www.wikidata.uk-ua.nina.az

Вектор функція функція значеннями якої є вектори у векторному просторі V displaystyle mathbb V двох трьох або більше вим

Вектор-функція

Вектор-функція — функція, значеннями якої є вектори у векторному просторі двох, трьох або більше вимірів. Аргументами функції можуть бути:

  • одна скалярна змінна — тоді значення вектор-функції визначають у деяку криву;
  • скалярних змінних — тоді значення вектор-функції утворюють у , загалом, -вимірну поверхню;
  • векторна змінна — в цьому випадку вектор-функцію зазвичай розглядають як векторне поле на .

Вектор-функція однією скалярною змінною Редагувати

Для наочності далі обмежимося випадком тривимірного простору, хоча поширення на загальний випадок не становить труднощів. Вектор-функція однієї скалярної змінної відображає певний інтервал дійсних чисел у множину просторових векторів (інтервал може також бути нескінченним).

Вибравши координатні орти , Ми можемо розкласти вектор-функцію на три координатні функції , , :

Розглянуті як радіус-вектори, значення вектор-функції утворюють у просторі деяку криву, для якої t є параметром.

Кажуть, що вектор-функція має границю у точці , якщо (тут і далі позначають модуль вектора ). Границя вектор-функції має звичайні властивості:

  • Границя суми вектор-функцій дорівнює сумі границь доданків (в припущенні, що вони існують).
  • Границя скалярного добутку вектор-функцій дорівнює скалярному добутку границь множників.
  • Границя векторного добутку вектор-функцій дорівнює векторному добутку границь множників.

Неперервність вектор-функції визначається традиційно.

Похідна вектор-функції за параметром Редагувати

Визначимо похідну вектор-функції за параметром:

Якщо похідна в точці існує, вектор-функція називається диференційовною в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть .

Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):

Про застосування вектор-функцій однієї скалярної змінної в геометрії див. Диференціальна геометрія кривих.

Вектор-функція декількох скалярних змінних Редагувати

Для наочності обмежимося випадком двох змінних у тривимірному просторі. Значення вектор-функції (їх годограф) утворюють, загалом, двовимірну поверхню, на якій аргументи можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні.

У координатах рівняння має вид:

Аналогічно випадку однієї змінної, ми можемо визначити похідні вектор-функції, яких тепер буде дві: . Ділянка поверхні буде невиродженою (тобто в нашому випадку — двовимірною), якщо на ньому не перетворюється тотожно на нуль.

Координатна сітка на сфері

Криві на цій поверхні зручно задавати у вигляді:

де  — параметр кривої. Залежності передбачаються диференційовними, причому в області, що розглядається, їх похідні не повинні одночасно перетворюватися на нуль. Особливу роль відіграють координатні лінії, що утворюють сітку координат на поверхні:

Якщо на поверхні немає особливих точок ( ніде не перетворюється на нуль), то через кожну точку поверхні проходять рівно дві координатні лінії.

Докладніше про геометричні застосування вектор-функцій декількох скалярних змінних див. Теорія поверхонь.

