www.wikidata.uk-ua.nina.az

Фундаментальна послідовність в математичному аналізі послідовність члени якої наближаються як завгодно близько один до о

Фундаментальна послідовність

Фундаментальна послідовність — в математичному аналізі послідовність, члени якої наближаються як завгодно близько один до одного зі збільшенням порядкових номерів. Фундаментальні послідовності дійсних чисел завжди є збіжними, і тому послідовність можна перевірити на збіжність (так зв. збіжність за Коші) не знаходячи фактичного значення її границі. Поняття фундаментальної послідовності узагальнюється на довільні метричні простори. На відміну від дійсних чисел, воно може не бути еквівалентним до збіжності. Повний метричний простір нагадує дійсні числа у тому, що будь-яка фундаментальна послідовність є збіжна.

(a) Графік фундаментальної послідовності зображений синім. Якщо простір, що містить послідовність є повним, границя існує.
(b) Послідовність не фундаментальна. Елементи послідовності не наближаються як завгодно близько один до одного із поступом послідовності.

Означення Редагувати

  • Послідовність елементів метричного простору називається фундаментальною послідовністю, якщо для кожного дійсного існує таке ціле (яке залежить від ), що для всіх цілих виконується

(так званий критерій Коші).

Трохи неформально висловлюючись, вимагаємо, що члени послідовності із достатньо великими індексами (більшими за ) стають як завгодно близькими один до одного у (відстань менша за ). Це наштовхує на думку про існування границі фундаментальної послідовності у . Але насправді границі може й не бути! А саме,

  • Метричний простір в якому кожна фундаментальна послідовність має границю в називають повним.

(Неформально: у «немає дірок», множина точок розриву є множина міри 0, М — вимірна за Жорданом.)

Будь-який метричний простір можна поповнити, тобто розширити його до простору

приєднавши границі усіх фундаментальних послідовностей з

Приклади Редагувати

1. Будь-яка збіжна послідовність у довільному метричному просторі — фундаментальна. Наприклад: що має границю  — фундаментальна.

2. Множина дійсних чисел із звичайною відстанню є повним метричним простором. (Це одна із найвизначніших властивостей дійсних чисел, що може бути навіть використана для їх аксіоматичної характеризації.) Тому довільна фундаментальна послідовність дійсних чисел має границю в . Повнота дозволяє надати умови для збіжності послідовності (або ряду) дійсних чисел без обчислювання її (його) границі (див. критерій Вейєрштраса). Наприклад, визначимо послідовність за правилом

(послідовності схожого типу з'являються у методі Ньютона розв'язання рівнянь). Тоді неважко довести, що це — фундаментальна послідовність дійсних чисел, тому вона має певну границю

3. Зауважимо, що всі члени щойно побудованої послідовності — раціональні числа, але її границя — ірраціональне число. Справді, звідки одержуємо, що тому Розглянута як послідовність елементів з із звичайною відстанню, вона так само є фундаментальною. Оскільки ми винайшли фундаментальну послідовність раціональних чисел, яка не має границі серед раціональних чисел, метричний простір не є повним. Одне із класичних означень дійсних чисел — вони є поповнення раціональних чисел, (див. вище).

4. Розглянемо метричний простір цілих чисел із звичайною відстанню Тоді неважко переконатися, що послідовність  — фундаментальна лише тоді, якщо вона «згодом постійна», тобто всі її члени із достатньо великими індексами дорівнюють певній цілій константі Справді, обираючи в означенні фундаментальної послідовності знаходимо, що існує таке ціле , що для всіх індексів виконується Оскільки всі  — цілі числа, а відстань між будь-якими відмінними цілими числами принаймні маємо для всіх

5. Розглянемо множину натуральних чисел як метричний простір із дещо незвичайною відстанню. По-перше, нехай дорівнює максимальній кількості останніх цифр (тобто, рахуючи з кінця) у десятковому записі та що збігаються між собою. Наприклад, Інакше кажучи,  — це число нулів наприкінці десяткового запису Визначимо відстань між натуральними числами за формулою Можна переконатися, що становить собою метричний простір (пор. p-адичні числа). Утворимо послідовність таким чином, що одержано з додаванням попереду його десяткового запису будь-якої цифри, що не дорівнює нулю (наприклад, можна визначити що складається з одиниць). Тоді  — це фундаментальна послідовність, що не має границі у Зокрема, цей метричний простір не є повним.

Властивості Редагувати

1. Кожна збіжна послідовність є фундаментальною, і кожна фундаментальна послідовність є обмеженою.

2. Якщо і  — дві фундаментальні послідовності в просторі раціональних, дійсних чи комплексних чисел, тоді сума і добуток також є фундаментальними послідовностями.

