru mozhe buti odnoznachno zadanij jogo koordinatami vidnosno ortonormovanogo bazisu za analogiyeyu z dekartovimi koordinatami v klasichnij geometriyi Koli cej bazis ye zlichenno neskinchennim ce dozvolyaye ototozhniti gilbertovij prostir z prostorom neskinchennih poslidovnostej yaki sumuyutsya kvadratami Ostannij prostir chasto v starij literaturi nazivayut prostorom Gilberta Zmist 1 Oznachennya 2 Prikladi 3 Ortonormalni bazisi koordinati u gilbertovomu prostori 4 Rivnist Parsevalya 5 Div takozh 6 Primitki 7 LiteraturaOznachennya RedaguvatiGilbertovim prostorom nazivayetsya 1 2 vektornij prostir H displaystyle H nad polem dijsnih abo kompleksnih chisel razom zi skalyarnim dobutkom funkciyeyu vid dvoh zminnih H H R displaystyle cdot cdot H times H to mathbb R abo C displaystyle mathbb C u vipadku vikoristannya polya kompleksnih chisel sho zadovolnyaye taki umovi x x 0 displaystyle x x geq 0 dlya kozhnogo x H displaystyle x in H x x 0 displaystyle x x 0 todi i lishe todi koli x 0 displaystyle x 0 x y z x z y z displaystyle x y z x z y z dlya dovilnih troh x y z H displaystyle x y z in H a x y a x y displaystyle alpha x y alpha x y de x y H displaystyle x y in H a displaystyle alpha element skalyarnogo polya R displaystyle mathbb R abo C displaystyle mathbb C x y y x x y H displaystyle x y overline y x x y in H Dlya dovilnoyi poslidovnosti x n H n 1 2 displaystyle x n in H n 1 2 ldots dlya yakoyi vikonano umova fundamentalnosti lim l k x l x k x l x k 0 displaystyle lim l k to infty x l x k x l x k 0 znajdetsya element x H displaystyle x in H sho dlya nogo dd lim n x n x x n x 0 displaystyle lim n to infty x n x x n x 0 Todi kazhut sho x displaystyle x ye graniceyu poslidovnosti x n displaystyle x n dd Navedene vishe oznachennya odnakovo zastosovne yak dlya vipadku prostoru nad dijsnimi chislami tak i nad kompleksnimi dosit zauvazhiti sho u pershomu vipadku v umovi 5 mayemo prosto simetrichnist skalyarnogo dobutku x y y x displaystyle x y y x Inodi takozh vimagayetsya shob dlya rozmirnosti prostoru vikonuvalos d i m H displaystyle dimH infty hocha ochevidno evklidovi skinchennovimirni prostori mozhna rozglyadati yak gilbertovi bez zhodnih dodatkovih zasterezhen Slid zaznachiti sho umova 6 oznachaye povnotu prostoru vidnosno normi zadanoyi yak x x x displaystyle x sqrt x x te sho navedena funkciya spravdi ye normoyu viplivaye iz vkazanih vishe vlastivostej skalyarnogo dobutku vrahovuyuchi linijnist mayemo sho kozhen gilbertiv prostir ye odnochasno banahovim prostorom tobto povnim normovanim vektornim prostorom iz normoyu x x x displaystyle x sqrt x x Gilbertiv prostir ye uzagalnennyam dlya vipadku neskinchennoyi rozmirnosti yak evklidovogo prostoru R n displaystyle mathbb R n tak i ermitovogo prostoru C n displaystyle mathbb C n Peredgilbertiv prostir vektornij prostir zi skalyarnim dobutkom umovi 1 5 Umovi povnoti prostoru 6 nemaye tomu vin zagalom ne ye banahovim Linijne vidobrazhennya L H 1 H 2 displaystyle L H 1 to H 2 mizh dvoma kompleksnimi gilbertovimi prostorami nazivayetsyaizometriyeyu yaksho vono zberigaye ermitovij skalyarnij dobutok tobto dlya bud yakih vektoriv u v H 1 displaystyle u v in H 1 vikonuyetsya rivnist L u L v u v displaystyle L u L v u v Za dopomogoyu totozhnosti