www.wikidata.uk-ua.nina.az

Послідовність У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна значення Послідо вність функція визначена на множині

Послідовність

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Послідовність (значення).

Послідо́вність — функція визначена на множині натуральних чисел яка набуває значення на об'єктах довільної природи. .

Записується у вигляді , чи коротко . Елементи називаються членами послідовності.

Можна розглядати послідовність як впорядковану (занумеровану натуральними числами) множину її членів.

В залежності від типу елементів, послідовності поділяють на числові та функціональні.

Наприклад: послідовність дійсних чисел — числова послідовність, яка набуває дійсних значень.

Скінченна послідовність

Вище було наведено означення нескінченної послідовності. Послідовність може визначатись на скінченній підмножині натуральних чисел, тоді вона називається скінченною. Кількість членів послідовності називають довжиною послідовності.

Скінченна послідовність на відміну від нескінченної має скінченну довжину. Також для скінченних послідовностей використовується інше позначення: . У цьому випадку i — лічильник, а n — кількість елементів.

Числова послідовність

Числова́ послідо́вність  — послідовність дійсних чисел, тобто відображення, яке кожному натуральному числу n ставить у відповідність дійсне число . Число називають елементом або членом послідовності.

Послідовною називають функцію, яка задана на множині всіх або перших n натуральних чисел.

Числа, які утворюють послідовність називають членами послідовності.

Якщо послідовність має скінченне число членів, то її називають скінченною послідовністю.

Якщо послідовність має нескінченне число членів, то її називають нескінченною послідовністю, а у записі це показують трьома крапками після останнього записаного члена послідовності.

У загальному випадку члени послідовності, як правило, позначають малими буквами з індексами внизу. Кожний індекс вказує порядковий номер члена послідовності.

Щоб задати послідовність, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який його член.

  1. Послідовність можна задати описом знаходження її членів.
  2. Скінченну послідовність можна задати переліком її членів.
  3. Послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.
  4. Послідовність можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи його номер.
  5. Спочатку вказати перший або кілька перших членів послідовності, а потім — умову, за якою можна визначити будь-який член послідовності за попереднім. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним. Іншими словами, для таких послідовностей окрім формули, яка виражає через необхідно вказати один або декілька перших членів. За обчислення таких членів відбувається «повернення назад». Найпростішими випадками є арифметична прогресія й геометрична прогресія.

Нескінченно мала послідовність

Послідовність {}називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатнього числа ε, можна вказати таке натуральне число N, що при n≥N, всі елементи {} задовольняють нерівність ||<ε

Чим більший знаменник додатного дробу, тим менше значення цього дробу. За достатньо великого значення знаменника дріб стає наскілько завгодно малим, наприклад, якщо то З цього слідує, що якщо то послідовність є нескінченно малою. Це значить, що яке б додатне число не було обраним, знайдеться номер починаючи з якого виконується нерівність Якщо не враховувати, що члени посліовності додатні, доведеться писати

Більш загально, якщо послідовність нескінченно велика, то послідовність нескінченно мала. Навпаки, якщо  — нескінченно мала послідовність, то послідовність нескінченно велика (зрозуміло, що усі є відмінними від нуля).

Наприклад, послідовність нескінченно мала, оскільки послідовність нескінченно велика.

Основні властивості нескінченно малих послідовностей

  1. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
  2. Різниця двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
  3. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
  4. Добуток нескінченно малої послідовності на дійсне число є нескінченно мала послідовність.
  5. Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності рівні певному числу c, то це число рівне нулю. (c=0)
  6. Якщо елементи {} нескінченно великої послідовності відмінні від нуля, то послідовність {} є нескінченно малою.

Щоб доказати, що задана послідовність нескінченно мала, можна користатися наступними теоремами:

  1. Якщо послідовності та нескінченно малі, то їх сума нескінченно мала.
  2. Якщо послідовність нескінченно мала, а послідовність обмежена, то послідовність нескінченно мала. Зокрема, нескінченно малий добуток двох нескінченно малих послідовностей.