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Vektor funkciya funkciya znachennyami yakoyi ye vektori u vektornomu prostori V displaystyle mathbb V dvoh troh abo bilshe vimiriv Argumentami funkciyi mozhut buti odna skalyarna zminna todi znachennya vektor funkciyi viznachayut u V displaystyle mathbb V deyaku krivu m displaystyle m skalyarnih zminnih todi znachennya vektor funkciyi utvoryuyut u V displaystyle mathbb V zagalom m displaystyle m vimirnu poverhnyu vektorna zminna v comu vipadku vektor funkciyu zazvichaj rozglyadayut yak vektorne pole na V displaystyle mathbb V Zmist 1 Vektor funkciya odniyeyu skalyarnoyu zminnoyu 1 1 Pohidna vektor funkciyi za parametrom 2 Vektor funkciya dekilkoh skalyarnih zminnih 3 LiteraturaVektor funkciya odniyeyu skalyarnoyu zminnoyu RedaguvatiDlya naochnosti dali obmezhimosya vipadkom trivimirnogo prostoru hocha poshirennya na zagalnij vipadok ne stanovit trudnoshiv Vektor funkciya odniyeyi skalyarnoyi zminnoyi r t displaystyle mathbf r t nbsp vidobrazhaye pevnij interval dijsnih chisel t 1 t t 2 displaystyle t 1 leqslant t leqslant t 2 nbsp u mnozhinu prostorovih vektoriv interval mozhe takozh buti neskinchennim Vibravshi koordinatni orti i j k displaystyle mathbf hat i mathbf hat j mathbf hat k nbsp Mi mozhemo rozklasti vektor funkciyu na tri koordinatni funkciyi x t displaystyle x t nbsp y t displaystyle y t nbsp z t displaystyle z t nbsp r t x t i y t j z t k displaystyle mathbf r t x t mathbf hat i y t mathbf hat j z t mathbf hat k nbsp Rozglyanuti yak radius vektori znachennya vektor funkciyi utvoryuyut u prostori deyaku krivu dlya yakoyi t ye parametrom Kazhut sho vektor funkciya r t displaystyle mathbf r t nbsp maye granicyu r 0 displaystyle mathbf r 0 nbsp u tochci t t 0 displaystyle t t 0 nbsp yaksho lim t t 0 r t r 0 0 displaystyle lim t to t 0 mathbf r t mathbf r 0 0 nbsp tut i dali v displaystyle mathbf v nbsp poznachayut modul vektora v displaystyle mathbf v nbsp Granicya vektor funkciyi maye zvichajni vlastivosti Granicya sumi vektor funkcij dorivnyuye sumi granic dodankiv v pripushenni sho voni isnuyut Granicya skalyarnogo dobutku vektor funkcij dorivnyuye skalyarnomu dobutku granic mnozhnikiv Granicya vektornogo dobutku vektor funkcij dorivnyuye vektornomu dobutku granic mnozhnikiv Neperervnist vektor funkciyi viznachayetsya tradicijno Pohidna vektor funkciyi za parametrom Redaguvati Viznachimo pohidnu vektor funkciyi r t displaystyle mathbf r t nbsp za parametrom d d t r t lim h 0 r t h r t h displaystyle frac d dt mathbf r t lim h to 0 frac mathbf r t h mathbf r t h nbsp Yaksho pohidna v tochci t displaystyle t nbsp isnuye vektor funkciya nazivayetsya diferencijovnoyu v cij tochci Koordinatnimi funkciyami dlya pohidnoyi budut x t y t z t displaystyle x t y t z t nbsp Vlastivosti pohidnoyi vektor funkciyi vsyudi peredbachayetsya sho pohidni isnuyut d d t r 1 t r 2 t d r 1 t d t d r 2 t d t displaystyle frac d dt mathbf r 1 t mathbf r 2 t frac d mathbf r 1 t dt frac d mathbf r 2 t dt nbsp pohidna sumi ye sumoyu pohidnih d d t f t r t d f t d t r t f t d r t d t displaystyle frac d dt f t mathbf r t frac df t dt mathbf r t f t frac d mathbf r t dt nbsp tut f t diferencijovna skalyarna funkciya d d t r 1 t r 2 t d r 1 t d t r 2 t r 1 t d r 2 t d t displaystyle frac d dt mathbf r 1 t mathbf r 2 t frac d mathbf r 1 t dt mathbf r 2 t mathbf r 1 t frac d mathbf r 2 t dt nbsp diferenciyuvannya skalyarnogo dobutku d d t r 1 t r 2 t d r 1 t d t r 2 t r 1 t d r 2 t d t displaystyle frac d dt mathbf r 1 t mathbf r 2 t left frac d mathbf r 1 t dt mathbf r 2 t right left mathbf r 1 t frac d mathbf r 2 t dt right nbsp diferenciyuvannya vektornogo dobutku d d t a t b t c t d a t d t b t c t a t d b t d t c t a t b t d c t d t displaystyle frac d dt mathbf a t mathbf b t mathbf c t left frac d mathbf a t dt mathbf b t mathbf c t right left mathbf a t frac d mathbf b t dt mathbf c t right left mathbf a t mathbf b t frac d mathbf c t dt right nbsp diferenciyuvannya mishanogo dobutku Pro zastosuvannya vektor funkcij odniyeyi skalyarnoyi zminnoyi v geometriyi div Diferencialna geometriya krivih Vektor funkciya dekilkoh skalyarnih zminnih RedaguvatiDlya naochnosti obmezhimosya vipadkom dvoh zminnih u trivimirnomu prostori Znachennya vektor funkciyi r u v displaystyle mathbf r u v nbsp yih godograf utvoryuyut zagalom dvovimirnu poverhnyu na yakij argumenti u v displaystyle u v nbsp mozhna rozglyadati yak vnutrishni koordinati tochok poverhni U koordinatah rivnyannya r r u v displaystyle mathbf r mathbf r u v nbsp maye vid x x u v y y u v z z u v displaystyle x x u v y y u v z z u v nbsp Analogichno vipadku odniyeyi zminnoyi mi mozhemo viznachiti pohidni vektor funkciyi yakih teper bude dvi r u r v displaystyle frac partial mathbf r partial u frac partial mathbf r partial v nbsp Dilyanka poverhni bude nevirodzhenoyu tobto v nashomu vipadku dvovimirnoyu yaksho na nomu r u r v displaystyle left frac partial mathbf r partial u frac partial mathbf r partial v right nbsp ne peretvoryuyetsya totozhno na nul nbsp Koordinatna sitka na sferiKrivi na cij poverhni zruchno zadavati u viglyadi u u t v v t displaystyle u u t v v t nbsp de t displaystyle t nbsp parametr krivoyi Zalezhnosti u t v t displaystyle u t v t nbsp peredbachayutsya diferencijovnimi prichomu v oblasti sho rozglyadayetsya yih pohidni ne povinni odnochasno peretvoryuvatisya na nul Osoblivu rol vidigrayut koordinatni liniyi sho utvoryuyut sitku koordinat na poverhni u t v c o n s t displaystyle u t v const nbsp persha koordinatna liniya u c o n s t v t displaystyle u const v t nbsp druga koordinatna liniya Yaksho na poverhni nemaye osoblivih tochok r u r v displaystyle left frac partial mathbf r partial u frac partial mathbf r partial v right nbsp nide ne peretvoryuyetsya na nul to cherez kozhnu tochku poverhni prohodyat rivno dvi koordinatni liniyi Dokladnishe pro geometrichni zastosuvannya vektor funkcij dekilkoh skalyarnih zminnih div Teoriya poverhon Literatura RedaguvatiBorisenko A I Tarapov I E Vektornyj analiz i nachala tenzornogo ischisleniya 3 e izd M Vysshaya shkola 1966 Krasnov M L Kisilev A I Makarenko G I Vektornyj analiz Nauka 1978 160 s 2 e izd URSS 2002 Kochin N E Vektornoe ischislenie i nachala tenzornogo ischisleniya Arhivovano 14 listopada 2007 u Wayback Machine 9 e izd M Nauka 1965 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vektor funkciya amp oldid 36028666