3. Якщо є рівномірно неперервним відображенням метричних просторів і є фундаментальною послідовністю в тоді є фундаментальною послідовністю в

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Fundamentalna poslidovnist v matematichnomu analizi poslidovnist chleni yakoyi nablizhayutsya yak zavgodno blizko odin do odnogo zi zbilshennyam poryadkovih nomeriv Fundamentalni poslidovnosti dijsnih chisel zavzhdi ye zbizhnimi i tomu poslidovnist mozhna pereviriti na zbizhnist tak zv zbizhnist za Koshi ne znahodyachi faktichnogo znachennya yiyi granici Ponyattya fundamentalnoyi poslidovnosti uzagalnyuyetsya na dovilni metrichni prostori Na vidminu vid dijsnih chisel vono mozhe ne buti ekvivalentnim do zbizhnosti Povnij metrichnij prostir nagaduye dijsni chisla u tomu sho bud yaka fundamentalna poslidovnist ye zbizhna a Grafik fundamentalnoyi poslidovnosti x n displaystyle x n zobrazhenij sinim Yaksho prostir sho mistit poslidovnist ye povnim granicya isnuye b Poslidovnist ne fundamentalna Elementi poslidovnosti ne nablizhayutsya yak zavgodno blizko odin do odnogo iz postupom poslidovnosti Zmist 1 Oznachennya 2 Prikladi 3 Vlastivosti 4 Div takozh 5 DzherelaOznachennya RedaguvatiPoslidovnist x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 ldots nbsp elementiv metrichnogo prostoru M d displaystyle M d nbsp nazivayetsya fundamentalnoyu poslidovnistyu yaksho dlya kozhnogo dijsnogo ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp isnuye take cile N displaystyle N nbsp yake zalezhit vid ϵ displaystyle epsilon nbsp sho dlya vsih cilih m n gt N displaystyle m n gt N nbsp vikonuyetsyar x m x n lt ϵ displaystyle rho x m x n lt epsilon nbsp tak zvanij kriterij Koshi Trohi neformalno vislovlyuyuchis vimagayemo sho chleni poslidovnosti x displaystyle x nbsp iz dostatno velikimi indeksami bilshimi za N displaystyle N nbsp stayut yak zavgodno blizkimi odin do odnogo u M displaystyle M nbsp vidstan mensha za ϵ displaystyle epsilon nbsp Ce nashtovhuye na dumku pro isnuvannya granici fundamentalnoyi poslidovnosti u M displaystyle M nbsp Ale naspravdi granici mozhe j ne buti A same Metrichnij prostir M d displaystyle M d nbsp v yakomu kozhna fundamentalna poslidovnist maye granicyu v M displaystyle M nbsp nazivayut povnim Neformalno u M displaystyle M nbsp nemaye dirok mnozhina tochok rozrivu ye mnozhina miri 0 M vimirna za Zhordanom Bud yakij metrichnij prostir M d displaystyle M d nbsp mozhna popovniti tobto rozshiriti jogo do prostoru M d M M d x y d x y x y M displaystyle overline M overline d quad M subseteq overline M quad overline d x y d x y quad forall x y in M nbsp priyednavshi granici usih fundamentalnih poslidovnostej z M displaystyle M nbsp Prikladi Redaguvati1 Bud yaka zbizhna poslidovnist u dovilnomu metrichnomu prostori fundamentalna Napriklad x n 1 n Q displaystyle x n 1 n in mathbb Q nbsp sho maye granicyu 0 Q displaystyle 0 in mathbb Q nbsp fundamentalna 2 Mnozhina R displaystyle mathbb R nbsp dijsnih chisel iz zvichajnoyu vidstannyu d x y x y displaystyle d x y x y nbsp ye povnim metrichnim prostorom Ce odna iz najviznachnishih vlastivostej dijsnih chisel sho mozhe buti navit vikoristana dlya yih aksiomatichnoyi harakterizaciyi Tomu dovilna fundamentalna poslidovnist dijsnih chisel maye granicyu v R displaystyle mathbb R nbsp Povnota R displaystyle mathbb R nbsp dozvolyaye nadati umovi dlya zbizhnosti poslidovnosti abo ryadu dijsnih chisel bez obchislyuvannya yiyi jogo granici div kriterij Vejyershtrasa Napriklad viznachimo poslidovnist za pravilom x 1 1 x n 1 x n 2 1 x n 2 3 displaystyle x 1 1 x n 1 frac x n 2 frac 1 x n 2 3 nbsp poslidovnosti shozhogo tipu z yavlyayutsya u metodi Nyutona rozv yazannya rivnyan Todi nevazhko dovesti sho ce fundamentalna poslidovnist dijsnih chisel tomu vona maye pevnu granicyu x lim n x n R displaystyle x lim n to infty x n in