www.wikidata.uk-ua.nina.az

Сигма адитивність або зліченна адитивність функції часто міри означеної на підмножинах заданої множини це абстракція тог

Сигма-адитивність

Сигма-адитивність або зліченна адитивність функції (часто міри) означеної на підмножинах заданої множини — це абстракція того, як інтуїтивні властивості розміру множини (довжина, площа, об'єм) сумуються коли розглядаємо багато об'єктів. Адитивність (або скінченна адитивність) — слабша умова ніж сигма-адитивність, тобто, сигма-адитивність тягне за собою адитивність.

Адитивність (або скінченна адитивність) функції на множині Редагувати

Нехай — функція, означена на алгебрі множин зі значеннями у [−∞, +∞] (див. розширена дійсна пряма). Функція називається адитивною (або скінченно-адитивною), якщо для неперетинних множин A і B з маємо

(Як наслідок цього адитивна функція не може набувати ані −∞, ані +∞ як значень, бо вираз ∞ − ∞ невизначений.)°

Використовуючи математичну індукцію можна довести, що адитивна функція задовольняє

для будь-яких множин з , які не перетинаються.

σ-адитивна функція на множині Редагувати

Припустимо, що це σ-алгебра. Якщо для будь-якої послідовності попарно неперетинних множин з , виконується

кажуть, що μ — зліченно-адитивна (або σ-адитивна).
Будь-як σ-адитивна функція також адитивна, але не навпаки.

Приклади Редагувати

Прикладом σ-адитивної функції може бути функція μ означена на булеані дійсних чисел, так що

Якщо це послідовність неперетинних множин дійсних чисел, тоді або жодна з них не містить 0, або лише одна. У будь-якому разі, рівність

дотримується.

Адитивна функція, яка не σ-адитивна Редагувати

Приклад адитивної функції, яка не σ-адитивна, можна отримати розглянувши μ, означену на множинах дійсних чисел заданих такою формулою

де λ позначає міру Лебега і lim це банахова границя.

Адитивність цієї функції можна перевірити скориставшись лінійністю границі. Те, що ця функція не σ-адитивна випливає з такої послідовності неперетинних множин

для n=0, 1, 2, ... Об'єднання цих множин — це додатні дійсні числа, і μ цього об'єднання — одиниця, тоді як μ кожної окремої множини, це нуль, отже, і сума μ(An) також нуль, що дає контрприклад.

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Sigma aditivnist abo zlichenna aditivnist funkciyi chasto miri oznachenoyi na pidmnozhinah zadanoyi mnozhini ce abstrakciya togo yak intuyitivni vlastivosti rozmiru mnozhini dovzhina plosha ob yem sumuyutsya koli rozglyadayemo bagato ob yektiv Aditivnist abo skinchenna aditivnist slabsha umova nizh sigma aditivnist tobto sigma aditivnist tyagne za soboyu aditivnist Zmist 1 Aditivnist abo skinchenna aditivnist funkciyi na mnozhini 2 s aditivna funkciya na mnozhini 3 Prikladi 3 1 Aditivna funkciya yaka ne s aditivna 4 DzherelaAditivnist abo skinchenna aditivnist funkciyi na mnozhini RedaguvatiNehaj m displaystyle mu nbsp funkciya oznachena na algebri mnozhin A displaystyle scriptstyle mathcal A nbsp zi znachennyami u div rozshirena dijsna pryama Funkciya m displaystyle mu nbsp nazivayetsya aditivnoyu abo skinchenno aditivnoyu yaksho dlya neperetinnih mnozhin A i B z A displaystyle scriptstyle mathcal A nbsp mayemo m A B m A m B displaystyle mu A cup B mu A mu B nbsp Yak naslidok cogo aditivna funkciya ne mozhe nabuvati ani ani yak znachen bo viraz neviznachenij Vikoristovuyuchi matematichnu indukciyu mozhna dovesti sho aditivna funkciya zadovolnyaye m n 1 N A n n 1 N m A n displaystyle mu left bigcup n 1 N A n right sum n 1 N mu A n nbsp dlya bud yakih mnozhin A 1 A 2 A N displaystyle A 1 A 2 dots A N nbsp z A displaystyle scriptstyle mathcal A nbsp yaki ne peretinayutsya s aditivna funkciya na mnozhini RedaguvatiPripustimo sho A displaystyle scriptstyle mathcal A nbsp ce s algebra Yaksho dlya bud yakoyi poslidovnosti A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 dots A n dots nbsp poparno neperetinnih mnozhin z A displaystyle scriptstyle mathcal A nbsp vikonuyetsya m n 1 A n n 1 m A n displaystyle mu left bigcup n 1 infty A n right sum n 1 infty mu A n nbsp kazhut sho m zlichenno aditivna abo s aditivna Bud yak s aditivna funkciya takozh aditivna ale ne navpaki Prikladi RedaguvatiPrikladom s aditivnoyi funkciyi mozhe buti funkciya m oznachena na buleani dijsnih chisel tak sho m A 1 yaksho 0 A 0 yaksho 0 A displaystyle mu A begin cases 1 amp mbox yaksho 0 in A 0 amp mbox yaksho 0 notin A end cases nbsp Yaksho A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 dots A n dots nbsp ce poslidovnist neperetinnih mnozhin dijsnih chisel todi abo zhodna z nih ne mistit 0 abo lishe odna U bud yakomu razi rivnist m n 1 A n n 1 m A n displaystyle mu left bigcup n 1 infty A n right sum n 1 infty mu A n nbsp dotrimuyetsya Aditivna funkciya yaka ne s aditivna Redaguvati Priklad aditivnoyi funkciyi yaka ne s aditivna mozhna otrimati rozglyanuvshi m oznachenu na mnozhinah dijsnih chisel zadanih takoyu formuloyu m A lim k 1 k l A 0 k displaystyle mu A lim k to infty frac 1 k cdot lambda left A cap left 0 k right right nbsp de l poznachaye miru Lebega i lim ce banahova granicya Aditivnist ciyeyi funkciyi mozhna pereviriti skoristavshis linijnistyu granici Te sho cya funkciya ne s aditivna viplivaye z takoyi poslidovnosti neperetinnih mnozhin A n n n 1 displaystyle A n left n n 1 right nbsp dlya n 0 1 2 Ob yednannya cih mnozhin ce dodatni dijsni chisla i m cogo ob yednannya odinicya todi yak m kozhnoyi okremoyi mnozhini ce nul otzhe i suma m An takozh nul sho daye kontrpriklad Dzherela Redaguvati Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Sigma aditivnist amp oldid 34444883