paralelograma x y 2 x y 2 2 x 2 y 2 displaystyle x y 2 x y 2 2 x 2 y 2 dd viplivaye iz vlastivostej skalyarnogo dobutku i oznachennya normi u gilbertovomu prostori x y H displaystyle x y in H dovilni dovoditsya sho L displaystyle L ye izometriyeyu todi i tilki todi koli vono zberigaye normu tobto L v v displaystyle L v v dlya bud yakogo v H 1 displaystyle v in H 1 Izometriya mizh dvoma gilbertovimi prostorami sho ye biyekciyeyu nazivayetsya izomorfizmom gilbertovih prostoriv Prikladi Redaguvati1 Prostir l 2 displaystyle l 2 sho skladayetsya zi zbizhnih poslidovnostej kompleksnih chisel tobto poslidovnostej dlya yakih x x 1 x 2 x n x 2 n 1 x n 2 lt displaystyle mathbf x x 1 x 2 ldots x n ldots quad mathbf x 2 sum n geq 1 x n 2 lt infty iz ermitovim skalyarnim dobutkom x y n 1 x n y n displaystyle mathbf x mathbf y sum n geq 1 x n overline y n ye kompleksnim gilbertovim prostorom Yaksho obmezhitisya lishe poslidovnostyami z dijsnimi chlenami to oderzhimo dijsnij gilbertiv prostir Te sho x y lt displaystyle mathbf x mathbf y lt infty tobto ryad zbigayetsya ne ochevidnij fakt sho potrebuye dovedennya Zbizhnist ryada viplivaye iz nerivnosti Koshi Bunyakovskogo zastosovanoyi do pershih n displaystyle n chleniv poslidovnostej x displaystyle mathbf x i y displaystyle mathbf y Otozh otrimuyemo sho x y x y displaystyle mathbf x mathbf y leq mathbf x mathbf y U kursi funkcionalnogo analizu dovoditsya takozh sho prostir l 2 displaystyle l 2 povnij i takim chinom zadovolnyaye vsim aksiomam gilbertovogo prostoru 2 Gilbertiv prostir L 2 p p displaystyle L 2 pi pi kvadratichno integrovanih za Lebegom funkcij na vidrizku p p displaystyle pi pi utvoryuyetsya z linijnogo prostoru neperervnih kompleksnoznachnih funkcij na comu vidrizku za operaciyeyu popovnennya Navedemo lishe oznachennya ermitovogo skalyarnogo dobutku na L 2 p p displaystyle L 2 pi pi f g 1 2 p p p f x g x d x displaystyle f g frac 1 2 pi int pi pi f x overline g x dx Ortonormalni bazisi koordinati u gilbertovomu prostori RedaguvatiU bud yakomu gilbertovomu prostori H displaystyle H mozhna vvesti sistemu koordinat sho uzagalnyuyut dekartovi koordinati na ploshini abo v zvichajnomu trivimirnomu evklidovomu prostori Ce dosyagayetsya za dopomogoyu viboru ortonormalnogo bazisu v H displaystyle H Sistema vektoriv u i i I displaystyle u i i in I gilbertovogo prostoru H displaystyle H sho indeksuyetsya mnozhinoyu I displaystyle I nazivayetsyaortogonalnoyu yaksho u i u j 0 displaystyle u i u j 0 dlya bud yakih i j I displaystyle i neq j in I iortonormalnoyu yaksho dodatkovo u i u i 1 displaystyle u i u i 1 dlya bud yakogo i I displaystyle i in I Otzhe ortonormalna sistema skladayetsya z poparno ortogonalnih vektoriv gilbertovogo prostoru odinichnoyi dovzhini Sistema vektoriv nazivayetsyapovnoyu yaksho mnozhina yih skinchenih linijnih kombinacij shilna u H displaystyle H Povna ortonormalna sistema vektoriv gilbertovogo prostoru H displaystyle H nazivayetsyaortonormalnim bazisom u H displaystyle H Povnota ortonormalnoyi sistemi vektoriv pereviryayetsya za dopomogoyu rivnosti Parsevalya div nizhche Koordinati vektora w H displaystyle w in H vidnosno danogo ortonormalnogo bazisu ce skalyari a i u i w i I displaystyle a i u i w i in I Vektor w displaystyle