Мішаний добуток векторів — скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і :
Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).
Властивості Редагувати
- Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:
- Змішаний добуток в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та :
- Змішаний добуток в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів та , взятому зі знаком «мінус»:
- Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.
- Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.
- Геометричний сенс — мішаний добуток за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами та ; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.
- Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається ними.
- Змішаний добуток зручно записується за допомогою символу (тензора) Леві-Чивіти:
(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).
Тлумачення Редагувати
Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.
Потрійний векторний добуток Редагувати
Потрійний векторний добуток — векторним добутком одного вектора із векторним добутком двох інших. Має місце така формула:
Примітки Редагувати
- Гусятник П.Б., Резніченко С.В. Векторна алгебра в прикладах та завданнях. — М : Вища школа, 1985. — 232 с.