mathbb R nbsp 3 Zauvazhimo sho vsi chleni shojno pobudovanoyi poslidovnosti racionalni chisla ale yiyi granicya irracionalne chislo Spravdi x x 2 1 x 2 3 displaystyle x x 2 1 x 2 3 nbsp zvidki oderzhuyemo sho x 3 3 x 2 0 displaystyle x 3 3x 2 0 nbsp tomu x Q displaystyle x notin mathbb Q nbsp Rozglyanuta yak poslidovnist elementiv z Q displaystyle mathbb Q nbsp iz zvichajnoyu vidstannyu vona tak samo ye fundamentalnoyu Oskilki mi vinajshli fundamentalnu poslidovnist racionalnih chisel yaka ne maye granici sered racionalnih chisel metrichnij prostir Q displaystyle mathbb Q nbsp ne ye povnim Odne iz klasichnih oznachen dijsnih chisel voni ye popovnennya racionalnih chisel R Q displaystyle mathbb R overline mathbb Q nbsp div vishe 4 Rozglyanemo metrichnij prostir Z displaystyle mathbb Z nbsp cilih chisel iz zvichajnoyu vidstannyu d x y x y displaystyle d x y x y nbsp Todi nevazhko perekonatisya sho poslidovnist x n displaystyle x n nbsp fundamentalna lishe todi yaksho vona zgodom postijna tobto vsi yiyi chleni iz dostatno velikimi indeksami dorivnyuyut pevnij cilij konstanti C Z displaystyle C in mathbb Z nbsp Spravdi obirayuchi v oznachenni fundamentalnoyi poslidovnosti ϵ 1 displaystyle epsilon 1 nbsp znahodimo sho isnuye take cile N displaystyle N nbsp sho dlya vsih indeksiv m n gt N displaystyle m n gt N nbsp vikonuyetsya x n x m lt 1 displaystyle x n x m lt 1 nbsp Oskilki vsi x n displaystyle x n nbsp cili chisla a vidstan mizh bud yakimi vidminnimi cilimi chislami prinajmni 1 displaystyle 1 nbsp mayemo x n x m C displaystyle x n x m C nbsp dlya vsih m n gt N displaystyle m n gt N nbsp 5 Rozglyanemo mnozhinu N displaystyle mathbb N nbsp naturalnih chisel yak metrichnij prostir iz desho nezvichajnoyu vidstannyu Po pershe nehaj o r d 10 m n displaystyle ord 10 m n nbsp dorivnyuye maksimalnij kilkosti ostannih cifr tobto rahuyuchi z kincya u desyatkovomu zapisi m displaystyle m nbsp ta n displaystyle n nbsp sho zbigayutsya mizh soboyu Napriklad o r d 10 11 12 0 o r d 10 111 211 2 o r d 10 1 123111 1 displaystyle ord 10 11 12 0 ord 10 111 211 2 ord 10 1 123111 1 nbsp Inakshe kazhuchi o r d 10 m n displaystyle ord 10 m n nbsp ce chislo nuliv naprikinci desyatkovogo zapisu m n displaystyle m n nbsp Viznachimo vidstan mizh naturalnimi chislami za formuloyu d m n 10 o r d 10 m n displaystyle d m n 10 ord 10 m n nbsp Mozhna perekonatisya sho N d displaystyle mathbb N d nbsp stanovit soboyu metrichnij prostir por p adichni chisla Utvorimo poslidovnist x n displaystyle x n nbsp takim chinom sho x n 1 displaystyle x n 1 nbsp oderzhano z x n displaystyle x n nbsp dodavannyam poperedu jogo desyatkovogo zapisu bud yakoyi cifri sho ne dorivnyuye nulyu napriklad mozhna viznachiti x n 11 1 displaystyle x n 11 ldots 1 nbsp sho skladayetsya z n displaystyle n nbsp odinic Todi x n displaystyle x n nbsp ce fundamentalna poslidovnist sho ne maye granici u N displaystyle mathbb N nbsp Zokrema cej metrichnij prostir ne ye povnim Vlastivosti Redaguvati1 Kozhna zbizhna poslidovnist ye fundamentalnoyu i kozhna fundamentalna poslidovnist ye obmezhenoyu 2 Yaksho x n displaystyle x n nbsp i y n displaystyle y n nbsp dvi fundamentalni poslidovnosti v prostori racionalnih dijsnih chi kompleksnih chisel todi suma x n y n displaystyle x n y n nbsp i dobutok x n y n displaystyle x n y n nbsp takozh ye fundamentalnimi poslidovnostyami 3 Yaksho f M N displaystyle f colon M to N nbsp ye rivnomirno neperervnim vidobrazhennyam metrichnih prostoriv i x n displaystyle x n nbsp ye fundamentalnoyu poslidovnistyu v M displaystyle M nbsp todi f x n displaystyle f x n nbsp ye fundamentalnoyu poslidovnistyu v N displaystyle N nbsp Div takozh Redaguvatibanahiv prostir gilbertiv prostir p adichni chislaDzherela RedaguvatiKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Fundamentalna poslidovnist amp oldid 34493152