www.wikidata.uk-ua.nina.az

Паралелепіпед Паралелепі пед від грец παράλλος паралельний і επιπεδον площина призма основою для якої є паралелограм 1 2

Паралелепіпед

Паралелепі́пед (від грец. παράλλος — паралельний і επιπεδον — площина) — призма, основою для якої є паралелограм.

Властивості Редагувати

  • Всі 6 граней паралелепіпеда є паралелограмами.
  • Протилежні грані рівні та паралельні.
  • Діагоналі перетинаються в одній точці та діляться в ній навпіл.

Типи паралелепіпедів Редагувати

Прямокутний паралелепіпед і його виміри a, b, c

Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:

  • Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи. У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи — паралелограмами. Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються похилими.
  • Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, основою в якому є прямокутник. У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами. Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка.
  • Куб — прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами. Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Основні формули Редагувати

Прямий паралелепіпед Редагувати

  1. Площа бічної поверхні:
  2. Площа повної поверхні:
  3. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту:

Прямокутний паралелепіпед Редагувати

  1. Площа бічної поверхні:
  2. Площа повної поверхні:
  3. Об'єм:
  4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі d дорівнює сумі квадратів його вимірів:

Куб Редагувати

  1. Площа повної поверхні:
  2. Об'єм:
  3. Діагональ:

Формули векторної алгебри Редагувати

Паралелепіпед, який задається трьома векторами a, b і c.
Довжини векторних добутків a×b і b×c дорівнюють площам відповідних паралелограмів

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і розраховується як модуль мішаного добутку цих векторів:

або

Паралелотоп Редагувати

Гарольд Коксетер назвав узагальнення паралелепіпеда на вищі розмірності паралелотопом. В сучасній літературі термін "паралелепіпед" часто використовують і у вищих розмірностях .

Конкретніше, паралелотоп в n-вимірному просторі називається n-вимірний паралелотоп, або просто n-паралелотоп (або n-паралелепіпед). Таким чином паралелограм це 2-паралелотоп, а паралепіпед - 3-паралелотоп.

Більш загально, паралелотоп, або паралелотоп Вороного, має паралельні і конгруентні протилежні фасети. Тож 2-паралелотоп - це паралелогон що також може включати деякі гексагони, а 3-паралелотоп це паралелогранник[en].

Діагоналі n-паралелотопа перетинаються в одній точці, і ця точка ділить їх надвоє. Інверсія в цій точці залишає n-паралелотоп незміненим.

Ребра що виходять з однієї вершини k-паралелотопа утворюють k-репер[en] векторного простору, і паралелотоп можна відтворити з цих векторів їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами в межах від 0 до 1.

n-об'єм n-паралелотопа в просторі де можна обчислити за допомогою визначника Грама. Як альтернатива, об'єм - це норма зовнішнього добутку векторів:

Якщо m = n, це дорівнює абсолютному значенню визначника n векторів.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ Бевз, 2002, с. 110.
  2. Погорелов, 2009, с. 73—75.
  3. ↑ Киселёв, 1980, с. 211.
  4. ↑ Крамор, 2008, с. 188.
  5. ↑ Бевз, 2002, с. 112.
  6. Morgan, C. L. (1974). Embedding metric spaces in Euclidean space. Journal of Geometry, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
  7. Deza, Michel; Grishukhin, Viacheslav (2003). «Properties of parallelotopes equivalent to Voronoi's conjecture». arXiv:math/0307170. 