Нескінченно велика послідовність

Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого додатнього числа A, знайдеться натуральне число N, що для n≥N, всі елементи будуть задовольняти нерівність

Границя послідовності

Послідовність із спільним членом не є нескінченно малою. Але її спільний член можна записати як тобто у вигляді суми числа 1 й нескінченно малої послідовності (). Тому за достатньо великих значень номера стає дуже малим, а це значить що члени послідовності стають майже невідмінними від 1. У цьому випадку говорять про границю послідовності, яка дорівнює 1, та пишуть

З властивостей нескінченно малих послідовностей випливають наступні властивості границь:

  1. Якщо та то та
  2. Якщо , причому та усі то
  3. Якщо послідовність стала, тобто усі її члени дорівнюють одному і тому самому числу, то й
  4. Якщо спільний член послідовності є дробом, у чисельнику й знаменнику якого стоять поліноми від які мають одий й той самий степінь, то границя цієї послідовності дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах: Наприклад,

Приклади

Розбиття

Із послідовністю пов'язане поняття розбиття. Розбиття — довільна (скінченна або нескінченна) послідовність

цілих невід'ємних чисел, розташованих у порядку (несуворого) спадання, тобто

й яка містить лише скінченне число ненульових членів. Можна не відрізняти послідовності, які відрізняються лише ланцюгом нулів у кінці. Наприклад, можна розглядати як одне й те саме розбиття.

Ненульові члени розбиття називаються частинами розбиття Число усіх частин називається його довжиною й позначається а сума усіх частин називається його вагою й позначається як

Якщо то  — розбиття числа Множина усіх розбиттів числа позначається

Можна використовувати позначення, яке вказує, скільки разів кожне число входить до даного розбиття як частина:

запис значить, що у точності частин розбиття дорівнюють Число

називається кратністю числа у розбитті .

Послідовність може визначатись на скінченній підмножині натуральних чисел, тоді вона називається скінченною. Кількість членів послідовності називають довжиною послідовності.

Скінченна послідовність на відміну від нескінченної має скінченну довжину. Також для скінченних послідовностей використовується інше позначення: . У цьому випадку i — лічильник, а n — кількість елементів.

Нехай  — лексикографічне впорядкування множини розбиттів числа є підмножиною яка складається з таких пар що або або перша не перетворювана на 0 різниця є додатною. Це лінійне впорядкування. Наприклад, за впорядкування розташовує елементи у послідовність

Нехай даний цілочисельний вектор Симетрична група діє на перестановками координат, і множина

є фундаментальною областю для цієї дії, тобто -орбіта кожного перетинає у точці Таким чином, отримується, якщо розташувати у порядку спадання. Для відношення значить, як і вище, що

Нехай тоді

Доказ. Нехай тобто Якщо то є перестановкою послідовності та, значить,

тому

Навпаки, якщо то

за звідки слідує, що

тобто Тому

Для кожної пари чисел таких, що визначається відображення , яке задається формулою:

Будь-який добуток виду називається підвищуючим оператором. Наприклад, нехай a  — підвищуючий оператор . Тоді Якщо вважати, що то це очевидно.

Та навпаки, нехай такі, що та Тоді знайдеться підвищуючий оператор такий, що У цьому випадку можна узяти

де При вивченні розбиттів їх можна наочно представляти у вигляді дошки (діаграми, графа) Ферре або табла Юнга.

Див. також

Примітки

  1. И.Макдональд - Симметрические функции и многочлены Холла. 
  2. Александр Фролов, Сергей Гашков - Дискретная математика 2-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для СПО. 

