При́зма (дав.-гр. πρίσμα — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.
Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.
Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).
Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.
Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні многокутники.
Висота призми — відстань між площинами її основ.
Види призм Редагувати
Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми
Зрізана призма — це призма з непаралельними основами.
Елементи призми Редагувати
| Назва | Визначення | Позначення на кресленні | Креслення |
| Основи | Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах. | , | |
| Бічні грані | Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом. | , , , , | |
| Бічна поверхня | Об'єднання бічних граней. | ||
| Повна поверхня | Об'єднання основ і бічної поверхні. | ||
| Бічні ребра | Спільні сторони бічних граней. | , , , , | |
| Висота | Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин. | ||
| Діагональ | Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані. | ||
| Діагональна площина | Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи. | ||
| Діагональний переріз | Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат. | ||
| Перпендикулярний (ортогональний) переріз | Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра. |
Властивості призми Редагувати
- Основи призми є рівними многокутниками.
- Бічні грані призми є паралелограмами.
- Бічні ребра призми паралельні і рівні.
- Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:
- Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює
- Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
- Площа бічної поверхні довільної призми , де — периметр перпендикулярного перерізу, — довжина бічного ребра.
- Площа бічної поверхні прямої призми , де — периметр основи призми, — висота призми.
- Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює
- Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
- Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
- Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
- Двоїстим многогранником прямої призми є біпіраміда.
Діаграми Шлегеля Редагувати
Трикутна призма | 4-кутна призма | 5-кутна призма | 6-кутна призма | 7-кутна призма | 8-кутна призма |
Симетрія Редагувати
Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група Dnh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії Oh[en] порядку 48, що містить три версії D4h в якості підгруп. Групою обертань[en] є Dn 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O[en] порядку 24, що має три версії D4 в якості підгруп.
Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.
Об'єм Редагувати
Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:
де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:
Площа поверхні Редагувати
Площа бічної поверхні призми дорівнює , де P — периметр основи, H — висота.
Площа поверхні призми дорівнює , де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.
Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:
Призматичні многогранники Редагувати
Призматичний многогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.
Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.
Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ()-вимірний многогранник буде мати елементів розмірності i (при , ).
За розмірностями:
- Беремо многокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і гранями.
- Беремо многогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, гранями і комірками.
- Беремо 4-вимірний многогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, (2-вимірними) гранями, комірками гіперкомірками.
Однорідні призматичні многогранники Редагувати
Правильний n-многогранник, представлений символом Шлефлі {p, q, ..., t}, може утворити однорідний призматичний многогранник розмірності (n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: {p, q, ..., t}×{}.
За розмірностями:
- Призма з 0-вимірного многогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
- Призма з 1-вимірного многогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
- Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
- багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4, 3}.
- Приклад: п'ятикутна призма, {5}×{}, два паралельні п'ятикутники пов'язані п'ятьма прямокутними сторонами.
- 4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {p, q} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {p, q}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Приклад: додекаедральна призма[en], {5, 3}×{}, два паралельні додекаедри, сполучені 12 п'ятикутними призмами (сторонами).
- …
Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами[ru], які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.
Скручена призма і антипризма Редагувати
Скручена призма — це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут радіан ( градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими.
Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається многогранником Шенхардта[ru].
Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, [n,2]+, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.
| Трикутна | Чотирикутні | 12-кутна | |
|---|---|---|---|
Многогранник Шенхардта | Скручена квадратна антипризма | Квадратна антипризма | Скручена дванадцятикутна антипризма |
Пов'язані многогранники і мозаїки Редагувати
| Многокутник | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Мозаїка | ||||||||||||
| Конфігурація | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4[en] | 8.4.4[ru] | 9.4.4[en] | 10.4.4[en] | 11.4.4[en] | 12.4.4[en] | 17.4.4 | ∞.4.4 |
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Назва | {2} | t{2} | {3} | t{3} | {4} | t{4} | {5} | t{5} | {6} | t{6} |
| Купол | Діагональний купол | Трискатний купол | Чотирискатний купол | П’ятискатний купол[en] | Шестискатний купол (плоский) | |||||
| Пов'язані однорідні многогранники | Трикутна призма | Кубооктаедр | Ромбокубооктаедр | Ромбоікосододекаедр | Ромботришестикутна мозаїка[en] |
Симетрії Редагувати
Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].
