Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку функції (зазвичай позначають , іноді або або ) . Норма в цьому просторі визначається так:
Цю норму також називають нормою Чебишова або рівномірною нормою, оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна рівномірній збіжності.
Властивості Редагувати
- Якщо послідовність елементів з збігається в цьому просторі до деякої граничної функції , то при .
- Звідси: — банахів простір.
- Простір неперервних функцій сепарабельний: зліченну всюди щільну множину в ньому утворює множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок апроксимаційної теореми Веєрштрасса.
- В не виконується тотожність паралелограма, тому норма в ньому не породжує ніякого скалярний добуток.
Варіації та узагальнення Редагувати
Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.
Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) називають множину всіх неперервних обмежених функцій зі введеною на ній нормою:
Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:
У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність
Його поповненням є — простір сумованих функцій.
Література Редагувати
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 2004.
- Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965.
- M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London : Academic Press, 1973.
- Иосида К.[en]. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Maximum norm(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської. (січень 2023)
|