Посилання

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (Листопад 2016)
В іншому мовному розділі є повніша стаття Sequence(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
  • Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
  • Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
  • Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
  • Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
  • Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Poslidovnist znachennya Poslido vnist funkciya viznachena na mnozhini naturalnih chisel yaka nabuvaye znachennya na ob yektah dovilnoyi prirodi f N X displaystyle f mathbb N rightarrow X Zapisuyetsya u viglyadi x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n ldots chi korotko x n displaystyle x n Elementi x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 ldots nazivayutsya chlenami poslidovnosti Mozhna rozglyadati poslidovnist yak vporyadkovanu zanumerovanu naturalnimi chislami mnozhinu yiyi chleniv V zalezhnosti vid tipu elementiv poslidovnosti podilyayut na chislovi ta funkcionalni Napriklad poslidovnist dijsnih chisel chislova poslidovnist yaka nabuvaye dijsnih znachen Zmist 1 Skinchenna poslidovnist 2 Chislova poslidovnist 2 1 Neskinchenno mala poslidovnist 2 1 1 Osnovni vlastivosti neskinchenno malih poslidovnostej 2 2 Neskinchenno velika poslidovnist 2 3 Granicya poslidovnosti 2 4 Prikladi 3 Rozbittya 4 Div takozh 5 Primitki 6 PosilannyaSkinchenna poslidovnist RedaguvatiVishe bulo navedeno oznachennya neskinchennoyi poslidovnosti Poslidovnist mozhe viznachatis na skinchennij pidmnozhini naturalnih chisel todi vona nazivayetsya skinchennoyu Kilkist chleniv poslidovnosti nazivayut dovzhinoyu poslidovnosti Skinchenna poslidovnist na vidminu vid neskinchennoyi maye skinchennu dovzhinu Takozh dlya skinchennih poslidovnostej vikoristovuyetsya inshe poznachennya x i i 1 n displaystyle x i i 1 n U comu vipadku i lichilnik a n kilkist elementiv Chislova poslidovnist RedaguvatiChislova poslido vnist poslidovnist dijsnih chisel tobto vidobrazhennya yake kozhnomu naturalnomu chislu n stavit u vidpovidnist dijsne chislo x n x n Chislo x n x n nazivayut elementom abo chlenom poslidovnosti Poslidovnoyu nazivayut funkciyu yaka zadana na mnozhini vsih abo pershih n naturalnih chisel Chisla yaki utvoryuyut poslidovnist nazivayut chlenami poslidovnosti Yaksho poslidovnist maye skinchenne chislo chleniv to yiyi nazivayut skinchennoyu poslidovnistyu Yaksho poslidovnist maye neskinchenne chislo chleniv to yiyi nazivayut neskinchennoyu poslidovnistyu a u zapisi ce pokazuyut troma krapkami pislya ostannogo zapisanogo chlena poslidovnosti U zagalnomu vipadku chleni poslidovnosti yak pravilo poznachayut malimi bukvami z indeksami vnizu Kozhnij indeks vkazuye poryadkovij nomer chlena poslidovnosti Shob zadati poslidovnist potribno vkazati sposib za dopomogoyu yakogo mozhna znajti bud yakij jogo chlen Poslidovnist mozhna zadati opisom znahodzhennya yiyi chleniv Skinchennu poslidovnist mozhna zadati perelikom yiyi chleniv Poslidovnist mozhna zadati tabliceyu u yakij navproti kozhnogo chlena poslidovnosti vkazuyut jogo poryadkovij nomer Poslidovnist mozhna zadati formuloyu za yakoyu mozhna znajti bud yakij chlen poslidovnosti znayuchi jogo nomer Spochatku vkazati pershij abo kilka pershih chleniv poslidovnosti a potim umovu za yakoyu mozhna viznachiti bud yakij chlen poslidovnosti za poperednim Takij sposib zadannya poslidovnosti nazivayut rekurentnim Inshimi slovami dlya takih poslidovnostej okrim formuli yaka virazhaye a n 1 displaystyle a n 1 cherez a 1 a n displaystyle a 1 a n neobhidno vkazati odin abo dekilka pershih chleniv Za obchislennya takih chleniv vidbuvayetsya povernennya nazad Najprostishimi vipadkami ye