| Варіанти симетрії *n32 зрізаних мозаїк: 3.2n.2n | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симетрія *n32 [n,3] | Сферична | Евклідова[en] | Компактна гіперболічна | Параком- пактна | Некомпактна гіперболічна | ||||||
| *232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3]… | *∞32 [∞,3] | [12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | |
| Зрізані фігури | |||||||||||
| Конфігурація | 3.4.4 | 3.6.6 | 3.8.8 | 3.10.10 | 3.12.12[en] | 3.14.14[en] | 3.16.16[en] | 3.∞.∞[en] | 3.24 i.24i | 3.18 i.18i | 3.12 i.12i |
| Розділені фігури | |||||||||||
| Конфігурація | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12[en] | V3.14.14[en] | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію[en].
| Варіанти симетрії *n42 розширених мозаїк: 3.4.n.4 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симетрія *n32 [n,3] | Сферична | Евклідова | Компактна гіперболічна | Паракомпактна | ||||
| *232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3]… | *∞32 [∞,3] | |
| Фігура | ||||||||
| Конфігурація | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4[en] | 3.4.7.4[en] | 3.4.8.4[en] | 3.4.∞.4[en] |
З'єднання многогранників Редагувати
Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:
Стільники Редагувати
Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:
- гіроподовжений альтернований кубічний стільник[en],
- подовжений альтерований кубічний стільник[en],
- повернутий трикутний призматичний стільник[ru],
- кирпатий квадратний призматичний стільник[en],
- трикутний призматичний стільник[ru],
- трикутно-шестикутний призматичний стільник[ru],
- зрізаний шестикутний призматичний стільник,
- ромботришестикутний призматичний стільник[ru],
- кирпатий шестикутний призматичний стільник[ru],
- подовжений трикутний призматичний стільник[ru].
Пов'язані многогранники Редагувати
Трикутна призма є першим многогранником в ряду напівправильних многогранників[en]. Кожен наступний однорідний многогранник містить в якості вершинної фігури попередній многогранник. Торольд Госсет[en] ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних многогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −121.
| k21[en] у просторі розмірністю n | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Простір | Скінченний | Евклідів | Гіперболічний | |||||
| En[en] | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Група Коксетера | E₃=A₂A₁ | E₄=A₄ | E₅=D₅ | E₆ | E₇[en]| | E₈ | E₉ = Ẽ₈ = E₈+ | E₁₀ = T₈ = E₈++ |
| Діаграма Коксетера | ||||||||
| Симетрія[en] | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [31,2,1] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] |
| Порядок | 12 | 120 | 192 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | |
| Граф | - | - | ||||||
| Позначення | −121 | 021 | 121 | 221[en] | 321[en] | 421[en] | 521 | 621 |
Чотиривимірний простір Редагувати
Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних многогранниках[en], включно з:
| тетраедральна призма[en] | октаедральна призма[en] | кубооктаедральна призма[en] | ікосаедральна призма[en] | ікосододекаедральна призма[en] | зрізана додекаедральна призма[en] | ||
| ромбоікосі- додекаедральна призма[en] | ромбокуб- октаедральна призма[en] | зрізана кубічна призма[en] | кирпата додекаедральна призма[en] | n-кутна антипризматична призма[en] | |||
| скошений 5-комірник[en] | скошено-зрізаний 5-комірник[en] | обструганий 5-комірник[en] | струг-зрізаний 5-комірник[en] | скошений тесеракт[en] | скошено-зрізаний тесеракт[en] | обструганий тесеракт[en] | струг-зрізаний тесеракт[en] |
| скошений 24-комірник[en] | скошено-зрізаний 24-комірник[en] | обструганий 24-комірник[en] | струг-зрізаний 24-комірник[en] | скошений 120-комірник[en] | скошено-зрізаний 120-комірник[en] | обструганий 120-комірник[en] | струг-зрізаний 120-комірник[en] |
Примітки Редагувати
- Kern, Bland, 1938, с. 28.
- Kern, Bland, 1938, с. 81.
- Gorini, 2003, с. 172.
- Малюнки скручених призм
Див. також Редагувати
Література Редагувати
- William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
- Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York : Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
- Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.
Посилання Редагувати
- Призма // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 160. — ISBN 978-966-7407-83-4.
- Weisstein, Eric W. Призма(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- George Olshevsky. «». Glossary for Hyperspace.
- Nonconvex Prisms and Antiprisms
- Surface Area MATHguide
- Volume MATHguide
- Paper models of prisms and antiprisms Розгортки призм і антипризм
- Paper models of prisms and antiprisms Розгортки, створені системою Stella[en].
- Stella: Polyhedron Navigator: Програми для створення 3D- и 4D-зображень, наведених на цій сторінці.
- Гордєєва Є. П. Ч. 1 // Нарисна геометрія. Многогранники (правильні, неправильні та зірчасті) : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл / Є. П. Гордєєва, В. Л. Величко. — Луцьк : ЛДТУ, 2007. — 191 с. — ISBN ISBN 978-966-7667-70-2.