Література Редагувати

  • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія. Підручник для 10—11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. — Київ : «Вежа», 2002. — ISBN 966-7091-31-7.
  • Погорелов А. В. Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений. — 9-е изд. — Москва : Просвещение, 2009. — 175 с. — ISBN 978-5-09-021850-4.(рос.)
  • Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. — 4-е изд. — Москва : «Мир и Образование», 2008. — 336 с. — ISBN 978-5-94666-476-9.(рос.)
  • Киселёв А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. — Москва : Просвещение, 1980. — 287 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Paralelepi ped vid grec parallos paralelnij i epipedon ploshina prizma osnovoyu dlya yakoyi ye paralelogram 1 2 Zmist 1 Vlastivosti 2 Tipi paralelepipediv 3 Osnovni formuli 3 1 Pryamij paralelepiped 3 2 Pryamokutnij paralelepiped 3 3 Kub 4 Formuli vektornoyi algebri 5 Paralelotop 6 Div takozh 7 Primitki 8 LiteraturaVlastivosti RedaguvatiVsi 6 granej paralelepipeda ye paralelogramami 3 Protilezhni grani rivni ta paralelni 4 Diagonali peretinayutsya v odnij tochci ta dilyatsya v nij navpil 4 Tipi paralelepipediv Redaguvati nbsp Pryamokutnij paralelepiped i jogo vimiri a b cRozriznyayut dekilka tipiv paralelepipediv Pryamij paralelepiped paralelepiped bichni rebra yakogo perpendikulyarni do ploshini osnovi 1 U pryamih paralelepipediv chotiri grani ye pryamokutnikami a osnovi paralelogramami 3 Paralelepipedi yaki ne ye pryamimi nazivayutsya pohilimi Pryamokutnij paralelepiped pryamij paralelepiped osnovoyu v yakomu ye pryamokutnik 3 U pryamokutnogo paralelepipeda vsi grani pryamokutniki 4 Dovzhini troh reber pryamokutnogo paralelepipeda sho mayut spilnu vershinu nazivayut jogo vimirami 1 Vsi chotiri diagonali pryamokutnogo paralelepipeda rivni 5 Modelyami pryamokutnogo paralelepipeda mozhe buti kimnata ceglina sirnikova korobka Kub pryamokutnij paralelepiped z rivnimi storonami 3 Vsi shist granej kuba rivni kvadrati Osnovni formuli RedaguvatiPryamij paralelepiped Redaguvati Plosha bichnoyi poverhni Sb Ro h de Ro perimetr osnovi h visota Plosha povnoyi poverhni Sp Sb 2So de So plosha osnovi Ob yem paralelepipeda dorivnyuye dobutku ploshi jogo osnovi na visotu V So h Pryamokutnij paralelepiped Redaguvati Plosha bichnoyi poverhni Sb 2c a b de a b storoni osnovi c bichne rebro pryamokutnogo paralelepipeda Plosha povnoyi poverhni Sp 2 ab bc ac Ob yem V abc de a b c vimiri pryamokutnogo paralelepipeda U pryamokutnomu paralelepipedi kvadrat diagonali d dorivnyuye sumi kvadrativ jogo vimiriv 5 d2 a2 b2 c2 Kub Redaguvati Plosha povnoyi poverhni Sp 6a2 de a storona Ob yem V a3 Diagonal d a 3 Formuli vektornoyi algebri Redaguvati nbsp Paralelepiped yakij zadayetsya troma vektorami a b i c Dovzhini vektornih dobutkiv a b i b c dorivnyuyut plosham vidpovidnih paralelogramivOb yem paralelepipeda pobudovanogo na vektorah a a 1 a 2 a 3 displaystyle mathbf a a 1 a 2 a 3 nbsp b b 1 b 2 b 3 displaystyle mathbf b b 1 b 2 b 3 nbsp i c c 1 c 2 c 3 displaystyle mathbf c c 1 c 2 c 3 nbsp rozrahovuyetsya yak modul mishanogo dobutku cih vektoriv V a b c b c a c a b displaystyle V left mathbf a cdot mathbf b times mathbf c right left mathbf b cdot mathbf c times mathbf a right left mathbf c cdot mathbf a times mathbf b right nbsp abo V det a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 displaystyle V left det begin bmatrix a 1 amp a 2 amp a 3 b 1 amp b 2 amp b 3 c 1 amp c 2 amp c 3 end bmatrix right nbsp Paralelotop RedaguvatiGarold Kokseter nazvav uzagalnennya paralelepipeda na vishi rozmirnosti paralelotopom V suchasnij literaturi termin paralelepiped chasto vikoristovuyut i u vishih rozmirnostyah 6 Konkretnishe paralelotop v n vimirnomu prostori nazivayetsya n vimirnij paralelotop abo prosto n paralelotop abo n paralelepiped Takim chinom paralelogram ce 2 paralelotop a paralepiped 3 paralelotop Bilsh zagalno paralelotop 7 abo paralelotop Voronogo maye paralelni i kongruentni protilezhni faseti Tozh 2 paralelotop ce paralelogon sho takozh mozhe vklyuchati deyaki geksagoni a 3 paralelotop ce paralelogrannik en Diagonali n paralelotopa peretinayutsya v odnij tochci i cya tochka dilit yih nadvoye Inversiya v cij tochci zalishaye n paralelotop nezminenim Rebra sho vihodyat z odniyeyi vershini k paralelotopa utvoryuyut k reper en v 1 v k displaystyle v 1 ldots v k nbsp vektornogo prostoru i paralelotop mozhna vidtvoriti z cih vektoriv yih linijnimi kombinaciyami z koeficiyentami v mezhah vid 0 do 1 n ob yem n paralelotopa v prostori R m displaystyle mathbb R m nbsp de m n displaystyle m geq n nbsp mozhna obchisliti za dopomogoyu viznachnika Grama Yak alternativa ob yem ce norma zovnishnogo dobutku vektoriv V v 1 v n displaystyle V left v 1 wedge cdots wedge v n right nbsp Yaksho m n ce dorivnyuye absolyutnomu znachennyu viznachnika n vektoriv Div takozh RedaguvatiPrizma Pryamokutnij paralelepiped KubPrimitki Redaguvati a b v Bevz 2002 s 110 Pogorelov 2009 s 73 75 a b v g Kiselyov 1980 s 211 a b v Kramor 2008 s 188 a b Bevz 2002 s 112 Morgan C L 1974 Embedding metric spaces in Euclidean space Journal of Geometry 5 1 101 107 https doi org 10 1007 bf01954540 Deza Michel Grishukhin Viacheslav 2003 Properties of parallelotopes equivalent to Voronoi s conjecture arXiv math 0307170 Literatura RedaguvatiBevz G P Bevz V G Vladimirova N G Geometriya Pidruchnik dlya 10 11 klasiv zagalnoosvitnih navchalnih zakladiv Kiyiv Vezha 2002 ISBN 966 7091 31 7 Pogorelov A V Geometriya 10 11 klassy ucheb dlya obsheobrazovat uchrezhdenij 9 e izd Moskva Prosveshenie 2009 175 s ISBN 978 5 09 021850 4 ros Kramor V S Povtoryaem i sistematiziruem shkolnyj kurs geometrii 4 e izd Moskva Mir i Obrazovanie 2008 336 s ISBN 978 5 94666 476 9 ros Kiselyov A P Elementarnaya geometriya Kniga dlya uchitelya Moskva Prosveshenie 1980 287 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Paralelepiped amp oldid 40096188