arifmetichna progresiya j geometrichna progresiya Neskinchenno mala poslidovnist Redaguvati Poslidovnist x n x n nazivayetsya neskinchenno maloyu yaksho dlya bud yakogo dodatnogo chisla e mozhna vkazati take naturalne chislo N sho pri n N vsi elementi x n x n zadovolnyayut nerivnist x n displaystyle x n lt eChim bilshij znamennik dodatnogo drobu tim menshe znachennya cogo drobu Za dostatno velikogo znachennya znamennika drib staye naskilko zavgodno malim napriklad yaksho n gt 1 000 000 displaystyle n gt 1 000 000 to 1 n lt 0 000 001 displaystyle frac 1 n lt 0 000 001 Z cogo sliduye sho yaksho lim n a n displaystyle lim n to infty a n infty to poslidovnist 1 a n displaystyle frac 1 a n ye neskinchenno maloyu Ce znachit sho yake b dodatne chislo e varepsilon ne bulo obranim znajdetsya nomer N displaystyle N pochinayuchi z yakogo vikonuyetsya nerivnist 1 a n lt e displaystyle frac 1 a n lt varepsilon Yaksho ne vrahovuvati sho chleni posliovnosti dodatni dovedetsya pisati 1 a n lt e displaystyle frac 1 a n lt varepsilon Bilsh zagalno yaksho poslidovnist a 1 a n displaystyle a 1 a n neskinchenno velika to poslidovnist 1 a 1 1 a n displaystyle frac 1 a 1 frac 1 a n neskinchenno mala Navpaki yaksho a 1 a n displaystyle alpha 1 alpha n neskinchenno mala poslidovnist to poslidovnist 1 a 1 1 a n displaystyle frac 1 alpha 1 frac 1 alpha n neskinchenno velika zrozumilo sho usi a n displaystyle alpha n ye vidminnimi vid nulya Napriklad poslidovnist 1 1 2 1 3 1 4 displaystyle 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 neskinchenno mala oskilki poslidovnist 1 2 3 4 displaystyle 1 2 3 4 neskinchenno velika Osnovni vlastivosti neskinchenno malih poslidovnostej Redaguvati Suma dvoh neskinchenno malih poslidovnostej ye neskinchenno mala poslidovnist Riznicya dvoh neskinchenno malih poslidovnostej ye neskinchenno mala poslidovnist Dobutok dvoh neskinchenno malih poslidovnostej ye neskinchenno mala poslidovnist Dobutok neskinchenno maloyi poslidovnosti na dijsne chislo ye neskinchenno mala poslidovnist Yaksho vsi elementi neskinchenno maloyi poslidovnosti rivni pevnomu chislu c to ce chislo rivne nulyu c 0 Yaksho elementi x n x n neskinchenno velikoyi poslidovnosti vidminni vid nulya to poslidovnist 1 x n displaystyle frac 1 x n ye neskinchenno maloyu Shob dokazati sho zadana poslidovnist neskinchenno mala mozhna koristatisya nastupnimi teoremami Yaksho poslidovnosti a n displaystyle a n ta b n displaystyle b n neskinchenno mali to yih suma a n b n displaystyle a n b n neskinchenno mala Yaksho poslidovnist a n displaystyle a n neskinchenno mala a poslidovnist a n displaystyle alpha n obmezhena to poslidovnist a n a n displaystyle a n alpha n neskinchenno mala Zokrema neskinchenno malij dobutok dvoh neskinchenno malih poslidovnostej Neskinchenno velika poslidovnist Redaguvati Poslidovnist x n displaystyle x n nazivayetsya neskinchenno velikoyu yaksho dlya bud yakogo dodatnogo chisla A znajdetsya naturalne chislo N sho dlya n N vsi elementi x n displaystyle x n budut zadovolnyati nerivnist x n gt A displaystyle x n gt A Granicya poslidovnosti Redaguvati Poslidovnist iz spilnim chlenom a n n 2 9 n 2 4 displaystyle a n frac n 2 9 n 2 4 ne ye neskinchenno maloyu Ale yiyi spilnij chlen mozhna zapisati yak a n 1 5 n 2 4 displaystyle a n 1 frac 5 n 2 4 tobto u viglyadi sumi chisla 1 j neskinchenno maloyi poslidovnosti 5 n 2 4 displaystyle frac 5 n 2 4 Tomu za dostatno velikih znachen nomera 5 n 2 4 displaystyle frac 5 n 2 4 staye duzhe malim a ce znachit sho chleni poslidovnosti stayut majzhe nevidminnimi vid 1 U comu vipadku govoryat pro granicyu poslidovnosti yaka dorivnyuye 1 ta pishut lim n n 2 9 n 2 4 1 displaystyle lim n to infty frac n 2 9 n 2 4 1 Z vlastivostej neskinchenno malih