w povnistyu viznachenij svoyimi koordinatami i mozhe buti formalno rozkladenij za elementami ortonormalnogo bazisu w i I a i u i i I u i w u i displaystyle w sum i in I a i u i sum i in I u i w u i Separabelni gilbertovi prostori utvoryuyut najvazhlivishij klas neskinchennovimirnih gilbertovih prostoriv Voni mozhut buti oharakterizovani yak taki v yakih mozhna obrati ortonormalnij bazis iz zlichennoyi mnozhini vektoriv Viyavlyayetsya sho za obrannyam ortonormalnogo bazisu u 1 u 2 u n displaystyle u 1 u 2 ldots u n ldots bud yakij neskinchenovimirnij separabelnij gilbertiv prostir H displaystyle H staye izomorfnim do l 2 displaystyle l 2 Dijsno rozglyanmo vidobrazhennya L H l 2 L v v u n n 1 2 displaystyle L H to l 2 quad L v v u n n 1 2 ldots yake bud yakomu vektoru v H displaystyle v in H stavit u vidpovidnist poslidovnist jogo koordinat vidnosno ortonormalnogo bazisu u n n N displaystyle u n n in mathbb N Todi L displaystyle L ce linijne vidobrazhennya i potribno she perekonatisya sho vono ye izometriyeyu z obrazom l 2 displaystyle l 2 Ci vlastivosti viplivayut z nastupnoyirivnosti Parsevalya Rivnist Parsevalya RedaguvatiPripustimo sho u 1 u 2 displaystyle u 1 u 2 ldots ce skinchenna abo zlichenna ortonormalna sistema vektoriv u gilbertovomu prostori H displaystyle H Povnota ciyeyi sistemi ekvivalentna vikonannyu nastupnoyi rivnosti dlya vsih vektoriv v H displaystyle v in H u i v 2 v v displaystyle sum u i v 2 v v de suma rozpovsyudzhuyetsya na vsi elementi danoyi sistemi vektoriv U bud yakomu razi ryad u livij chastini ciyeyi rivnosti zbigayetsya i jogo suma ne perevishuye pravu chastinu cej fakt nazivayetsyanerivnistyu Besselya Rivnist Parsevalya vpershe z yavilas u doslidzhenni ryadiv Fur ye neperervnih funkcij na skinchennomu intervali u takomu viglyadi 2 a 0 2 n 1 a n 2 b n 2 1 p p p f x 2 d x displaystyle 2a 0 2 sum n 1 infty a n 2 b n 2 frac 1 pi int pi pi f x 2 dx quad de a 0 1 2 p p p f x d x a n 1 p p p f x cos n x d x b n 1 p p p f x sin n x d x n 1 displaystyle a 0 frac 1 2 pi int pi pi f x dx quad a n frac 1 pi int pi pi f x cos nx dx quad b n frac 1 pi int pi pi f x sin nx dx quad n geq 1 koeficiyenti Fur ye dijsnoyi funkciyi f x p x p displaystyle f x pi leq x leq pi Za elementarnimi peretvorennyami z cogo viplivaye sho kompleksni eksponencialni funkciyi e i n x cos n x i sin n x n Z displaystyle e inx cos nx i sin nx n in mathbb Z utvoryuyut ortonormalnij bazis u oznachenomu vishe kompleksnomu gilbertovomu prostori L 2 p p displaystyle L 2 pi pi Div takozh RedaguvatiBanahiv prostir Teorema RisaPrimitki Redaguvati Arhivovana kopiya Arhiv originalu za 15 chervnya 2013 Procitovano 22 lyutogo 2013 V M Kadec Kurs funkcionalnogo analiza H Vidavnictvo HNU 2004 s 290Literatura RedaguvatiKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Berezanskij Yu M Us G F Sheftel Z G Funkcionalnyj analiz kurs lekcij K Visha shkola 1990 600 s ros Moren K Metody gilbertova prostranstva M Mir 1965 570 c Banah S Kurs funkcionalnogo analizu linijni operaciyi K Radyanska shkola 1948 216 s ukr Vulih B Z Vvedenie v funkcionalnyj analiz M Nauka 1967 416 s Iosida K Funkcionalnyj analiz M Mir 1967 624 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Gilbertiv prostir amp oldid 39923956