www.wikidata.uk-ua.nina.az

Міра Жордана один із способів формалізації поняття довжини площі і n displaystyle n вимірного об єму в n displaystyle n

Міра Жордана

Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини, площі і -вимірного об'єму в -вимірному евклідовому просторі.

Побудова Редагувати

Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана.

Міра Жордана , добутку напівінтервалів в визначається як добуток

Для обмеженої множини визначаються:

  • зовнішня міра Жордана
  • внутрішня міра Жордана

де — паралелепіпеди описаного вище виду.

Множина називається вимірною за Жорданом, якщо . В цьому випадку міра Жордана дорівнює .

Властивості Редагувати

  • Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
  • Обмежена множина вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли її границя має міру Жордана рівну нулю.
  • Зовнішня міра Жордана для рівна зовнішній мірі Жордана для (замикання множини ) і рівна мірі Бореля .
  • Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин, на якому міра Жордана є скінченно-адитивною функцією.

Вимірні і невимірні за Жорданом множини Редагувати

Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини дорівнює 1, а внутрішня дорівнює нулю.

Література Редагувати

  • Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887. (італ.)
  • Jordan C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99. (фр.)

Див. також Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Mira Zhordana odin iz sposobiv formalizaciyi ponyattya dovzhini ploshi i n displaystyle n vimirnogo ob yemu v n displaystyle n vimirnomu evklidovomu prostori Zmist 1 Pobudova 2 Vlastivosti 3 Vimirni i nevimirni za Zhordanom mnozhini 4 Literatura 5 Div takozhPobudova Redaguvati nbsp Mnozhina vimirna za Zhordanom yaksho vnutrishnya mira Zhordana dorivnyuye zovnishnij miri Zhordana Mira Zhordana m D displaystyle m Delta nbsp dobutku napivintervaliv D i 1 n a i b i displaystyle Delta prod i 1 n a i b i nbsp v R n displaystyle mathbb R n nbsp viznachayetsya yak dobutok m D i 1 n b i a i displaystyle m Delta prod i 1 n b i a i nbsp Dlya obmezhenoyi mnozhini E R n displaystyle E subset mathbb R n nbsp viznachayutsya zovnishnya mira Zhordana m e E inf k 1 N m D k k D k E displaystyle m e E inf sum k 1 N m Delta k quad bigcup k Delta k supset E nbsp vnutrishnya mira Zhordana m i E sup k 1 N m D k k D k E D k D m displaystyle m i E sup sum k 1 N m Delta k quad bigcup k Delta k subset E quad Delta k cap Delta m varnothing nbsp yaksho k m displaystyle k neq m nbsp de D 1 D 2 D N displaystyle Delta 1 Delta 2 ldots Delta N nbsp paralelepipedi opisanogo vishe vidu Mnozhina E displaystyle E nbsp nazivayetsya vimirnoyu za Zhordanom yaksho m e E m i E displaystyle m e E m i E nbsp V comu vipadku mira Zhordana dorivnyuye m E m e E m i E displaystyle m E m e E m i E nbsp Vlastivosti RedaguvatiMira Zhordana invariantna shodo ruhiv evklidovogo prostoru Obmezhena mnozhina E R n displaystyle E subset mathbb R n nbsp vimirna za Zhordanom todi i tilki todi koli yiyi granicya maye miru Zhordana rivnu nulyu Zovnishnya mira Zhordana dlya E displaystyle E nbsp rivna zovnishnij miri Zhordana dlya E displaystyle bar E nbsp zamikannya mnozhini E displaystyle E nbsp i rivna miri Borelya E displaystyle bar E nbsp Vimirni za Zhordanom mnozhini utvoryuyut kilce mnozhin na yakomu mira Zhordana ye skinchenno aditivnoyu funkciyeyu Vimirni i nevimirni za Zhordanom mnozhini RedaguvatiUsi pryamokutniki kuli simpleksi ye vimirnimi za Zhordanom Prostim prikladom ne vimirnoyi za Zhordanom mnozhini ye mnozhina racionalnih chisel Zovnishnya mira Zhordana ciyeyi mnozhini dorivnyuye 1 a vnutrishnya dorivnyuye nulyu Literatura RedaguvatiPeano G Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale Torino 1887 ital Jordan C Journal de Mathematiques Pures et Appliquees 1892 t 8 p 69 99 fr Div takozh RedaguvatiMira Lebega Mira mnozhini Mira Hausdorfa Mira Borelya Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Mira Zhordana amp oldid 34802848