poslidovnostej viplivayut nastupni vlastivosti granic Yaksho lim n a n a displaystyle lim n to infty a n a ta lim n b n b displaystyle lim n to infty b n b to lim n a n b n a b displaystyle lim n to infty a n b n a b ta lim n a n b n a b displaystyle lim n to infty a n b n ab Yaksho lim n a n a displaystyle lim n to infty a n a lim n b n b displaystyle lim n to infty b n b prichomu b 0 displaystyle b neq 0 ta usi b n 0 displaystyle b n neq 0 to lim n a n b n a b displaystyle lim n to infty frac a n b n frac a b Yaksho poslidovnist a n displaystyle a n stala tobto usi yiyi chleni dorivnyuyut odnomu i tomu samomu chislu a n C displaystyle a n C to j lim n a n C displaystyle lim n to infty a n C Yaksho spilnij chlen poslidovnosti ye drobom u chiselniku j znamenniku yakogo stoyat polinomi vid n displaystyle n yaki mayut odij j toj samij stepin to granicya ciyeyi poslidovnosti dorivnyuye vidnoshennyu koeficiyentiv pri starshih chlenah lim n a 0 n k a k b 0 n k b k a 0 b 0 displaystyle lim n to infty frac a 0 n k a k b 0 n k b k frac a 0 b 0 Napriklad lim n 4 n 3 6 n 1 8 n 3 5 n 2 9 4 8 1 2 displaystyle lim n to infty frac 4n 3 6n 1 8n 3 5n 2 9 frac 4 8 frac 1 2 Prikladi Redaguvati Naturalni parni chisla 2 4 6 8 10 12 14 Funkciya yaka zadaye poslidovnist a n 2 n displaystyle a n 2n Rekursivne viznachennya a n a n 1 2 a 1 2 displaystyle a n a n 1 2 a 1 2 Poslidovnist Fibonachchi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 Rekursivne viznachennya a n a n 1 a n 2 a 1 1 a 2 1 displaystyle a n a n 1 a n 2 a 1 1 a 2 1 Enciklopediya poslidovnostej cilih chiselRozbittya RedaguvatiIz poslidovnistyu pov yazane ponyattya rozbittya Rozbittya dovilna skinchenna abo neskinchenna poslidovnistl l 1 l 2 l r displaystyle lambda lambda 1 lambda 2 lambda r cilih nevid yemnih chisel roztashovanih u poryadku nesuvorogo spadannya tobtol 1 l 2 l r displaystyle lambda 1 geq lambda 2 geq geq lambda r geq j yaka mistit lishe skinchenne chislo nenulovih chleniv Mozhna ne vidriznyati poslidovnosti yaki vidriznyayutsya lishe lancyugom nuliv u kinci Napriklad mozhna rozglyadati 1 2 1 2 0 1 2 0 0 displaystyle 1 2 1 2 0 1 2 0 0 yak odne j te same rozbittya Nenulovi chleni rozbittya nazivayutsya chastinami rozbittya l displaystyle lambda Chislo usih chastin nazivayetsya jogo dovzhinoyu j poznachayetsya c a r d l displaystyle mathrm card lambda a suma usih chastin nazivayetsya jogo vagoyu j poznachayetsya yak l displaystyle lambda l l 1 l 2 displaystyle lambda lambda 1 lambda 2 Yaksho l n displaystyle lambda n to l lambda rozbittya chisla n displaystyle n Mnozhina usih rozbittiv chisla n n poznachayetsya P n displaystyle P n Mozhna vikoristovuvati poznachennya yake vkazuye skilki raziv kozhne chislo vhodit do danogo rozbittya yak chastina zapis l 1 m 1 2 m 2 r m r displaystyle lambda 1 m 1 2 m 2 r m r znachit sho u tochnosti m i displaystyle m i chastin rozbittya l lambda dorivnyuyut i displaystyle i Chislom i m i l c a r d j l j i displaystyle m i m i lambda mathrm card j lambda j i nazivayetsya kratnistyu chisla i i u rozbitti l lambda Poslidovnist mozhe viznachatis na skinchennij pidmnozhini naturalnih chisel todi vona nazivayetsya skinchennoyu Kilkist chleniv poslidovnosti nazivayut dovzhinoyu poslidovnosti Skinchenna poslidovnist na vidminu vid neskinchennoyi maye skinchennu dovzhinu Takozh dlya skinchennih poslidovnostej vikoristovuyetsya inshe poznachennya x i i 1 n displaystyle x i i 1 n U comu vipadku i lichilnik a n kilkist elementiv Nehaj L n displaystyle L n leksikografichne vporyadkuvannya mnozhini P n displaystyle P n rozbittiv chisla n displaystyle n L n displaystyle L n ye pidmnozhinoyu P n P n displaystyle P n times P n yaka skladayetsya z takih par l m displaystyle lambda mu sho abo l m displaystyle lambda mu abo persha ne peretvoryuvana na 0 riznicya l i m i displaystyle lambda i mu i ye dodatnoyu Ce linijne vporyadkuvannya Napriklad za n 5 displaystyle n 5 vporyadkuvannya L n displaystyle L n roztashovuye elementi P 5 displaystyle P 5 u poslidovnist 5 41 32 31 2 2 2 1 21 3 1 displaystyle 5 quad 41 quad 32 quad 31 2 quad 2 2 1 quad 21 3 quad 1 Nehaj danij cilochiselnij vektor a a 1 a n Z n displaystyle a a 1 a n in mathbb Z n Simetrichna grupa S n displaystyle S n diye na Z n displaystyle mathbb Z n perestanovkami koordinat i mnozhinaP n b Z n b 1 b 2 b n displaystyle P n b in mathbb Z n b 1 geq b 2 geq geq b n ye fundamentalnoyu oblastyu dlya ciyeyi diyi tobto S n displaystyle S n orbita kozhnogo a Z n displaystyle a in mathbb Z n peretinaye P n displaystyle P n u tochci a displaystyle a Takim chinom a displaystyle a otrimuyetsya yaksho roztashuvati a 1 a n displaystyle a 1 a n u poryadku spadannya Dlya a b Z n displaystyle a b in mathbb Z n vidnoshennya a b displaystyle a geq b znachit yak i vishe shoa 1 a i b 1 b i 1 i n displaystyle a 1 a i geq b 1 b i quad 1 leq i leq n displaystyle Box Nehaj a Z n displaystyle a in mathbb Z n todia P n a w a w a S n displaystyle a in P n Leftrightarrow a geq wa quad forall wa in S n Dokaz Nehaj a P n displaystyle a in P n tobto a 1 a n displaystyle a 1 geq geq a n Yaksho w a b displaystyle wa b to b 1 b n displaystyle b 1 b n ye perestanovkoyu poslidovnosti a 1 a n displaystyle a 1 a n ta znachit a 1 a i b 1 b i 1 i n displaystyle a 1 a i geq b 1 b i quad 1 leq i leq n tomu a b displaystyle a geq b Navpaki yaksho a w a w S n displaystyle a geq wa forall w in S n to a 1 a n a 1 a i 1 a i 1 a i a i 2 a n displaystyle a 1 a n geq a 1 a i 1 a i 1 a i a i 2 a n za 1 i n 1 displaystyle 1 leq i leq n 1 zvidki sliduye shoa i a i 1 a i a 1 a i 1 a i 1 displaystyle a i a i 1 a i geq a 1 a i 1 a i 1 tobto a i a i 1 displaystyle a i geq a i 1 Tomu a P n displaystyle a in P n quad blacksquare Dlya kozhnoyi pari chisel i j displaystyle i j takih sho 1 i lt j n displaystyle 1 leq i lt j leq n viznachayetsya vidobrazhennya R i j Z n R n displaystyle R ij mathbb Z n rightarrow mathbb R n yake zadayetsya formuloyu R i j a a 1 a i 1 a j 1 a n displaystyle R ij a a 1 a i 1 a j 1 a n Bud yakij dobutok vidu i lt j R i j r i j displaystyle prod i lt j R ij r ij nazivayetsya pidvishuyuchim operatorom Napriklad nehaj a Z n displaystyle a in mathbb Z n a R R pidvishuyuchij operator Todi R a a displaystyle Ra geq a Yaksho vvazhati sho R R i j displaystyle R R ij to ce ochevidno Ta navpaki nehaj a b Z n displaystyle a b in mathbb Z n taki sho a b displaystyle a leq b ta a 1 a n b 1 b n displaystyle a 1 a n b 1 b n Todi znajdetsya pidvishuyuchij operator takij sho b R a displaystyle b Ra U comu vipadku mozhna uzyatiR k 1 n 1 R k k 1 r k displaystyle R prod k 1 n 1 R k k 1 r k de r k i 1 k b i a i 0 displaystyle r k sum i 1 k b i a i geq 0 1 Pri vivchenni rozbittiv yih mozhna naochno predstavlyati u viglyadi doshki diagrami grafa Ferre abo tabla Yunga 2 Div takozh Redaguvati Portal Matematika Pidposlidovnist Ryad Obmezhena poslidovnist Monotonna poslidovnist Zbizhna poslidovnist Teorema pro tri poslidovnosti Teorema pro arifmetichni diyiPrimitki Redaguvati I Makdonald Simmetricheskie funkcii i mnogochleny Holla Aleksandr Frolov Sergej Gashkov Diskretnaya matematika 2 e izd ispr i dop Uchebnik i praktikum dlya SPO Posilannya RedaguvatiPonyattya poslidovnosti Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 199 594 s Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno Listopad 2016 V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Sequence angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Poslidovnist amp oldid 34495373